Cardinal cˆone nilpotent

Cardinal cˆ one nilpotent

Maximilien Dreveton July 8, 2016

R´ef´erences H2G2 0.1 Recasages

Passe `a l’aise 101 Groupe op´erant sur un ensemble. Exemples et applications.

104 Groupes finis. Exemples et applications 123 Corps finis. Applications.

150 Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

153 Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

154 Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

157 Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents 190 M´ethodes combinatoires, probl`emes de d´enombrements.

0.2 Le d´eveloppement

Lemme 0.1. Lemme de Fitting

E espace de dimension finie, u∈End(E), alors la suite (dimKeruⁱ)i est croissante et stationnaire en s’essoufflant.

De plus, ∃n₀ :E=Keruⁿ⁰ ⊕Imuⁿ⁰.

En particulier, u_Keruⁿ0 est nilpotente, et u_Imuⁿ0 est inversible.

Proof. keru^k⊂keru^k+1

Supposons ∃n₀ :Keruⁿ⁰ =Keruⁿ⁰⁺¹, montrons qu’alors Keruⁿ⁰⁺¹=Keruⁿ⁰⁺². En effet,x∈Keruⁿ⁰⁺², alorsu(x)∈Keruⁿ⁰⁺¹ =Keruⁿ⁰, doncx∈Keruⁿ⁰⁺¹. L’inclusion inverse est directe.

En fait un tel n0 existe toujours cardim(Keru^k)k est croissante, born´ee par dim E.

Enfin, montrons queKeruⁿ⁰ etImuⁿ⁰ sont en somme directe. Leur dimension vaut dimE par le th´eor`eme du rang. Soit x dans l’intersection, montrons que x est nul.

On a x ∈ Imuⁿ⁰ donc x = uⁿ⁰(y), mais x ∈ Keruⁿ⁰ donc uⁿ⁰(x) = 0 = u²ⁿ⁰(y).

Doncy∈Keru²ⁿ⁰ =Keruⁿ⁰ car la suite s’essoufle `a partir den0. Doncuⁿ⁰(y) = 0 =x.

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Proposition 0.2.

n_d:=|{M ∈ M_d(Fq)nilpotente}|=q^d(d−1) Proof. Introduisons les notations suivantes :

n,k entiers tels que n+k=d.

X_n,k={(F, G)sev deF^dq F ⊕G=F^dq dimF =n dimG=k}

m_n,k =|X_n,k| Enfin, notons gd=|GL_d(Fq).

1`ere ´etape Montrons que mn,k= _g^gd

kgn

Soit ρ :GL_d(Fq)×X_n,k →X_n,k; (M,(F, G))7→ (M F, M G) l’action de GL_d(Fq) sur X_n,k.

Alors la formule des classes donne : m_n,k= ^GL_|Stab(x)^d(Fq), pour x∈X_n,k. Or

Stab(F, G) ={ P 0

0 Q

, P ∈GL_n(Fq), Q∈GL_k(Fq)}

2`eme ´etape Soit u∈End(E). Par Fitting, il existe un couple (F,G) dansX_n,k tel que uF est nilpotente et uG inversible.

Donc

q^d2 =|End(F^dq)| =

d

X

i=0

mi,d−in_igd−i (1)

=

d

X

i=0

ni

g_d

g_i (2)

= g_d gd−1

d−1

X

i=0

ni

g_d−1 gi

+nd (3)

= g_d gd−1

q^(d−1)2+n_d (4)

Or g_d= (q^d−1)(q^d−q). . .(q^d−q^d−1) = (q^d−1)(q^d−1−1). . .(q¹−1)q^d−1 donc _g^gq

d−1 =q(q^d−1) Ce qui permet de conclure.

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