Ratt d’Alg M2 2013-14

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah

Année Univ.2013-14

Faculté des Sciences Dhar El Mehraz

SMP-SMC

Département de Mathématiques

Rattrapage d’Algèbre M2

durée : 1h30

Tous les résultats doivent être justifiés .

Exercice 1 :

( 5 points )

Soit f l’application de R2X vers R2X lui même définie par :

f : _R2X  R2X

P  f P  P  P′ − X  12P′′

1) Montrer que f est un endomorphisme de R2X .

2) Trouver la matrice M de f par rapport à la base canonique B  1, X, X2

de R2X .

3) Trouver l’inverse M−1de M et la réciproque f −1 de f .

4) En déduire le polynôme P ∈ R2X tel que : P  P′ − X  12P′′  2X2  9X  12 .

Exercice 2 :

( 15 points )

Soient B  e1, e2, e3 la base canonique de R3, S  1,2,3,4 la base canonique de R4 ,

1′  1, 1, 1, 0 , 2′  0, 0, −3, 1 , 3′  0, 1, 3, −1 , 4′  2, −2, −3, 1 .

Etant donné les deux sous espaces vectoriels de R4 :

E  x  t, x  t, x − 2t, t tq : x, t ∈ R et F  vect0,1,3,−1,2,0,3,−1,2,−2,−3,1 .

1) Vérifier que : 1, 1, −2, 1  ₁′  ₂′ .

2) Montrer que S1  1′,2′ est une base de E. En déduire la dimension de E .

Indication : Vous pouver utiliser la question 1) .

3) Montrer que S2  3′,4′ est une base de F. En déduire la dimension de F .

4) Calculer le déterminant : 1 0 0 2 1 0 1 −2 1 −3 3 −3 0 1 −1 1 . En déduire que S′  ₁′,2′,3′,4′

est une base de R4 .

5) En déduire que : E⊕ F  R4 _.

6) Par la suite f étant l’application linéaire de R4

vers R3_{définie par :}

f :_R4  R3

a



x, y, z, t

f

a

x

 4y 

z

 13t, 3x  6y  5z  21t, x  2y  z  5t

b) Montrer que f1, f 3 est une base de Imf et donner le rang de f .

c) En déduire dimker f . 7) Vérifer que3′,4′ ∈ ker f .

8) En déduire que ker f  F .

9) En déduire que f₁′, f ′2 est une base de Imf .