Licence — MIMP — Semestre 1 Math 12A : Fondements de l’Analyse 1 Exercices Année 2012-2013 http ://math.univ-lille1.fr/∼mimp

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Licence — MIMP — Semestre 1

Math 12A : Fondements de l’Analyse 1

Exercices

Année 2012-2013

http ://math.univ-lille1.fr/∼mimp

Septembre 2012

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Table des matières

Chapitre I. Les nombres réels et les suites numériques 1

1 Les nombres réels – bornes sup et inf . . . 1

2 Suites numériques . . . 3

Chapitre II. Fonctions réelles – Limites et Continuité 5 1 Limites . . . 5

2 Continuité . . . 6

3 Suites récurrentes définies par des fonctions continues . . . 7

4 Théorèmes des valeurs intermédiaires, des valeurs extremes . . . 7

Chapitre III. Fonctions réelles – Dérivabilité 9 1 Dérivées . . . 9

2 Fonctions réciproques . . . 10

3 Dérivées d’ordre supérieur . . . 10

4 Extrema locaux, Théorème de Rolle . . . 11

5 Théorème des accroissements finis . . . 12

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1

Chapitre I. Les nombres réels et les suites numériques

1. Les nombres réels – bornes sup et inf Exercice 1. Montrer que ^{ln 3}_{ln 2} est irrationnel.

Exercice 2. Soientaetbdeux rationnels positifs tels que√ aou√

bsoit irrationnel.

Montrer que√ a+√

best irrationnel.

Exercice 3. Etant donné un ensemble A ⊂ R, écrire avec des quantificateurs les propriétés suivantes :

1. 10 est un majorant deA, 2. m est un minorant de A, 3. P n’est pas un majorant deA, 4. A est majoré,

5. A n’est pas minoré, 6. A est borné,

7. A n’est pas borné.

Exercice 4. On considère l’ensemble des nombres rationnels de la forme 1 + ¹_n, où n décrit l’ensemble des entiers strictement positifs. Cet ensemble est-il majoré ? Minoré ? A-t-il un plus petit élément ? Un plus grand élément ? Justifier vos réponses.

Mêmes questions pour l’ensemble E des réels de la forme ^n−1/n_n+1/n avecn∈N^∗. Exercice 5. Déterminer (s’ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand élément, le plus petit élément des ensembles suivants : [0,1]∩Q, ]0,1[∩Q, N,

(−1)ⁿ+ 1

n : n∈N^∗

. Exercice 6. Soit A etB deux parties non vides et bornées de R. Etablir les asser- tions suivantes :

1. SiA⊂B,alorssupA≤supB et infA≥infB.

2. sup(A∪B) = max(supA,supB)etinf(A∪B) = min(infA,infB) 3. sup(A+B)≤supA+ supB, où A+B ={a+b; a∈A, b∈B}.

4. sup(−A) =−infA, où −A={−a; a∈A}.

5. supA+ infB≤sup(A+B), oùA+B ={a+b;a∈A, b∈B}.

Exercice 7. On note D l’ensemble des nombres décimaux, i.e. l’ensemble des rationnels de la formep/10ⁿ,p∈Zetn∈N. Les ensembles suivants ont-ils une borne supérieure, un plus grand élément, une borne inférieure, un plus petit élément, dans D, dansQ, dansR, (si la question se pose) ?

1. [0,3[, 2. {0} ∪]1,2], 3. D∩[0,1/3],

4. {x| ∃n∈N, x= 1/n}, 5. {x∈Q|x²<2}.

(4)

2 CHAPITRE I. LES NOMBRES RÉELS ET LES SUITES NUMÉRIQUES

Exercices supplémentaires

Exercice 8. Montrer que l’ensemble des rationnels dyadiques : na

2^k : (a, k)∈Z×N o

est dense dansR. Exercice 9.

1. Démontrer que sir∈Q etx6∈Qalorsr+x6∈Q et sir 6= 0,rx6∈Q. 2. On sait que√

26∈Q. En déduire qu’entre 2 nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. (On pourra utiliser la propriété : pour tout réel a >0, il existe un entier ntel que n > a.)

3. Montrer que les irrationnels sont denses dansR.

Exercice 10. Trouver sous la forme ^p_q des rationnelsxdont les dévelopements déci- maux périodiques sont donnés par :

3,1414^_ · · · ; 0,99^_9 · · · ; 3,149^_9 · · ·

(5)

2. SUITES NUMÉRIQUES 3

2. Suites numériques

Exercice 11. Calculer les limites des suites définies par : un=√

n²+ 4n+ 1−n; un= ⁽⁻¹⁾_nⁿ; un= ^cos_nⁿ; un=e⁻ⁿsin(_n¹).

un=

n

X

k=1

1

k(k+ 1) (remarquer que _k(k+1)¹ = ¹_k−_k+1¹ ); u_n=

n

X

k=1

n

n²+k; u_n=

n

X

k=1

√ 1

n²+ 2k; u_n=

n²

X

k=1

√ 1

n²+ 2k (pour les trois dernières suites, encadrerun).

Exercice 12. Etudier la convergence des suites définies par : un= aⁿ−bⁿ

aⁿ+bⁿ, a, b >0; un=

n

X

k=1

1

n+k , un=

n

Y

k=1

2k−1

2k (étudier la monotonie de ces suites) ; u₀ ∈R,u_n+1 =u_n+kⁿ, k ∈R (exprimeru_nen fonction de n).

Exercice 13.

1. Soitl∈Ret(u_n) une suite qui vérifie :

∀ε∈]0,1[, ∃n₀ ∈N,∀n > n₀,|u_n−l|< ε.

Que peut-on dire de (un)?

2. Soit (un) une suite telle que lim

n→∞nun = 0 (resp. lim

n→∞nun = 1, lim

n→∞nun = +∞).Que peut-on dire de (un)?

Exercice 14. Montrer que la suite (un) définie par un = (−1)ⁿ+ 1

n,n ≥1, n’est pas convergente.

Exercice 15. En justifiant la réponse, dire si les énoncés suivants, sont vrais ou faux.

1. Si une suite est croissante et minorée, alors elle converge.

2. Si une suite est non majorée, alors elle tend vers+∞.

3. Si une suite à termes positifs tend vers 0, alors elle est décroissante à partir d’un certain rang.

4. Si une suite a une limite strictement positive, tous ses termes sont strictement positifs à partir d’un certain rang.

5. Si une suite d’entiers converge, elle est stationnaire.

6. Si une suite a un nombre fini de valeurs, elle converge si et seulement si elle est stationnaire.

7. Une suite est convergente si et seulement elle est bornée.

8. Si une suite n’est pas majorée, elle est minorée.

9. Il existe une suite(u_n) avec u_n=v_nw_n (resp.u_n=v_n+w_n) convergente telle que l’une au moins des suites (vn) et(wn) diverge.

10. Il existe une suite (un) divergente telle que(un+1−un)tend vers 0.

(6)

4 CHAPITRE I. LES NOMBRES RÉELS ET LES SUITES NUMÉRIQUES Exercice 16. En utilisant le critère de comparaison avec les suites géométriques, étudier la convergence des suites définies par :

un= 1·2· · ·n

1·4· · ·(3n−2); un= n!

nⁿ.

(Indication: pour la seconde, on admettra quelimn→∞(1 +_n¹)ⁿexiste et on minorera cette limite à l’aide de la formule du binôme de Newton).

Exercice 17. On considère les deux suites : u_n= 1 + 1

1!+· · ·+ 1

n! , n∈N; v_n=u_n+ 1

n! , n∈N.

Montrer que (u_n) et (v_n) sont adjacentes. En déduire qu’elles convergent vers une même limite. Montrer que cette limite est un élément deR\Q.

Exercice 18.

1. Soienta, b >0. Montrer que√

ab≤ ^a+b₂ . 2. Montrer les inégalités suivantes (b≥a >0) :

a≤ a+b

2 ≤b et a≤√

ab≤b.

3. Soient u0 et v0 des réels strictement positifs avec u0 < v0. On définit deux suites (un) et(vn)de la façon suivante :

un+1 =√

unvn et vn+1= un+vn

2 .

Montrer que (u_n) et(v_n)sont adjacentes.

(7)

5

Chapitre II. Fonctions réelles – Limites et Continuité

1. Limites Exercice 1.

1. Montrer que pour tout0< ε <1 et pourx∈R,on a :

|x−1|< ε

4 =⇒ |x²+x−2|< ε.

2. En déduire (en utilisant la définition d’une limite) :

x→1lim(x²+x−1) et lim

x→1(x²+x−2) cosx.

Exercice 2. Calculer lorsqu’elles existent les limites suivantes a) lim

x→0

x²+ 2|x|

x b) lim

x→−∞

x²+ 2|x|

x c) lim

x→0

√1 +x−√ 1 +x² x

d) lim

x→π

sin²x

1 + cosx e) lim

x→2

x²−4

x²−3x+ 2 f) lim

x→+∞(√

x+ 5−√ x−3)

g) lim

x→0

√3

1 +x²−1

x² h) lim

x→+∞(x−ln(chx)) i) lim

x→+∞

px+√ x+√

√ x

x+ 1 . Exercice 3. On rappelle les limites : lim

x→0

sinx

x = 1 et lim

x→0

1−cosx x² = 1

2. Calculer les limites suivantes :

a) lim

x→0⁺

√xsin 1

√x b) lim

x→0

sin 2x sin 3x

c) lim

x→0

xsinx

1−cosx d) lim

x→0

sinx−¹₂sin 2x x³

e) lim

x→0x tanx

cos²x−1 f) lim

x→0

tanx−sinx sin³(^x₂)

Exercice 4. Calculer les limites suivantes :

a) lim_x→0+xE(¹_x) ; b) limx→+∞xE(_x¹) ; c) lim_x→0+

√xE(¹_x).

(8)

6 CHAPITRE II. FONCTIONS RÉELLES – LIMITES ET CONTINUITÉ

2. Continuité

Exercice 5. Déterminer les domaines de définition et de continuité des fonctions suivantes :

f(x) =

q2+3x

5−2x ; g(x) =√

x²−2x−5;

h(x) = ln (4x+ 3) ; j(x) = _1−x¹ −_1−x² ₂. Exercice 6. Etudier la continuité surR des fonctions suivantes :

1. f₁(x) =x²cos¹_x si x6= 0, etf₁(0) = 0; 2. f₂(x) = sinxsin¹_x si x6= 0, etf₂(0) = 0; 3. f₃(x) =xE(x);

4. f₄(x) =E(x) sin(πx).

Exercice 7. Soit f : R\ {¹₃} →Rtelle que f(x) = ²₃^x+3_x−1.

Pour tout ε >0 déterminerα tel que, (x6= ¹₃ et|x| ≤α) =⇒ |f(x) + 3| ≤ε.

Que peut-on en conclure ?

Exercice 8. Soit f :R→R continue en0 telle que

∀x∈R, f(x) =f(2x).

Montrer quef est constante.

Exercice 9. Soient f et g continues sur [0,1] telles que ∀x ∈ [0,1] f(x) < g(x).

Montrer qu’il existem >0 tel que ∀x∈[0,1], f(x) +m < g(x).

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3. SUITES RÉCURRENTES DÉFINIES PAR DES FONCTIONS CONTINUES7

3. Suites récurrentes définies par des fonctions continues Exercice 10. On considère la suite définie par :x₀ = 1 etx_n+1=√

2x_n+ 1.

(a) Montrer quex_n≥1,pour tout n≥0.

(b) Montrer que si(xn)converge, sa limitel vérifie : l=√ 2l+ 1.

(c) Montrer qu’il existe k∈]0,1[tel que |x_n−l| ≤k|x_n−1−l|? En déduire que |x_n−l| ≤kⁿ|x₀−l|et conclure.

(d) En utilisant la même méthode, étudier la convergence des suites définies par : u₀ = 3, u_n+1= ^4+3u_3+2uⁿ

n , n≥0;

v0 = 1, vn+1= 1 +_v¹

n , n≥0 Exercice 11. On donne la suite(u_n) définie par :

u1 =

√

2 et un=p

2−un−1.

En étudiant les suites (u2n) et (u2n+1), montrer que la suite (un) est convergente.

Pouvez-vous démontrer autrement la convergence de la suite ?

Exercice 12. Soit f : [a, b] → [a, b], une fonction continue sur [a, b]. On appelle point fixede f toutx∈[a, b]tel que f(x) =x.

Soit(u_n)n≥0une suite définie par :u₀∈[a, b]etu_n+1=f(u_n),n≥0.On rappelle que :

(a) Sif est croissante,(u_n)est monotone et converge vers un point fixe de f.

(b) Si f est décroissante, (u2n) et (u2n+1) sont monotones et convergent chacune vers un point fixe de f◦f.

Etudier la convergence des suites définies par : u₀>0, u_n+1 = ^1+u_2u ²ⁿ

n ,n≥0 v0 >−1, v_n+1 = _1+v¹

n,n≥0 w₀ ∈[0,1], w_n+1= 1−w²_n, n≥0.

4. Théorèmes des valeurs intermédiaires, des valeurs extremes Exercice 13. Soitf(x) =x⁵−3x−1, g(x) =x2^x−1.

1. Montrer quef(x) = 0 admet une solution sur[1,2].

2. Montrer queg(x) = 0 admet une solution sur[0,1].

3. Montrer quef(x) =g(x) admet une solution sur]0,2].

Exercice 14. Soit

f :x∈R→f(x) = cosx 1 +x².

Montrer quef est majorée sur R, minorée surR. Déterminer sup

x∈R

f(x).

Exercice 15. Soitf :R⁺→Rcontinue admettant une limite finie en+∞. Montrer quef est bornée. Atteint-elle ses bornes ?

Exercice 16. Soitf :R→Rcontinue telle que lim

x→−∞f(x) =−∞ et lim

x→+∞f(x) = +∞. Montrer quef s’annule. Appliquer ceci aux polynômes de degré impair.

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8 CHAPITRE II. FONCTIONS RÉELLES – LIMITES ET CONTINUITÉ

Exercice 17. En utilisant la définition d’une limite, montrer que : a) lim

x→2(2x+ 1) = 5 ; b) lim

x→1(x²−1) = 0.

c) lim

x→−²₃

(3x+ 2) sin 1

3x+ 2

= 0 ; d) lim

x→+∞

√1 x = 0.

e) lim

x→0⁺

2

1 +e⁻¹^x = 2 ; f) lim

x→−∞e^x² = +∞.

(Indication :Pour les deux dernières limites, utiliser les croissances comparées) Exercice 18.

(a) Montrer que toute fonction périodique et non constante n’admet pas de limite en +∞.

(b) Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une limite finie en+∞.

Exercice 19.

1. Soit la fonction réelle définie parf(x) = 1six∈Qetf(x) = 0sinon. Montrer que f n’admet pas de limite en tout point deR.

2. Soit la fonction réelle définie parf(x) =x six ∈Qetf(x) = 1−x sinon. En quels points de R f est elle continue ?

Exercice 20. Soit (u_n) la suite réelle définie par récurrence en posant u₀ = 1 et u_n+1=√

1 +u_nsi n∈N^∗.

1. Montrer que(u_n) est croissante et majorée.

2. Montrer que(u_n)converge vers le nombre réel positiflqui vérifiel²−l−1 = 0 et calculer l.

Exercice 21. Étudier les suites : 1. u0= 0 etun+1 =√

un+ 2.

2. u0∈Retun+1 =un−u²_n.

Exercice 22. Soitf la fonction réelle à valeurs réelles, définie par f(x) =







x six <1 x² si1≤x≤4 8√

x six >4 1. Tracer le graphe def.

2. f est elle continue ?

3. Montrer quef définit une bijection de RsurRet déterminer f⁻¹. Exercice 23. Existe-t-il une bijection continue de[0,1[sur R?

Exercice 24. Soitf : [0,1]→[0,1]croissante, montrer qu’elle a un point fixe.

Indication : étudier énsemble E={x∈[0,1]; ∀t∈[0, x], f(t)> t}.

(11)

9

Chapitre III. Fonctions réelles – Dérivabilité

1. Dérivées

Exercice 1. Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes : (a) f₁(x) =x²cos1

x si x6= 0, f₁(0) = 0;

(b) f2(x) = sinxsin 1

x si x6= 0, f2(0) = 0;

(c) f3(x) = |x|√

x²−2x+ 1

x−1 si x6= 1, f3(1) = 1.

Exercice 2. Etudier la dérivabilité sur Rdes applications suivantes : f :x7→x|x|, g:x7→ x

1 +|x|, h:x7→ 1 1 +|x|. Exercice 3. Calculer, lorsqu’elles existent, les dérivées des fonctions :

x7→p

1 +x²sin²x, x7→ exp(1/x) + 1 exp(1/x)−1, x7→log(1 + sin(x)

1−sin(x)), x7→(x(x−2))^1/3.

Exercice 4. Prolonger par continuité en 0 et étudier la dérivabilité de f(x) =√

xlnx et g(x) = e^x−1

√x .

Exercice 5. Déterminer a, b ∈R de manière à ce que la fonction f définie surR+

par :

f(x) =√

x, si 0≤x≤1 et f(x) =ax²+bx+ 1, sinon soit dérivable surR^∗₊.

Exercice 6. Soit f :R^∗ −→ R définie par f(x) =x²sin1

x. Montrer quef est pro- longeable par continuité en0; on note encore f la fonction prolongée. Montrer que f est dérivable surR mais quef⁰ n’est pas continue en 0.

Exercice 7. Soit f : R → R une fonction dérivable sur R et f⁰ la dérivée de f.

Montrer que :

1.f est paire si et seulement si f⁰ est impaire.

2.f est impaire si et seulement si f⁰ est paire etf(0) = 0.

Exercice 8. Soient f : [0,1]→ Rune fonction dérivable sur [0,1], telle que f(0) = f(1).On considère la fonction g définie par :

g(x) =

f(2x), si x∈[0,¹₂] f(2x−1), si x∈[¹₂,1]

Montrer quegest continue sur[0,1].A quelle conditiong est dérivable sur[0,1]?

(12)

10 CHAPITRE III. FONCTIONS RÉELLES – DÉRIVABILITÉ

2. Fonctions réciproques

Exercice 9. Ecrire sous forme d’expression algébrique

sin(arccosx), cos(arcsinx), cos(arctanx), sin(arctanx).

Exercice 10. Donner une expression plus simple de : y= argch

r1 + chx

2 ; y= argsh(2xp

1 +x²); y= argthx²−1 x²+ 1. Exercice 11. Vérifier

arcsinx+ arccosx= π

2, arctanx+ arctan1

x = sign(x)π 2. Exercice 12. Soient les fonctionsf :x7→arcsin(sinx) etg:x7→arctan

q1−cosx 1+cosx. 1. Simplifier les expressions def(x) etg(x).

2. Construire les graphes def etg.

Exercice 13. Tracer les courbes représentatives des fonctions

x7→f(x) = sin(arcsinx), x7→f(x) = arcsin(cosx), x7→f(x) = arctan(1 x).

Exercice 14. Résoudre les équations suivantes : 1. arctan(2x) + arctanx= ^π₄.

2. arcsin(2x)−arcsin(x√

3) = arcsin(x).

3. arctan(x) + arctan(√

3x) = ^7π₁₂. 3. Dérivées d’ordre supérieur

Exercice 15. Calculer la fonction dérivée d’ordre n des fonctions f, g, h définies par :

f(x) = sinx ; g(x) = sin²x ; h(x) = sin³x+ cos³x.

Exercice 16. Calculer les dérivées successives des fonctions : x7→x²e^x ; x7→x²(1 +x)ⁿ ; x7→ x²+ 1

(x+ 1)² ; x7→xⁿ⁻¹lnx.

Exercice 17.

1. Soienta < b deux réels etf(x) = (x−a)ⁿ(x−b)ⁿ. Calculer f⁽ⁿ⁾ et en déduire

n

P

k=0

(C_n^k)².

2. Montrer que f⁽ⁿ⁾ est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples et appartiennent à [a, b].

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4. EXTREMA LOCAUX, THÉORÈME DE ROLLE 11

4. Extrema locaux, Théorème de Rolle

Exercice 18. Déterminer les extrema locaux def(x) =x⁴−x³+ 1surR.

Exercice 19. Soitf :R−→Rdéfinie parf(x) = (1−k)³x²+ (1 +k)x³ oùkest un nombre réel. Déterminer les valeurs dek pour lesquelles l’origine est un extremum local def.

Exercice 20. Etudier la fonction f : x 7→ x⁵ −5x+ 1 sur R et en déduire que l’équationx⁵−5x+ 1 = 0a trois solutions réelles.

Exercice 21. Soitf la fonction définie par :f(x) = e^{x(x−π) cos}^x 1 + sin²x .

(a) Montrer que ∀x ∈ R, f(x) > 0. En déduire qu’il existe un réel a > 0 tel que f(x)> a,∀x∈[0, π].

(b) Vérifier que f(0) =f(π).En déduire qu’il existe un réel c, 0 < c < π, tel que f⁰(c) = 0.

Exercice 22. Etudier les hypothèses et la conclusion du théorème de Rolle pour les fonctions suivantes :

f(x) = 1−√³

x², sur[−1,1] ; g(x) =

1 +xsin(^π_x), six >0

1, six= 0 , sur [0,1].

Exercice 23. Soit f : [a,+∞[→ R (a ∈ R) une fonction continue sur [a,+∞[, dérivable sur ]a,+∞[ et telle que f(a) = 0 et limx→+∞f(x) = 0. Montrer qu’il existe un réelc > atel que f⁰(c) = 0.

Exercice 24. Appliquer la règle de l’Hôpital au calcul des limites suivantes :

x→1lim⁻

arccosx

√

1−x², lim

x→0

1

sin²x− 1 x²

, lim

x→0 (1−cosx)cotanx.

(14)

12 CHAPITRE III. FONCTIONS RÉELLES – DÉRIVABILITÉ

5. Théorème des accroissements finis

Exercice 25. En appliquant le théorème des accroissements finis, montrer que : 1.∀x >0, e^x>1 +x.A-t-on la même inégalité si x <0?

2.∀x >0, sinx < x.

Exercice 26. Dans cet exercice sera étudié le comportement de la suite définie pour nentier positif non nul, parun=

n

X

k=1

1 k.

1. A l’aide du théorème des accroissements finis, montrer que pour toutn entier positif non nul, ln(n+ 1)−ln(n)< 1

n.

2. En déduire, par un raisonnement par récurrence, que pour toutnentier positif non nul, ln(n+ 1)< un.

3. Conclure.

Exercice 27. Vérifier les hypothèses du théorème des accroissements finis et étudier l’existence et l’unicité d’un réelctel quef(b)−f(a) = (b−a)f⁰(c)pour les fonctions suivantes :

1.f(x) = (x+ 2)(x−1), sur[−2,1].

2.f(x) = sin(2x) + 2x, sur[0,2π].

3.f(x) = √³

x,sur [−1,1].

Exercice 28. On considère la fonctiong; :R→Rdéfinie par g(x) = 1 chx. 1. Justifier la dérivabilité deg et calculer g⁰.

2. Montrer quegest monotone sur [0,1]et queg([0,1]) est un segment (que l’on précisera) inclu dans[0,1].

3. (a) Montrer que la fonction h(x) =x−g(x)est monotone sur [0,1].

(b) Montrer qu’il existe un unique`∈[0,1]tel que `ch`= 1.

4. (a) Montrer que pour tout x∈R,|g⁰(x)| ≤ ¹₂.

(b) En déduire que, pourx, y∈R,|g(x)−g(y)| ≤ ¹₂|x−y|.

(c) Montrer que ²₃ ≤`≤1.

(15)

5. THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS 13

Exercice 29. Soita, b tels que 0 < a < b etf une fonction définie et continue sur [a, b] dérivable sur ]a, b[ et telle que f(a) = f(b) = 0. Montrer qu’il existe c ∈]a, b[

tel que f⁰(c) = ^f^(c)_c . Donner l’interprétation géométrique de ce fait. (Indication : Appliquer le théorème de Rolle à la fonctionx7→ f(x)

x .)

Exercice 30. Soitf : [a, b]→Rune fonction continue sur [a, b],dérivable sur ]a, b[

et telle que

x→alim⁺f⁰(x) =`.

Montrer quef est dérivable à droite de aet quef_d⁰(a) =`.

Exercice 31.

(a) Soit f : I → R une fonction dérivable sur un intervalle I. Montrer que si f s’annule en npoints distincts, alors f⁰ s’annule au moins n−1fois sur I.

(b) SoitP le polynômeP(X) =Xⁿ+pX+q, avecp, q∈Retn∈N.Montrer que si n est pair, P admet au plus deux racines réelles et si n est impair, P admet au plus trois racines réelles.

Exercice 32. Soit f : R → R une fonction dérivable sur R et telle que f(0) 6= 0.

Montrer que si M0 = (x0, f(x0)) est le point du graphe de f le plus proche de O = (0,0) alors la tangente au graphe de f en M₀ est perpendiculaire à la droite OM₀.

Exercice 33. Soitf une fonction continue sur[a, b]et dérivable sur]a, b[. SoitM du graphe def. Montrer qu’il existe une tangente au graphe def en un point d’abscisse dans]a, b[qui est parallèle à la droite AM, oùA= (a, f(a)).

Exercice 34. Soit a >0 et h >0. Pour chacune des fonctions f : [a, a+h]→ R, montrer qu’il existe un réelθ, 0 < θ < 1 tel que f(a+h)−f(a) = hf⁰(a+θh) et calculerlimh→0θ(aétant fixé).

1.f(x) =x³. 2.f(x) = _x¹.