Changement de référentiels 1) Une horloge dans un ascenseur :

Changement de référentiels

1) Une horloge dans un ascenseur :

Une horloge est constituée d’un pendule de longueur 𝐿, le fil étant sans masse, attaché en 𝑂 au bout duquel est attachée en 𝑀 une masse ponctuelle 𝑚. Il oscille dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

On note 𝜃(𝑡) l’angle que le fil fait avec la verticale à l’instant t. Initialement on a 𝜃(𝑡 = 0) = 𝜃_𝑜 et 𝜃̇(𝑡 = 0) = 0 avec 𝜃_𝑜∈ [0,^𝜋

2].

1) Quelle est la période 𝑇_𝑜 des petites oscillations ? Pour la suite on prend 𝑇_𝑜 = 1 𝑠.

2) Le pendule est maintenant dans un ascenseur qui monte avec une accélération constante 𝑎_𝑜= 2𝑚. 𝑠⁻². On suppose que les oscillations du pendule sont petites. L’horloge retarde-t-elle ou avance-t-elle par rapport à une horloge restée dans un référentiel galiléen de l’escalier ?

3) Le mouvement de l’ascenseur se décompose maintenant en trois phases : Pendant 𝛿𝑡 = 5𝑠 une accélération constante vers le haut ;

Pendant 𝜏, un mouvement à vitesse constante ;

Pendant 𝛿𝑡 = 5𝑠 une accélération constante vers le bas.

A la fin, l’horloge placée dans l’ascenseur retarde-t-elle ou avance-t-elle par rapport à une horloge placée dans un référentiel galiléen de l’escalier ?

2) Inclinaison des rails :

Un train rapide (𝑣 = 250 𝑘𝑚/ℎ) circule dans une direction nord-sud de Paris à Nice (latitude environ de 45°).

Préciser la nature et le sens de la force de Coriolis. De quel angle faudrait-il incliner le plan des rails sur l'horizon si l'on voulait que la réaction des rails soit rigoureusement perpendiculaire à ce plan?

3) Porte qui se ferme :

Une voiture prend une accélération constante 𝑎⃗ = 𝑎_𝑜𝑢⃗⃗_𝑥. La portière 𝐴𝐵 est restée ouverte, l’angle initial est 𝜃_𝑜 = 𝜋/2. Elle est modélisée par une plaque de hauteur ℎ, de largeur 2𝑎, de masse m uniformément répartie et de moment d’inertie par rapport à son axe de rotation 𝐽 = 4/3𝑚𝑎². La liaison 𝐴𝑧 est supposée parfaite.

1) Déterminer l’équation différentielle en 𝜃(𝑡).

2) En déduire le temps nécessaire à la fermeture de la portière. On donne ∫ ^𝑑𝜃

√𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜋/2

0 =

2,6.

4) Faut-il courir sous la pluie ? :

Faut-il courir sous la pluie si on veut se mouiller le moins possible ?

5) Pendule de Foucault  :

On considère un pendule simple constitué d’une masse 𝑚 = 30𝑘𝑔 situé à l’extrémité 𝐴 du pendule. L’autre extrémité est fixée en un point 𝑂₁, placé à une hauteur égale à 𝐿 = 67𝑚 sur la verticale du lieu de latitude 𝜆.

On utilise comme base du référentiel terrestre (𝑂, 𝑥, 𝑦, 𝑧), l’axe 𝑂𝑧 étant la verticale ascendante, 𝑂𝑥 est orienté vers l’est et 𝑂𝑦 vers le nord, 𝑂 étant pris au niveau du sol. La période de la Terre est 𝑇_𝑇 = 86164 𝑠.

Le pendule est lâché sans vitesse initiale et on fait l’hypothèse que l’amplitude du mouvement est faible.

1) Montrer que la tension du fil peut s’écrire 𝑇⃗⃗ = −𝑇^{𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1𝐴}

𝐿 .

2) Appliquer la loi de la quantité de mouvement et projeter l’équation obtenue sur les trois axes de la base du référentiel terrestre en posant et 𝜔_𝑇 = ^2𝜋

𝑇_𝑇

3) On pose 𝜔_𝑜² =^𝑔

𝐿 . On suppose que le mouvement du pendule est dans le plan 𝑥𝑂𝑦. Justifier cette approximation. Résoudre avec les conditions initiales suivantes : 𝑥(0) = 𝑥_𝑜 et 𝑦(0) = 0.

4) Donner la forme de la solution et la nature du mouvement dans un système d’axes tournant autour de 𝑂𝑧 à la vitesse angulaire 𝜔_𝑇sin (𝜆) dans le sens N-E-S-O ? Le plan d’oscillation du pendule au lieu 𝜆 = 48°51^′ ( Paris) effectue un tour complet en 𝑇 = 31ℎ47 𝑚𝑖𝑛. En déduire la période de rotation de la Terre.

6) Anneau sur une barre en rotation :

Une barre 𝑂𝑥 est animée, par rapport à un axe vertical  faisant avec lui un angle

, d'un mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire . Un petit anneau 𝑀, de masse 𝑚, coulisse sans frottement sur 𝑂𝑥.

1) Déterminer la position d'équilibre 𝑀_𝑜 de 𝑀dans le référentiel lié à la barre. On pose = 𝜔𝑠𝑖𝑛𝛼 Etudier sa stabilité.

2) 𝑀 étant abandonné sans vitesse initiale relativement à 𝑂𝑥 à une distance 𝑎 de 𝑀_𝑜, donner l'expression de 𝑥 en fonction du temps.

3) Calculer, à l'instant 𝑡, la composante de la réaction de 𝑂𝑥 sur 𝑀 dans le plan perpendiculaire à (∆, 𝑂𝑥).

7) Brisure de symétrie :

Un cerceau de rayon R tourne autour d’un diamètre vertical à la vitesse angulaire Ω constante. Une bague peut coulisse sans frottement le long du

cerceau. On repère sa position par l’angle 𝜃 entre la verticale et le rayon joignant le centre du cercle à la bague.

1) Dans le référentiel lié au cerceau, déterminer les positions d’équilibre.

2) Etudier leur stabilité en s’intéressant à de petites variations autour d’un équilibre donné.

3) Que se passe-t-il si on met petit à petit le cerceau en rotation jusqu’à une vitesse angulaire « élevée » ?

8) Régulateur de Watt :

Le régulateur à boules de James Watt est un système permettant de réguler la vitesse de rotation d'une machine à vapeur. On le modélise par le système suivant : on considère un losange dont les bras sont articulés sans frottements. Ce losange tourne avec une vitesse angulaire 𝜔 autour de l’axe 𝑧. Le ressort a une longueur à vide 𝑙_𝑜 et une constante de raideur 𝑘. Les deux boules, modélisées par des points matériels de masse 𝑚, sont contraintes de se déplacer sur l’axe des 𝑥.

Discuter l’existence de positions d’équilibre et leurs stabilités.

∆

M 𝜔⃗⃗⃗

x

O 𝛼

𝑀 Ω⃗⃗⃗

O 𝜃

9) Deux particules sur un plateau :

1) Deux particules 𝑃₂ et 𝑃₂ de masses respectives 𝑚₁ et 𝑚₂ sont liées élastiquement par un ressort de longueur propre 𝑙_𝑜 et de rigidité 𝑘. Elles reposent sans frottements sur un plateau horizontal animé par rapport à un référentiel galiléen d' un mouvement de translation rectiligne d'accélération 𝑎_𝑜 constante. A l'instant 𝑡 = 0, la distance des particules est de 2𝑙_𝑜, leur vitesse relativement au plateau est nulle; en outre 𝑃₁𝑃₂ // 𝑎^𝑜. On choisit l'origine en 𝑂₁ = 𝑂.

Déterminer l'allongement 𝑢 du ressort en fonction du temps, ainsi que le mouvement des particules relativement au plateau. On pose ₁²

1

= k

m et ₂²

2

= k m

2) On suppose maintenant que 𝑎_𝑜 est de la forme 𝑎_𝑜𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 avec 𝜔² = 𝜔₁² + 𝜔₂². Les conditions initiales sont les mêmes que précédemment. Comment choisir 𝑎_𝑜 pour que la particule 𝑃₁ reste au repos /plateau? Déterminer alors le mouvement de 𝑃₂ dans le référentiel du plateau.

10) Le pendule du professeur Tournesol :

Le professeur Tournesol se trouve dans un satellite ; celui-ci est supposé en orbite circulaire autour de la Terre à l’altitude ℎ. On notera 𝑅_𝑠 = 𝑅_𝑇+ ℎ le rayon de sa trajectoire et 𝜔_𝑠 sa vitesse angulaire. Le professeur accroche en son centre 𝑂 un pendule constitué d’une tige sans masse, de longueur 𝐿 à l’extrémité duquel on a une masse supposée ponctuelle 𝑚. La liaison en 𝑂 permet à la tige de tourner sans frottements dans le plan défini par la trajectoire du satellite.

1) Quelle est la vitesse angulaire 𝜔_𝑠 du satellite en fonction de 𝑅_𝑠, 𝐺 et la masse de la Terre 𝑀_𝑇 ?

2) Quelle est la période des petites oscillations du pendule ?

11) What else  :

Dans le film Gravity, George Clooney se trouve dans une station spatiale 𝑆 est en orbite circulaire autour de la Terre de centre 𝑂. Le rayon de l’orbite est 𝑟_𝑜 = 7000 𝑘𝑚 et la vitesse angulaire de la station est notée 𝜔. On introduit le référentiel 𝑅_𝑠 (𝑆, 𝐼⃗, 𝐽⃗, 𝑘⃗⃗) centré sur la station et en rotation par rapport au référentiel 𝑅_𝑔( 𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘⃗⃗) supposé galiléen. A un instant pris comme initial, George Clooney se trouve séparé de la station et perd sa tasse de café de masse, notée 𝐶 qui part dans l’espace avec une vitesse relative 𝑣⃗_𝑜. On se propose d’étudier le mouvement de 𝐶 dans le référentiel 𝑅_𝑠 de la station sous l’influence du champ de gravitation de la Terre. La position instantanée de 𝐶 est donnée par 𝑆𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 ⃗⃗⃗(𝑋, 𝑌, 𝑍 = 𝑧).

H 𝜔⃗⃗⃗

𝑙𝑜, 𝑘 a

z

m x m

M

𝛼 𝑀

𝑇 𝑂

On donne 𝑀_𝑇 = 6. 10²⁴ 𝑘𝑔 et 𝐺 = 6,6. 10⁻¹¹ 𝑁. 𝑚². 𝑘𝑔⁻²

1) On considère 𝑟 << 𝑟_𝑜. Montrer que les équations du mouvement de la tasse dans le référentiel 𝑅_𝑠 sont, au premier ordre, :

𝑋̈(𝑡) = 3𝜔²𝑋(𝑡) + 2𝜔𝑌̇(𝑡) ; 𝑌̈(𝑡) = −2𝜔𝑋̇(𝑡) ; 𝑍̈(𝑡) = −𝜔²𝑍(𝑡)

2) On suppose que : v_ox =v_oy =0 et v_oz =v_o =15m.s⁻¹. Quelle est la trajectoire de 𝐶 ? Quelle est la distance maximale 𝐿₁ de 𝐶 à la station au cours de son mouvement ? Retournera- t-il à la navette ? Si oui en combien de temps ?

3) On suppose que : v_oz =v_oy =0 et v_ox =−v_o =−15m.s⁻¹. Mêmes questions qu’au 2).

c) On suppose que : v_oz =v_ox =0 et v_oy =v_o =15m.s⁻¹. Mêmes questions qu’au 2).

George Clooney arrivera-t-il à boire rapidement son café préféré ?

12) Points de Lagrange :

Trois masses 𝑚₁, 𝑚₂ et 𝑚₃ sont en rotation dans un même plan autour de leur centre de masse 𝐶 qui est immobile. Montrer que, si elles sont situées respectivement aux trois sommets 𝑀, 𝑀₂ et 𝑀₃ d’un triangle équilatéral de côté d, elles peuvent être en équilibre relatif dans un référentiel tournant à vitesse angulaire constante 𝜔 autour de 𝐶.

Cette disposition de corps céleste est appelée points de Lagrange 𝐿₄ et 𝐿₅, peut être observée dans le système solaire avec le triplet Soleil, Jupiter, astéroïde.

1) Rappeler la définition du centre de masse C des trois masses 𝑚₁, 𝑚₂ et 𝑚₃.

2) Appliquer le PFD à la masse 𝑚₁ dans un référentiel 𝑅 en rotation à vitesse angulaire constante 𝜔 autour de 𝐶, 𝑢⃗⃗_𝑧 où 𝑢⃗⃗_𝑧 est la normale au plan des trajectoires.

3) Quelle est l’expression de la vitesse angulaire 𝜔 en fonction de 𝑑, 𝐺 et 𝑚_𝑖 pour que la masse 𝑚₁ soit à l’équilibre dans 𝑅 ?

Indications :

1) Une horloge dans un ascenseur :

1) Appliquer la loi de la quantité de mouvement projetée sur la direction perpendiculaire à OM ; 2) Même principe mais en ajoutant la force d’inertie d’entrainement ; 3) il faut compter combien de période fait le balancier de l’horloge de l’ascenseur en 10 s ; dans le référentiel de l’escalier le balancier fait 10 périodes.

2) Inclinaison des rails :

La réaction des rails s’oppose au poids et à la force d’inertie de Coriolis.

3) Porte qui se ferme :

1) Appliquer le théorème du moment cinétique dans le référentiel lié à la voiture ; 2) Multiplier l’expression obtenue pour faire apparaitre une intégrale première en 𝜃̇²(𝑡) ; attention au signe de 𝜃̇(𝑡).

4) Faut-il courir sous la pluie ?

Le plus simple est de modéliser la personne par un parallélépipède animé d’une vitesse 𝑣⃗_𝑜. On introduit également l’angle que fait la pluie avec la verticale 𝜃. Il faut se placer dans le référentiel lié à la personne et dénombre combien il reçoit de gouttes entre 𝑡 et 𝑡 + 𝑑𝑡 en introduisant une densité des gouttes 𝑛. En déduire le nombre de gouttes reçues sur une distance 𝐷 et chercher le minimum de ce nombre de gouttes reçyes par rapport à la vitesse 𝑣_𝑜. Il faut distinguer deux cas : les gouttes arrivent dans le dos dans le référentiel où le personnage est immobile et les gouttes arrivent de face.

5) Pendule de Foucault :

1) La tension est dirigée suivant −𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁𝐴 ; 2) Ne pas oublier que la force d’inertie d’entrainement est déjà comprise dans le poids ;3) Les oscillations étant petites devant L on fait l’hypothèse d’un mouvement dans le plan 𝑥𝑂𝑦. On peut négliger 𝜔_𝑇𝑥̇ devant 𝐿𝜔_𝑜² ; on obtient alors 𝑇 = 𝑚𝑔 ; pour résoudre les équations on pose 𝑍 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ; évaluer 𝜔_𝑇 et 𝜔_𝑜 pour simplifier la solution ;4) Dans le repère tournant exprimer 𝑍’(𝑡) puis les composantes 𝑥’(𝑡) et 𝑦’(𝑡)

6) Particule sur une barre en rotation :

Appliquer la loi de la quantité de mouvement dans le référentiel lié à la tige 𝑂𝑥 ; ne pas oublier la force d’inertie de Coriolis pour le calcul de la réaction.

7) Brisure de symétrie :

2) Ecrire le PFD dans le réf non galiléen et poser 𝜃(𝑡) = 𝜃_é𝑞+ 𝜀(𝑡) pour étudier la stabilité.

Mettre en évidence l’existence d’une vitesse angulaire critique.

8) Régulateur de Watt :

Comme il s’agit uniquement d’une recherche de positions d’équilibre, il faut raisonner sur l’énergie potentielle du système ; pour cela introduire une énergie potentielle de la force d’inertie d’entrainement et tenir compte également de l’énergie potentielle de pesanteur et l’énergie potentielle du ressort ; paramétrer à partir d’un des angles entre les diagonales du losange et un côté ; la position d’équilibre stable correspond à un minimum de l’énergie potentielle totale.

9) Deux particules sur un plateau :

1) Appliquer la loi de la quantité de mouvement à chacun des points matériels ; résoudre en posant 𝑢(𝑡) = 𝑥₂(𝑡) − 𝑥₁(𝑡) et 𝑋(𝑡) =^{𝑚1𝑥1(𝑡)+𝑚2𝑥2(𝑡)}

𝑚₁+𝑚₂ ; 2) 𝑢(𝑡) n’est pas modifié ; on cherche

𝑥₁(𝑡) = 0.

10) Le pendule du professeur Tournesol :

2) Appliquer le PFD dans le réf lié au satellite et projeter la somme des forces dans la direction perpendiculaire à la tige (direction 𝑢⃗⃗_𝛼); Exprimer la force d’inertie d’entrainement et la force de gravitation dans cette direction et faire un DL d’ordre 1 en supposant que la 𝑂𝑀 << 𝑅_𝑠 ; ne pas oublier d’exploiter la première question.

11) What else :

1) Etudier tout d’abord le mouvement de la station spatiale dans le réf géocentrique et en déduire sa vitesse angulaire. Puis étudier le mouvement de la tasse dans le référentiel lié à la station spatiale. Il faut appliquer la loi de la quantité de mouvement en tenant compte de l’attraction de la Terre, de la force d’inertie d’entrainement et de la force d’inertie de Coriolis; puis faire un DL de la force d’inertie d’entrainement ; 2) intégrer en tenant compte à chaque fois des conditions initiales.

12) Points de Lagrange :

3) L’accélération de la masse 𝑚₁ doit être nulle ; comme la masse est çà l’équilibre, l’accélération de Coriolis est également nulle; pour simplifier les expressions, ne pas oublier la question 1)

Solutions :

1) Une horloge dans un ascenseur : 1) 𝑇_𝑜 = 2𝜋√^𝐿_𝑔 ; 2) 𝑇₊ = 2𝜋√_𝑔+𝑎^𝐿

𝑜 ; 3) le nombre de périodes que fait le balancier est 𝑁 =

5(√1 +_𝑎^𝑔

𝑜+ √1 −_𝑎^𝑔

𝑜) ; par exemple pour 𝑎_𝑜 = 2 𝑚. 𝑠⁻² 𝑁 = 1,98 ∗ 5 ; l’horloge de l’ascenseur a un balancier qui est plus lent, elle retarde.

2) Inclinaison des rails :

𝑓⃗_𝑖𝑐 = −2𝑚𝜔𝑣_𝑜𝑠𝑖𝑛𝑢⃗⃗_𝜑 ; 𝑡𝑎𝑛𝛼 =^{2𝜔𝑣𝑜𝑠𝑖𝑛}

𝑔 = 7,2.10⁻⁴ 𝑟𝑑 ; ce résultat est trop faible pour qu’on modifie les rails, cependant les rails ne vont pas s’user de la même manière selon les directions car il y a de nombreux passage du train.

3) Porte qui se ferme : 1) 𝜃̈(𝑡) +^𝑎𝑜3sin (𝜃(𝑡))

4𝑎 = 0 ; 2) 𝑡_𝑓 = 2,6√_3𝑎^2𝑎

𝑜. 4) Faut-il courir sous la pluie ?

Si 𝑣_{𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑛𝑒} < 𝑣_{𝑝𝑙𝑢𝑖𝑒}𝑠𝑖𝑛𝜃, il faut aller à la vitesse 𝑣_{𝑝𝑙𝑢𝑖𝑒}𝑠𝑖𝑛𝜃 ; si 𝑣_{𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑛𝑒} > 𝑣_{𝑝𝑙𝑢𝑖𝑒}𝑠𝑖𝑛𝜃 le résultat dépend de l’angle que fait la pluie : en posant 𝜃_𝑜 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (^𝐿

ℎ) avec 𝐿 largeur de la personne et ℎ sa hauteur, si 𝜃 < 𝜃_𝑜 il faut courir le plus vite possible et si 𝜃 > 𝜃_𝑜 il faut aller à 𝑣_{𝑝𝑙𝑢𝑖𝑒}𝑠𝑖𝑛𝜃.

5) Pendule de Foucault : 2) 𝑚𝑥̈ = −𝑇^𝑥

𝐿+ 2𝑚𝜔_𝑇sin(𝜆) 𝑦̇ − 2𝑚𝜔_𝑇cos (𝜆)𝑧̇ ; 𝑚𝑦̈ = −𝑇^𝑦

𝐿− 2𝑚𝜔_𝑇sin(𝜆) 𝑥̇ ; 𝑚𝑧̈ =

−𝑇^𝑧−𝐿

𝐿 + 2𝑚𝜔_𝑇cos(𝜆) 𝑥̇ − 𝑚𝑔 ; 3) 𝑥(𝑡) = 𝑥_𝑜cos(𝜔_𝑜𝑡) cos (𝜔_𝑇sin(𝜆) 𝑡) ; 𝑦(𝑡) =

−𝑥_𝑜cos(𝜔_𝑜𝑡) sin (𝜔_𝑇sin(𝜆) 𝑡) ; 4) 𝑥′(𝑡) = 𝑥_𝑜cos(𝜔_𝑜𝑡) et 𝑦’(𝑡) = 0 ; on trouve 𝜔_𝑇=

2𝜋

𝑇𝑠𝑖𝑛(𝜆)= 7,498. 10⁻⁵ 𝑟𝑎𝑑. 𝑠⁻¹ alors que la bonne valeur est 𝜔_𝑇 = 7,293 . 10⁻⁵𝑟𝑎𝑑. 𝑠⁻¹ 6) Particule sur une barre en rotation :

1) 𝑥_é𝑞 = ^{𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼}

𝜔²𝑠𝑖𝑛²𝛼 ; c’est une position d’équilibre instable ; 2) 𝑥(𝑡) = 𝑎𝑐ℎ𝑡 + 𝑥_é𝑞 ; 3)

𝑅_𝑧(𝑡) = 2𝑚𝑎𝜔²𝑠𝑖𝑛(𝛼𝑠ℎ(Ω𝑡)).

7) Brisure de symétrie :

Si Ω < Ω_𝑐 𝜃_é𝑞 = 0 position d’équilibre stable; si Ω > Ω_𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜃_é𝑞 = ^𝑔

𝑅Ω² positions d’équilibre.

Si on augmente progressivement Ω en Ω_𝑐 on a une bifurcation ; on ne peut pas prédire quelle position d’équilibre va s’établir, d’où le titre de l’exercice.

8) Régulateur de Watt : 𝐸_{𝑝,𝑖𝑛𝑒𝑟𝑡𝑖𝑒} = −^{𝑚𝜔2𝑥2}

2 pour chaque masse 𝑚 ; en introduisant l’angle 𝛼 entre un côté et la verticale, 𝐸_{𝑝,𝑖𝑛𝑒𝑟𝑡𝑖𝑒} = −^{𝑚𝜔2𝑠𝑖𝑛2𝛼𝑎2}

2 ; 𝐸_{𝑝,𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑡}= ¹

2𝑘(𝐻 − 𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑙_𝑜)² ; 𝐸𝑝,𝑝𝑒𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒𝑢𝑟 = 𝑀𝑔(𝐻 − 𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼) ; soit 𝐸_𝑝 = −𝑚𝜔²𝑠𝑖𝑛²𝛼𝑎²+¹

2𝑘(𝐻 − 𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑙_𝑜)² +𝑀𝑔(𝐻 − 𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼) ; Les positions d’équilibre sont 𝛼 = 0 et 𝑐𝑜𝑠𝛼 =^{𝑘𝐻−𝑘𝑙𝑜+𝑀𝑔}

2𝑚𝜔²𝑎+𝑘𝑎 ; cette position d’équilibre existe

si 𝑘𝐻 + 𝑀𝑔 > 𝑘𝑙_𝑜 et ^{𝑘𝐻−𝑘𝑙𝑜+𝑀𝑔}

2𝑚𝜔²𝑎+𝑘𝑎 < 1 ; dans ce cas elle est stable.

9) Deux particules sur un plateau :

1) 𝑢(𝑡) = 𝑙_𝑜𝑐𝑜𝑠 (√𝜔₁²+ 𝜔₂²𝑡) = 𝑙_𝑜𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 ; 𝑥₁(𝑡) = − ^𝑚2

𝑚₁+𝑚₂𝑙_𝑜𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 −¹

2𝑎_𝑜𝑡²+ ^𝑚2

𝑚₁+𝑚₂𝑙_𝑜 ; 𝑥₂(𝑡) = ^𝑚1

𝑚₁+𝑚₂𝑙_𝑜𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 −¹

2𝑎_𝑜𝑡²+ ^𝑚2

𝑚₁+𝑚₂𝑙_𝑜 ; 2) 𝑎_𝑜 =^{𝑚2𝑙𝑜𝜔2}

𝑚₁+𝑚₂ ; 𝑥₂(𝑡) = 𝑙_𝑜𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡.

10) Le pendule du professeur Tournesol : 1) 𝜔_𝑠 = √^𝐺𝑀_𝑅 ^𝑇

𝑠3 ; 𝜔_{𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑙𝑒} = √3𝜔𝑠

11) What else :

1) Dans le référentiel (𝑅_𝑠) : 𝑚𝑎⃗ = 𝐹⃗_𝑔+ 𝑓⃗_𝑖𝑐+ 𝑓⃗_𝑖𝑒 = −2𝑚𝜔𝑒⃗_𝑧∧ 𝑣⃗_𝑅𝑠+ 𝑚𝜔²(3𝑋(𝑡)𝐼⃗ − 𝑍(𝑡)𝐾⃗⃗⃗) (après DL) soit 𝑋̈(𝑡) = 𝜔²3𝑋(𝑡) + 2𝜔𝑌̇(𝑡) ; 𝑌̈(𝑡) = −2𝜔𝑋̇(𝑡) ; 𝑍̈(𝑡) = −𝜔²𝑍(𝑡) ;

2) Dans ce cas le mouvement est uniquement sur l’axe des Z : 𝑍̈(𝑡) + 𝜔²𝑍(𝑡) = 0 ce qui donne 𝑍(𝑡) =^𝑣𝑜

𝜔𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 ; la trajectoire est rectiligne sur l’axe des 𝑍 et la distance maximale à la navette est 𝐿₁ =^𝑣𝑜

𝜔 = 14 𝑘𝑚 ; 3) le mouvement est dans le plan (𝑋𝑆𝑌).

𝑥(𝑡) =^−𝑣_𝜔^𝑜𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 et 𝑦(𝑡) = +^2𝑣_𝜔^𝑜(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡) ; la trajectoire est une ellipse d’équation :

𝜔²

𝑣_𝑜²𝑥²+ (1 −^2𝜔

𝑣_𝑜𝑦)² = 1 ; 𝐿₂ =^4𝑣𝑜

𝜔 = 56 𝑘𝑚 ;3) Le mouvement est dans le plan (𝑋𝑆𝑌).

𝑥(𝑡) = +^2𝑣𝑜

𝜔 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡) 𝑒𝑡 𝑦(𝑡) = 3𝑣_𝑜𝑡 + 4^𝑣𝑜

𝜔𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 ; Le cosmonaute ne reviendra plus jamais ; La première situation est celle qui permettra à George d’apprécier son café.

12) Points de Lagrange :

1) (𝑚₁+ 𝑚₂ + 𝑚₃)𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑚₁𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁+ 𝑚₂𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₂+𝑚₃𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₃ ; 2) Dans 𝑅 on a : 𝑚₁𝑎⃗₁ = −^{𝐺𝑚1𝑚2}

(𝑀₁𝑀₂)³𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −₁𝑀₂ ^{𝐺𝑚1𝑚3}

(𝑀₁𝑀₃)³𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑚₁𝑀_{3 1}𝜔²𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 2𝑚_{1 1}𝜔⃗⃗⃗ ∧ 𝑣⃗₁ ; 3) 𝜔² = ^{𝐺(𝑚1+𝑚2+𝑚3)}

𝑑³ .

Annexe hors programme :

Système de deux particules en interaction

On considère deux particules situées en 𝑀₁ et en 𝑀₂ à l’instant 𝑡, de masse 𝑚₁ et 𝑚₂, en interaction dans un référentiel galiléen 𝑅 (𝑂𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑂 est un point fixe de 𝑅.

1)On appelle 𝐶 le centre d’inertie de ce système. Exprimer le vecteur 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗en fonction des vecteurs 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁ et 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₂. Quelle relation a-t-on entre 𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁ et 𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₂ ? Entre 𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁ et 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁𝑀₂ ? Entre 𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₂ et 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁𝑀₂ ?

On a la relation de barycentre pour le centre d’inertie :

(𝒎_𝟏+ 𝒎_𝟐)𝑶𝑪 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒎_𝟏𝑶𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒎_{𝟏 𝟐}𝑶𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗_𝟐 Ce qui donne

𝒎_𝟏𝑪𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒎_{𝟏 𝟐}𝑪𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟎_𝟐 ⃗⃗⃗

Soit en introduisant le vecteur 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁𝑀₂ : 𝑚₁𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑚_{1 2}𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑚_{1 2}𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ soit ₁𝑀₂

𝑪𝑴_𝟏

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 𝒎_𝟐

𝒎_𝟏+ 𝒎_𝟐𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗_𝟏𝑴_𝟐 De même

𝑪𝑴_𝟐

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒎_𝟏

𝒎_𝟏+ 𝒎_𝟐𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗_𝟏𝑴_𝟐

2) On définit le référentiel barycentrique 𝑅^∗ comme un référentiel de centre 𝐶, en translation par rapport au référentiel 𝑅. En utilisant la loi de composition des vitesses, exprimer 𝑣⃗_1/R* et 𝑣⃗_2/R* en fonction de 𝑣⃗_1/R et 𝑣⃗_2/R.

En utilisant la loi de composition des vitesses, on a 𝑣⃗_1/R= 𝑣⃗_1/R*+ 𝑣⃗_𝑒 avec 𝑣⃗_𝑒 = 𝑣⃗_𝑐/R soit 𝒗

⃗⃗⃗_𝟏/R = 𝒗⃗⃗⃗_𝟏/R*+ 𝒗⃗⃗⃗_𝒄/R et 𝒗⃗⃗⃗_𝟐/R= 𝒗⃗⃗⃗_𝟐/R*+ 𝒗⃗⃗⃗_𝒄/R

3) Quelle est la quantité de mouvement du système {𝑀₁, 𝑀₂} dans 𝑅^∗ ? Dans 𝑅^∗ la quantité de mouvement du système {𝑀₁, 𝑀₂} est :

𝑝⃗_/R*= 𝑚₁𝑣⃗_1/R*+ 𝑚₂𝑣⃗_2/R*= 𝑚₁^{𝑑𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1}

𝑑𝑡 + 𝑚₂^{𝑑𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2}

𝑑𝑡 soit 𝒑

⃗⃗⃗_/R* = 𝒅

𝒅𝒕(𝒎_𝟏𝑪𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒎_{𝟏 𝟐}𝑪𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = 𝟎_𝟐 ⃗⃗⃗

4) Montrer que le moment cinétique par rapport à 𝑂 du système {𝑀₁, 𝑀₂} dans 𝑅 peut s’écrire sous la forme : 𝐿⃗⃗_𝑜 = 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ (𝑚₁+ 𝑚₂)𝑣⃗_𝑐/R+ 𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ (^𝑚1𝑚2

𝑚₁+𝑚₂) (^{𝑑𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗}

𝑑𝑡 )

𝑅∗

avec 𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁𝑀₂

Donner un sens physique à chacun des termes.

Le moment cinétique par rapport à 𝑂 du système {𝑀₁, 𝑀₂} dans 𝑅 s’écrit : 𝐿⃗⃗_𝑜 = 𝑚₁𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑣⃗_{1 1/R}+ 𝑚₂𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑣⃗_{2 2/R} On utilise le résultat de la question 2 :

𝐿⃗⃗_𝑜 = 𝑚₁𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ (𝑣⃗_{1 1/R*}+ 𝑣⃗_𝑐/R) + 𝑚₂𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ (𝑣⃗_{2 2/R*}+ 𝑣⃗_𝑐/R) Soit

𝐿⃗⃗_𝑜= (𝑚₁𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑚_{1 2}𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ∧ 𝑣⃗_{2 𝑐/R}+ 𝑚₁𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑣⃗_{1 1/R*}+ 𝑚₂𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑣⃗_{2 2/R*}

Soit

𝐿⃗⃗_𝑜 = (𝑚₁+ 𝑚₂)𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑣⃗_𝑐/R+ 𝑚₁(𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ∧ 𝑣⃗_{1 1/R*}+ 𝑚₂(𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ∧ 𝑣⃗_{2 2/R*}

Soit

𝐿⃗⃗_𝑜= (𝑚₁+ 𝑚₂)𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑣⃗_𝑐/R+ 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ (𝑚₁𝑣⃗_1/R*+ 𝑚₂𝑣⃗_2/R*) + 𝑚₁𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑣⃗_{1 1/R*}+ 𝑚₂𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧₂ 𝑣⃗_2/R*

On se sert du résultat de la question 3 : 𝑚₁𝑣⃗_1/R*+ 𝑚₂𝑣⃗_2/R* = 𝑝⃗_/R*= 0⃗⃗

𝐿⃗⃗_𝑜 = (𝑚₁+ 𝑚₂)𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑣⃗_𝑐/R+ 𝑚₁𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑣⃗_{1 1/R*}+ 𝑚₂𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑣⃗_{2 2/R*}

Puis les résultats de la question 1 : 𝐶𝑀₁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − ^𝑚2

𝑚₁+𝑚₂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁𝑀₂ et 𝑣⃗_1/R* = − ^𝑚2

𝑚₁+𝑚₂ 𝑑

𝑑𝑡𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁𝑀₂ De même

𝐶𝑀₂

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ^𝑚1

𝑚₁+𝑚₂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁𝑀₂ et 𝑣⃗_2/R*= ^𝑚1

𝑚₁+𝑚₂ 𝑑

𝑑𝑡𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁𝑀₂ Ce qui donne :

𝐿⃗⃗_𝑜= (𝑚₁+ 𝑚₂)𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑣⃗_𝑐/R+ 𝑚₁𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ (−₁ ^𝑚2

𝑚₁+𝑚₂ 𝑑

𝑑𝑡𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) + 𝑚₁𝑀_{2 2}𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ (₂ ^𝑚1

𝑚₁+𝑚₂ 𝑑

𝑑𝑡𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ₁𝑀₂ Soit

𝐿⃗⃗_𝑜 = (𝑚₁+ 𝑚₂)𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑣⃗_𝑐/R+ (𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐶𝑀₂ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ∧₁ ^𝑚1𝑚2

𝑚₁+𝑚₂ 𝑑

𝑑𝑡𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁𝑀₂ d’où le résultat demandé :

𝑳⃗⃗⃗_𝒐 = (𝒎_𝟏+ 𝒎_𝟐)𝑶𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝒗⃗⃗⃗_𝒄/R+ 𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧_𝟏𝑴_𝟐 ^{𝒎𝟏𝒎𝟐}

𝒎_𝟏+𝒎_𝟐 𝒅

𝒅𝒕𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗_𝟏𝑴_𝟐 On obtient la somme du moment cinétique de deux particules fictives :

Une particule fictive de masse 𝑚₁ + 𝑚₂ = 𝑚 et caractérisé dans 𝑅 par le vecteur 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Une particule fictive de masse ^𝑚1𝑚2

𝑚₁+𝑚₂ = 𝜇 et caractérisé dans 𝑅^∗ par le vecteur 𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁𝑀₂ 5) Monter que l’énergie cinétique dans 𝑅 du système {𝑀₁, 𝑀₂} peut s’écrire sous la forme : 𝐸_𝑐 = ¹

2(𝑚₁+ 𝑚₂)𝑣_𝑐/R² +¹

2(^𝑚1𝑚2

𝑚₁+𝑚₂) (^{𝑑𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗}

𝑑𝑡 )

𝑅∗

2

avec 𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁𝑀₂ Donner un sens physique à chacun des termes.

L’énergie cinétique dans 𝑅 du système {𝑀₁, 𝑀₂} s’écrit : 𝐸_𝑐 =¹

2𝑚₁𝑣_1/R² +¹

2𝑚₂𝑣_2/R² Soit en utilisant la question 2

𝐸_𝑐 =¹

2𝑚₁(𝑣⃗_1/𝑅∗+ 𝑣⃗_𝑐/𝑅)²+¹

2𝑚₂(𝑣⃗_2/𝑅∗+ 𝑣⃗_𝑐/𝑅)² Soit en développant les carrés :

𝐸_𝑐= ¹

2𝑚₁𝑣⃗_1/𝑅∗² +¹

2𝑚₁𝑣⃗_𝐶/𝑅² + 𝑚₁𝑣⃗_1/𝑅∗. 𝑣⃗_𝑐/𝑅+¹

2𝑚₂𝑣⃗_𝐶/𝑅² +¹

2𝑚₂𝑣⃗_2/𝑅∗² + 𝑚₂𝑣⃗_2/𝑅∗. 𝑣⃗_𝑐/𝑅 Soit

𝐸_𝑐 = ¹

2(𝑚₁+ 𝑚₂)𝑣⃗_𝐶/𝑅² + (𝑚₁𝑣⃗_1/𝑅∗+ 𝑚₂𝑣⃗_2/𝑅∗). 𝑣⃗_𝑐/𝑅+¹

2𝑚₁𝑣⃗_1/𝑅∗² +¹

2𝑚₂𝑣⃗_2/𝑅∗² Mais d’après la question 3 𝑚₁𝑣⃗_1/𝑅∗+ 𝑚₂𝑣⃗_2/𝑅∗ = 0⃗⃗

On se sert de nouveau de la question 1 : 𝑣⃗_1/R*= − ^𝑚2

𝑚₁+𝑚₂ 𝑑

𝑑𝑡𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁𝑀₂ et 𝑣⃗_2/R* = ^𝑚1

𝑚₁+𝑚₂ 𝑑

𝑑𝑡𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁𝑀₂ 𝐸_𝑐= ¹

2(𝑚₁ + 𝑚₂)𝑣⃗_𝐶/𝑅² +¹

2𝑚₁(− ^𝑚2

𝑚₁+𝑚₂ 𝑑

𝑑𝑡𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)₁𝑀₂ ²+¹

2𝑚₂( ^𝑚1

𝑚₁+𝑚₂ 𝑑

𝑑𝑡𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)₁𝑀₂ ² Soit

𝐸_𝑐 = ¹₂(𝑚₁+ 𝑚₂)𝑣⃗_𝐶/𝑅² +¹₂^{𝑚1𝑚22+𝑚2𝑚12}

(𝑚₁+𝑚₂)² (_𝑑𝑡^𝑑 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)₁𝑀₂ ² Ce qui donne l’expression demandée :

𝑬_𝒄= ^𝟏

𝟐(𝒎_𝟏+ 𝒎_𝟐)𝒗⃗⃗⃗_𝑪/𝑹^𝟐 +^𝟏

𝟐 𝒎_𝟏𝒎_𝟐 𝒎_𝟏+𝒎_𝟐(^𝒅

𝒅𝒕𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)_𝟏𝑴_𝟐 ^𝟐 Même commentaires qu’à la question précédente :

On obtient la somme de l’énergie cinétique de deux particules fictives :

Une particule fictive de masse 𝑚₁ + 𝑚₂ = 𝑚 et caractérisé dans 𝑅 par le vecteur 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Une particule fictive de masse ^𝑚1𝑚2

𝑚₁+𝑚₂ = 𝜇 et caractérisé dans 𝑅^∗ par le vecteur 𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁𝑀₂ 6) Les deux particules étant en interaction on appelle 𝑓⃗_2→1 la force que subit 𝑀₁ et 𝑓⃗_1→2 la force que subit 𝑀₂. Quelle est la relation entre 𝑓⃗_2→1 et 𝑓⃗_1→2 ? On suppose que les particules ne subissent pas d’actions extérieures.

Monter qu’on peut, en appliquant la loi de la quantité de mouvement, écrire : (^𝑚1𝑚2

𝑚₁+𝑚₂) (^{𝑑2𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗}

𝑑𝑡² )

𝑅∗= 𝑓⃗_1→2 . Conclure cette étude.

D’après le principe de l’action et de la réaction

𝒇⃗⃗_𝟐→𝟏+ 𝒇⃗⃗_𝟏→𝟐 = 𝟎⃗⃗⃗

Si on applique le PFD dans 𝑅 au système {𝑀₁}:

𝑚₁(^{𝑑2𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1}

𝑑𝑡² )

𝑅 = 𝑓⃗_2→1 Si on applique le PFD dans 𝑅 au système {𝑀₂}:

𝑚₂(^{𝑑2𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2}

𝑑𝑡² )

𝑅 = 𝑓⃗_1→2 Si on applique le PFD dans 𝑅 au système {𝑀₁𝑒𝑡𝑀₂}:

𝑚₁(^{𝑑2𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1}

𝑑𝑡² )

𝑅+ 𝑚₂(^{𝑑2𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2}

𝑑𝑡² )

𝑅 = (^𝑑2

𝑑𝑡²(𝑚₁𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑚_{1 2}𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗))₂

𝑅

= 𝑓⃗_1→2+ 𝑓⃗_2→1= 0⃗⃗

Soit

(𝒎_𝟏+ 𝒎_𝟐) (^{𝒅𝟐𝑶𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗}

𝒅𝒕^𝟐 )

𝑹= 𝟎⃗⃗⃗

Pour un système isolé de deux particules, 𝐶 a un mouvement rectiligne uniforme. Le référentiel barycentrique est en translation uniforme. Il est galiléen.

On s’intéresse maintenant au mouvement de la particule de masse 𝑚₂ dans le référentiel barycentrique supposé galiléen :

𝑚₂(^{𝑑2𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2}

𝑑𝑡² )

𝑅^∗ = 𝑓⃗_1→2

soit avec le résultat de la question 1 :𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =₂ ^𝑚1

𝑚₁+𝑚₂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁𝑀₂

𝒎_𝟏𝒎_𝟐

𝒎_𝟏+𝒎_𝟐(^𝒅𝟐𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗^𝟏𝑴𝟐 𝒅𝒕^𝟐 )

𝑹^∗ = 𝒇⃗⃗_𝟏→𝟐

En conclusion pour travailler avec un système de deux particules isolées, on étudie le mouvement, dans R* galiléen, d’une particule fictive de masse ^𝑚1𝑚2

𝑚₁+𝑚₂= 𝜇 et caractérisé dans 𝑅^∗ par le vecteur 𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁𝑀₂.

Puis on revient aux mouvements de 𝑀₁ et de 𝑀₂ par les relations : 𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −₁ ^𝑚2

𝑚₁+𝑚₂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁𝑀₂ et 𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =₂ ^𝑚1

𝑚₁+𝑚₂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗₁𝑀₂

Par exemple pour le système {Terre, Soleil}, en toute rigueur on a les schémas suivants :

Mouvement de la Terre Mouvement du Soleil

Centre d’inertie du système

Mouvement de la particule fictive

𝑀1

𝑀2