EQUATIONS DIFFERENTIELLES-1°ORDREET2°ORDRE-BTS -1°ANNEE

(1)

EQUATION DIFFÉRENTIELLE NON LINÉAIRE DU PREMIER ORDRE I INTRODUCTION.GENERALITE.

Une équation différentielle ^{( )}^E d’ordre n est une équation de la forme F t y y( , ', '';...,yⁿ) 0 dont l'inconnue est une fonction définie par ^y^ ^{f t}^{( )} et y y', ";...yⁿsont ses dérivées successives. . Par exemple, chercher les fonctions f de la variable t dont la dérivée seconde sur _ est 4 t, c'est résoudre l'équation différentielle

"'( ) '''( ) 1

y t  f t  et t Î _ . Dans ce cas particulier, toutes les fonctions solutions sont obtenues en calculant des primitives f t"( ) t a où ^aest une constante réelle quelconque ; '( ) ¹ ²

f t  2t  at b où best une constante réelle quelconque. ^{( )} ¹ ³ ¹ ²

6 2

f t  t  at  bt c où ^cest une constante .On obtient une infinité de fonctions solutions, puisque ^{a b et c}^, peuvent prendre toute valeur au choix. ^{( )} ¹ ³ ¹ ²

6 2

f t  t  at  bt cest appelé solution générale de l'équation différentielle. Parmi ses solutions , il existe une unique solution qui vérifie les conditions

(0) 1

f  ; f '(0) 1 et f ''(0) 0 : y"(0) 0  a 0 ; y'(0) 1  b 1 et y(0) 1  c 1

on obtient une solution particulière de l'équation différentielle vérifiant les conditions initiales ci-dessus est la fonction f définie sur _ par : ^{( )} ¹ ³ ¹

f t 6t  t .

Définition : Etant données des conditions initiales sur y y y, ', ";...yⁿ^¹ , c’est-à-dire , étant donnés des nombres y t( )0 y y t0, '( )0 y' ... .0 etc Elle est appelée solution particulière satisfaisant les conditions initiales .

La courbe représentative d’une fonction , solution de ( E ) , est appelée courbe intégrale . II EQUATION DIFFÉRENTIELLE NON LINÉAIRE DU PREMIER ORDRE.

1° Définition : On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre sur l'intervalle I de _ une équation de la forme : ^{a t y t}^{( ) '( )}^^{b t y t}^{( ) ( )}^^{u t}^{( )}où a et b sont des fonctions de la variable t dérivables sur I, avec ^{a t}^{( ) 0}^ pour tout élément t de I, et où u est une fonction définie sur I. Dans cette équation, l'inconnue, notée ici x, est une fonction dérivable sur I : ^t  ^{y t}^{( )}et x' désigne sa fonction dérivée sur I.

Résoudre une telle équation, c'est déterminer toutes les fonctions dérivables sur I qui en sont solutions.

Remarques : Si l'on utilise la notation différentielle de la dérivée, l'équation différentielle ^{a t y t}^{( ) '( )}^^{b t y t}^{( ) ( )}^^{u t}^{( )} s'écrit : ^{a t}^{( )}^dy ^{b t y t}^{( ) ( )} ^{u t}^{( )}

dt   .

2° équation homogène associée

L'équation ^{a t x t}^{( ) '( )}^^{b t x t}^{( ) ( ) 0}^ est appelée équation homogène associée à ^{a t x t}^{( ) '( )}^^{b t x t}^{( ) ( )}^^{u t}^{( )}.^{a t}^{( ) 0}^ 3° Résolution de l'équation homogène ^{a t x t}^{( ) '( )}^^{b t x t}^{( ) ( ) 0}^ ( E ' ) ^{a t x t}^{( ) '( )}^^{b t x t}^{( ) ( ) 0}^ Û ^{x t}^{'( )}^^{b t}_{a t}^{( )}_{( )}^{x t}^{( ) 0}^ a) Cas particulier : les coefficients a(t) et b(t) sont constants

On pose ^ ^^{b t}_{a t}^{( )}_{( )} . Alors (E') équivaut à ^{x t}^{'( )}^^^{( ) ( ) 0}^{t x t} ^ où  est le quotient des coefficients ^{b t}^{( )}et ^{a t}^{( )}. Dans le cas où  est une constante réelle quelconque, la fonction définie sur _ par te^^^t.

est une solution de l'équation différentielle ^x^'^^^x^⁰. b) cas général

Pour trouver toutes les solutions de l'équation différentielle ^{y t}^{'( )}^^{b t}_{a t}^{( )}_{( )}^{y t}^{( )}^⁰.

Soit F une primitive de ^t^{b t}_{a t}^{( )}_{( )} sur I ; F existe car les fonctions a et b sont dérivables sur I et a(t) ne s'annule pas sur I , on a donc ^{y t}^{'( )}^^{F t y t}^{'( ) ( ) 0}^ .la fonction te^{F t}^{( )} ne s’annule pas sur I , donc l’équation précédente est équivalente à : e^{F t}^{( )}y t'( )F t e'( ) ^{F t}^{( )}y t( ) 0 soit _dt^d



^{y t e}^{( ))} ^{F t}^{( )}



^⁰

d’où y t e( )) ^{F t}^{( )}C ( C une constante réelle arbitraire ) donc pour tout réel t de I , et on a : y t( )Ce^^{F t}^{( )}. Théorème Si a et b sont des fonctions continues, dérivables sur un intervalle I avec ^{a t}^{( ) 0}^ sur I,l

'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E') : ^{a t y t}^{( ) '( )}^^{b t y t}^{( ) ( ) 0}^ est l'ensemble des fonctions définies

sur I par y t( )C e^^{F t}^{( )}où C est une constante arbitraire et F est une primitive de la fonction b t^{( )}_{( )}

t a t

(2)

Exemple : ( )E1 : ⁽^t^^{1) '( ) (}^{y t} ^{ }^t ^{1) ( ) 0}^{y t} ^ , avec I = ]– 1,+ ¥ [ , t 1 0sur I.

^{b t}_{a t}^{( )}_{( )}^^t_t^_¹₁^{ }¹ _t_²₁ . Une primitive F est définie par : ^{F t}^{( )}^{ }^t ^2ln(^t^¹⁾.^^{F t}^{( )}^{  }^t ^2ln(^t^¹⁾

Les solutions de (E1) sont donc les fonctions définies sur ] – 1, + ¥ [ partC e^{ }^t ^{2ln( 1)}^t^ où C est une constante réelle quelconque. On constate que C e^{ }^t ^{2ln( 1)}^t^ C t( 1)²e^^t,donc y t( )C t( 1)²e^^t 3° Résolution de l'équation ^{a t y t}^{( ) '( )}^^{b t y t}^{( ) ( )}^^{u t}^{( )} ( E )

Les fonctions a, b et u sont continues sur un intervalle I de _ avec ^{a t}^{( ) 0}^ sur I.

Sur I l’équation s’écrit : ^{y t}^{'( )}^^{b t}_{a t}^{( )}_{( )}^{y t}^{( )}^^{u t}_{a t}^{( )}_{( )} . Soit F une primitive de ^t ^{b t}_{a t}^{( )}_{( )} sur I ; F existe car les fonctions a et b sont dérivables sur I et a(t) ne s'annule pas sur I, donc l’équation précédente est équivalente à :

( ) ( ) ( ) ( )

'( ) '( ) ( )

( )

F t F t u t F t

e y t F t e y t e

 a t soit _dt^d



^{y t e}^{( ))} ^{F t}^{( )}



^^{u t}_{a t}^{( )}_{( )}^e^{F t}^{( )}

Si G est une primitive sur I de la fonction ^t^{u t}_{a t}^{( )}_{( )}^e^{F t}^{( )} , alors y t e( )) ^{F t}^{( )}G t( )C, C est une constante réelle.

Donc pour tout t de I : y t( )G t e( ) ^^{F t}^{( )}Ce^^{F t}^{( )}. Dans la solution générale , on reconnaît :

 la solution générale dé l’équation ^{a t y t}^{( ) '( )}^^{b t y t}^{( ) ( ) 0}^ ( dite sans second membre)soit tCe^^{F t}^{( )}

 à laquelle on ajoute tG t e( ) ^^{F t}^{( )}qui est une solution particulière de ( E ) car elle correspond à C=0 . a) Théorème

Soit a et b deux fonctions dérivables sur l'intervalle I de _ , avec a0 sur I. On considère l'équation différentielle linéaire du premier ordre ^{a t y t}^{( ) '( )}^^{b t y t}^{( ) ( )}^^{u t}^{( )}dont l'inconnue y est une fonction dérivable

sur I. La solution générale de cette équation est obtenue en ajoutant une solution particulière y tp^{( )}et la solution générale de l'équation homogène associée y t0( ) .

b) Exemple1 : Une équation différentielle linéaire du premier ordre se résout donc en trois étapes.

Equation différentielle sur ] 0 ; + ¥ [ d'inconnue y : ^{ty t}^{'( )}^^{y t}^{( )}^^t. Les trois étapes sont

Solution générale de l'équation homogène associée "^{t y t}^{'( )}^^{y t}^{( ) 0}^ " . ^t^{b t}_{a t}^{( ) 1}_{( )}^_t , donc ^{F t}^{( ) ln}^ ^{t K}^ 0( ) ^{ln( )}^t ^{ln(1/ )}^t C

y t C e C e

t

    où C est une constante réelle quelconque ( C e ^k ).

Solution particulière de " ^{ty t}^{'( )}^^{y t}^{( )}^^t ". On cherche les réels a et b tels que y tp^{( )}at b . y tp^{( ) 2} t est donc une solution particulière de ^{t y t}^{'( )}^^{y t}^{( )}^^t

Solution générale de "^{ty t}^{'( )}^^{y t}^{( )}^^t" ^{y t}^{( )} ^{y t}₀^{( )} ^{y t}_p^{( )} ^C ²^t

   t  où C est un réel quelconque.

c) Solutions particulières usuelles de l'équation différentielle linéaire ^{a y t}^{'( )}^^{by t}^{( )}^^{u t}^{( )} (a Î  * )

Cas où ^{u t}^{( )} est un polynôme de degré ⁿ.

si ^a^⁰ alors une solution particulière est un polynôme de degré ⁿ^¹. si a0 alors une solution particulière est un polynôme de degré ⁿ.

Cas où u t( )P t e( ) ^mt où P est un polynôme.

On cherche une solution particulière de la forme y t( )z t e( ) ^mt.

y est alors solution de l'équation ^z^{' (}^ ^{a m z P t}^ ⁾ ^ ^{( )} et on se ramène au problème précédent.

Exemple 2: Résoudre sur I =



^0;^{ ¥}



l’équation différentielle : t y t'( ) 2 ( ) y t t e³ ^t.( E )

On résout tout d’abord ty t'( ) 2 ( ) 0 y t  , soit y t'( ) (2 / ) ( ) 0 t y t  , une primitive sur I de ^t^^{(2 / )}^t est 2ln ln 2

t t  t . La solution homogène de ty t'( ) 2 ( ) 0 y t  est définie par y t( )Ce^ln^t² Ct².

On pose y t( )zt², soit y t'( )z t' ²2tz l’équation (E) devient : ^{t z t}



^' ²^²^zt



^²^zt²^^{t e}³ ^t^{, soit}^{z t}^' ³^^{t e}³ ^t

et sur I on a : _z_'__e^t donc _{z e}_ ^t, une solution particulière de ( E ) est y t( )t e² ^t. La solution générale de ( E ) est définie par y t( )y t₀( )y t_p( )C t²t e² ^t

(3)

III EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU DEUXIÈME ORDRE ^{a x}^"^^{b x c x}^'^ ^ ^{f t}^{( )} ( E ) 1° Définition Equation Différentielle linéaire du deuxième ordre

On appelle équation différentielle linéaire du deuxième ordre sur l'intervalle I de une équation de la forme : ^{a x}^"^^{b x c x}^'^ ^ ^{f t}^{( )} où a, b et c sont réels et où f est une fonction dérivable sur I

Dans cette équation, l'inconnue, notée ici t, est une fonction dérivable sur I :^t^{x t}^{( )} et x' désigne sa fonction dérivée sur I et x " sa fonction dérivée seconde.

Résoudre une telle équation, c'est déterminer toutes les fonctions dérivables sur I qui en sont solutions.

On n'étudiera que les équations à coefficients constants ^{a x}^"^^{b x c x}^'^ ^ ^{f t}^{( )}où a, b et c sont réels.

2° Equation homogène (ou sans second membre ) associée ^{a x}^"^^{b x c x}^'^ ^⁰ (E0)

L'équation ( C ) _ar²__{br c}_{ }₀s'appelle l'équation caractéristique de l'équation différentielle ^{a x}^"^^{b x c x}^'^ ^⁰ 4° Résolution de l'équation homogène ^{a x}^"^^{b x c x}^'^ ^⁰ (E0)

Théorème :  > 0 : L'équation caractéristique admet deux racines réelles r₁ et r₂ . Les solutions de l'équation sont les fonctions x t( )k e₁ ^{r t}¹ k e₂ ^{r t}² .  = 0 : L'équation caractéristique admet une racine réelle double ^r . Les solutions de l'équation sont les fonctions x t( )



k t k e1  2



^{r t}.

 < 0 : L'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées : r₁   i et r2    i . Les solutions de l'équation sont les fonctions ^{x t}^{( )}^^e^^t



^A^{cos( )}^{ }^t ^B^{sin( )}^^t



^.

Démonstration : Soit ^{x t}^{( )}une solution de (E0).montrons qu’alors ^{x t}^{( )} a bien une des formes indiquées dans le théorème. Posons z t( )e^^rtx t( ) ; autrement dit : x t( )e^^rtz t( ).on a alors x t'( ) ( rz z e ') ^rt

et x t''( ) ( r z² 2r z'z e") ^rt.Dans l’équation (E0), remplaçons ^{x t}^{( )}et ses dérivées par leurs expressions en fonction de z .On obtient : ^_^az^{" (2}^ ^{ar b z}^ ^{) ' (}^ ^ar²^^{br c z e}^ ⁾ ^_ ^rt ^⁰

deux cas se présentent : - Premier cas :

2 r b

  aest la racine double du polynôme caractéristique de (E0).Dans ce cas, l’équation s’écrit az e" ^rt 0, on en déduit que z est caractérisée par : ^z^{" 0}^ .On sait qu’alors il existe des constantes k1et k2

telle que , pour tout t dans I , z t( )k t k1  2, on obtient donc x t( )e z t^rt ( ) ( k t k e₁  ₂) ^rt pour tout ^{t I}^Î . -Deuxième cas : r est une des deux racines simples ( distinctes ) du polynôme caractéristique de (E0) Notons r1et r2ces racines et posons r r 1.alors , l’équation s’écrit :



az" (2 ar1b z e) '



^rt 0 ce qui est équivalent à : az" (2 ar1b z) ' 0 .comme ^r₁ ^r₂ ^b

  a, az" (2 ar1b z) ' 0 s’écrit z" ( r1r z2) ' 0

cette dernière égalité caractérise une fonction z’ solution sur I de l’équation différentielle linéaire homogène du premier ordre : y' ( r1r y2) 0 ( a= r1r2 ) .On sait que les solutions d’une telle équation sont les fonctions définies sur I par : t y t( )ke⁽^{r r t}²^¹⁾ , k étant une constante .

(4)

on a donc : z'e⁽^{r r t}²^¹⁾ et ⁽² ¹⁾

2 1

r r t

z e

r r

 ^ 

 

 . ^{ }^, sont des constantes .En posant 2

2 1

k r r

 

 et  k1

on obtient : ¹ ¹ ⁽² ¹⁾ ⁽² ¹ ¹⁾ ¹ ² ¹ 2 ² 1 ¹

2 1 2 1 2 1

( ) ^{r t} ( ) ^{r t} ^{r r t} ^{r r r t} ^{r t} ^{r t} ^{r t} ^{r t} ^{r t}

x t e z t e e e e e e k e k e

r r r r r r

 ^   ^{ }   

 

             .

 < 0 : (C) admet deux racines complexes conjuguées ^r₁^{   }ⁱ et ^r₂ ^{   }ⁱ . Les solutions de (E0)sont les fonctions définies sur I par : x t( )k e₁ ^{r t}¹ k e₂ ^{r t}² ,k1k₂sont des constantes .Or r2r1.

Soit ^^ⁱ^la forme algébrique de r1.On a alors : x t( )k e₁ ^{r t}¹ k e₂ ^{r t}² k e₁ ⁽^{ }^{i t}⁾ k e₂ ⁽^{ }^{i t}⁾ . x t( )k e1 ⁽^{ }^{i t}⁾ k e2 ⁽^{ }^{i t}⁾ k e1 ^{( )}^{i t}^ k e2 ⁽^{ }^{i t}⁾ e^^t 



k1k2



cos t i k



1k2



sint e ^^t cqfd Autre démonstration

 = 0 : (C) admet une racine double ^r.La fonction ^₁définie sur _ par ₁( )t e^{r t}est une solution de (E0).

Considérons la fonction ₂définie sur _ par : ₂( )t  t ₁( )t te^{r t} . Les fonctions _ et _ne sont pas colinéaires et on démontre aisément que_est solution de (E0) par suite, les solutions sur _ de (E0)sont les fonctions définies par : ^^{( )}^t ^{ }^k_{1 1}^{( )}^t ^{ }^k_{2 2}^{( )}^t ^



^{k t k e}₁ ^ ₂



^{r t}.

 > 0 : (C) admet deux racines réelles distinctes r₁ et r₂ .Les fonctions _et_définies sur _ par ₁( )t e^{r t}¹ et ₂( )t e^{r t}² sont solutions de (E0)et ne sont pas proportionnelles (voir préliminaire).

Les solutions sur _ de (E0)sont les fonctions ^définies par : ( )t  k_{1 1}( )t  k_{2 2}( )t k e₁ ^{r t}¹ k e₂ ^{r t}² .

 < 0 : (C) admet deux racines complexes conjuguées r₁   i et r₂    i .

Par analogie avec les deux cas ci-dessus, on considère la fonction g définie sur_ par :

g t^{( )}e⁽^{ }^{i t}⁾ e^^t



cos( ) sin( ) t t



. Cette fonction g prend ses valeurs dans _ ; or, on cherche des solutions de (E) définies sur et à valeurs dans _ . L'expression de g(t) nous suggère de considérer les fonctions t e^^tcos( )t et t e^^tsin( )t , fonctions qui ne sont pas colinéaires. On peut vérifier que ces deux fonctions sont solutions de (E0)et par suite, les solutions sur _ de (E0)sont les fonctions ^ définies par : ( )t  Ae^^tcos( ) t Be^^tsin( ) t e^^t( cos( )A  t Bsin( ))t .

5° Cas général ^{a x}^"^^{b x c x}^'^ ^ ^{f t}^{( )} ^{( )}^E

Théorème : Les solutions de l'équation différentielle linéaire ^{a x}^"^^{b x c x}^'^ ^ ^{f t}^{( )}^{( )}^E s'obtiennent en ajoutant à la solution générale de l'équation homogène une solution particulière de l'équation avec second membre.

6° Exemples de recherche de solution particulière Propriétés

 Si ^{f t}^{( )}est un polynôme de degré n alors il existe une solution particulière sous la forme d'un polynôme^{P t}^{( )}. Si a 0, b  0, c  0 alors le polynôme P est de degré ⁿ.

Si a 0, b  0, c = 0 alors le polynôme P est de degré n1. Si a 0, b = 0, c = 0 alors le polynôme P est de degré n2.

 Si ^{f t}^{( )}est de la forme ^{f t}^{( )}^^a^cos^{ }^{t b}^sin^^t, alors il existe une solution particulière sous la forme ^^{( )}^t ^^a^cos^{ }^{t b}^sin^^t où a et b sont deux constantes à déterminer.

 Si ^{f t}^{( )}est de la forme f t( )e p t^rt ( )où P est un polynôme et r Î _ alors en effectuant le changement de variable y t( )z t e( ) ^rt on montre que la fonction z est solution de l'équation différentielle

az" (2 ar b z ) ' ( ar²br c z )  p t( ) ( )E . Trois cas se présente :

1êr cas : r est une racine double du polynôme caractéristique de (E0) ,alors l’égalité ^{( )}Ê devient âz^"^ ^{p t}^{( )}. cette égalité indique que deg ( ) 2 deg ( )z t   p t .

2^ème cas : r est une racine simple du polynôme caractéristique de (E0) ,alors l’égalité ^{( )}^E devient ^az^{" (2}^ ^{ar b z}^ ^{) '}^ ^{p t}^{( )} De cette égalité, on déduit que deg ( ) 1 deg ( )z t   p t

3^ème cas : r n’est pas une racine du polynôme caractéristique de (E0) ,alors de l’égalité ^{( )}^E , on déduit deg ( ) deg ( )z t  p t .

(5)

Le second membre est de la forme _{f t}_{( )}__{e p t}^rt _{( )}où p(t) est un polynôme de degré ⁿ. On cherche une solution particulière de la forme e z t^rt ( )où ^{z t}^{( )}est un polynôme .

Si ^rest une solution de l’équation caractéristique et donc ^{z t}^{( )}est un polynôme de degré n1 Par exemple ⁿ=1

Si ^rest une solution de l’équation caractéristique et donc^{z t}^{( )}est un polynôme de degré 2 ( )

z t est de la forme z t( )at² bt c, mais on peut prendre c0car la partie _ke^{r t}se trouve dans la solution homogène de l’équation différentielle sans second membre.