Corr Ratt d’Alg M2 2013-14

(1)

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah

Année Univ.2013-14

Faculté des Sciences Dhar El Mehraz

SMP-SMC

Département de Mathématiques

Rattrapage d’Algèbre M2

durée : 1h30

Exercice 1 :

1)∀ ∈ R et ∀P, Q ∈ R2X : fP  Q  P  Q  P  Q′ − X  12P  Q′′  P  Q  P′  Q′ _{− X  1}2 _P′′_{ Q}_′′  P  Q  P′ _{ Q}′ _{− X  1}2_P_′′_{ Q}_′′_  P  Q  P′ _{ Q}′ _{− X  1}2 P′′− X  12Q′′  P  P′ _{− X  1}2 P′′ Q  Q′ − X  12Q′′   P  P′ _{− X  1}2 P′′  Q  Q′ − X  12Q′′  f P  f Q

Donc f est un endomorphisme de R2X .

2) f1  1  1′ − X  121′′  1  0 − X  120  1 fX  X  X′ − X  12X′′  X  1 − X  120  1  X f X2 _{ X}2_{ X}2 ′ _{− X  1}2 X2 ′′ _{ X}2_{ 2X − X}2_{ 2X  1 2}  X2_{ 2X − 2X}2_{− 4X − 2}  −2 − 2X − X2 Donc : M  1 1 −2 0 1 −2 0 O −1

3)

-

1ière méthode pour calculer M−1 : M|I3  1 1 −2 0 1 −2 0 0 −1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L3  −L3 1 1 −2 0 1 −2 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 −1 L1  L1 2L3 L2  L2 2L3 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 −2 0 1 −2 0 0 −1 L1  L1 − L2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 −1 0 0 1 −2 0 0 −1  I3 1 −1 0 0 1 −2 0 0 −1 −1 _ 1 −1 0 −2

(2)

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2ièrme méthode pour calculer M−1 : det M  1 1 −2 0 1 −2 0 0 −1  1  1−1  −1 Δ1,1  1 −2 0 −1  −1 , Δ1,2  − 0 −2 0 −1  0 , Δ1,3  0 1 0 −1  0 Δ2,1  − 1 −2 0 −1  1 , Δ2,2  1 −2 0 −1  −1 , Δ2,3  − 1 1 0 0  0 Δ3,1  1 −2 1 −1  0 , Δ3,2  − 1 −2 0 −2  2 , Δ3,3  1 1 0 1  1 Alors : M−1  1 det M t comM  1 −1 t −1 0 0 1 −1 0 0 2 1  − −1 1 0 0 −1 2 0 0 1 Donc : M−1  1 −1 0 0 1 −2 0 0 −1

-

∀P  aX2 _{ bX  c ∈ R} 2X : f −1P B  M f −1_{, B} _P B  M f ,B −1 PB  M−1PB  1 −1 0 0 1 −2 0 0 −1 c b a  c− b b− 2a −a Donc : f −1P  −aX2 _{ b − 2aX  c − b}

Ce qui montre que f −1 _{est l’application linéaire de R}2X vers R2X défini par : f : _R2X  R2X

P  aX2 _{ bX  c  f P  −aX}2 _{ b − 2aX  c − b}

(3)

Exercice 2 :

1)1′  ₂′  1, 1, 1, 0  0, 0, −3, 1  1, 1, −2, 1  1, 1, −2, 1  ₁′  ₂′ . 2)

-

E  x  t, x  t, x − 2t, t tq : x, t ∈ R  x,x,x,0  t,t,−2t,t tq : x,t ∈ R  x1, 1, 1, 0  t1, 1, −2, 1 tq : x, t ∈ R  x1′  t1′  2′ tq : x, t ∈ R  x1′  t1′  t2′ tq : x, t ∈ R  x  t1′  t2′ tq : x, t ∈ R

Alors : S1  1′,2′ est un système générateur de E .

-

_{∀,  ∈ R tq : }1′  2′  0, 0, 0, 0 1′ _{ } 2 ′ _{ 0, 0, 0, 0  0, 1, 3, −1  0, 0, −3, 1  0, 0, 0, 0 .}  1, 1, 1, 0  0, 0, −3, 1  0, 0, 0, 0  , , , 0  0, 0, −3,   0, 0, 0, 0  , ,  − 3,   0, 0, 0, 0      0

Donc S1  1′,2′ est un système libre de E .

-

Ce qui montre que S1  1′,2′ est une base de E .

-

Puisque S1 est une base de E et puisque S1contient deux vecteurs alors : dim E  2 .

3)

-

_{∀,  ∈ R tq : }3′  4′  0, 0, 0, 0 . 3′  4′  0, 0, 0, 0  0, 1, 3, −1  2, −2, −3, 1  0, 0, 0, 0  0, , 3, −  2, −2, −3,   0, 0, 0, 0  2,  − 2, 3 − 3, −    0, 0, 0, 0  2  0  − 2  0 3 − 3  0 −    0      0 . .

Donc S2  3′,4′ est un système libre de F .

-

 0, 1, 3, −1  3′  13′  04′ .  2, −2, −3, 1  4′  03′  14′ .  ∀,  ∈ R : 2,0,3,−1  3′  4′  0, 1, 3, −1  2, −2, −3, 1  2, 0, 3, −1  0, , 3, −  2, −2, −3,   2, 0, 3, −1  2,  − 2, 3 − 3, −    2  2  − 2  0 3 − 3  3 −    −1    2   1

Alors : S2  3′,4′ est un système générateur de F .

-

Puisque S2 est un système libre et générateur de F alors S2 est une base de F

(4)

4) 1 0 0 2 1 0 1 −2 1 −3 3 −3 0 1 −1 1  1 0 0 2 0 0 1 −4 0 −3 3 −5 0 1 −1 1  0 1 −4 −3 3 −5 1 −1 1  0 1 −4 0 0 −2 1 −1 1  0 −2 −1 1  −2 Puisque 1 0 0 2 1 0 1 −2 1 −3 3 −3 0 1 −1 1  −2 ≠ 0 et puique 1 0 0 2 1 0 1 −2 1 −3 3 −3 0 1 −1 1 est la matrice

carrée d’ordre 4 de colonnes 1′,2′,3′,4′ alors : S′  ₁′,2′,3′,4′ est une base de R4 . 5)

-

∀a ∈ E ∩ F : a ∈ E et a ∈ F .

a ∈ E  ∃,  ∈ R tq : a  1′  2′ ( car S1  1′,2′ est une base de E.) . a ∈ F  ∃,  ∈ R tq : a  3′  4′ ( car S2  3′,4′ est une base de F.) .

Alors : a  1′  2′  3′  4′  1′  2′ − 3′ − 4′  0, 0, 0, 0

         0 ( car S′ _{ } 1

′_,_2′_,_3′_,_4′_{ est une base de R}4_{.) .}

On a alors : a  0₁′  0₂′  0, 0, 0, 0 Donc : E∩ F  0, 0, 0, 0 .

Ce qui montre que la somme de E et F est directe .

-

dimE ⊕ F  dimE  dimF  2  2  4  dimR4  E ⊕ F  R4 . 6) a) A  2 4 3 13 3 6 5 21 1 2 1 5 b) A  2 4 3 13 3 6 5 21 1 2 1 5 L1  L3 1 2 1 5 3 6 5 21 2 4 3 13 L2  L2 − 3L1 L3  L3 − 2L1 1 2 1 5 0 0 2 6 0 0 1 3 L3  L2− 2L3 1 2 1 5 0 0 2 6 0 0 0 0

(5)

7) f3′  f 0, 1, 3, −1  4  9 − 13, 6  15 − 21, 2  3 − 5  0, 0, 0

f 4′  f 2, −2, −3, 1  4 − 8 − 9  13, 6 − 12 − 15  21, 2 − 4 − 3  5  0, 0, 0

Alors : 3′,4′ ∈ ker f  F  vect3′,4′  ⊂ ker f .

8)3′,4′ ∈ ker f  F  vect3′,4′ ⊂ ker f . F ⊂ ker f

dim F  dimker f  2  ker f  F . 9)∀b ∈ Imf : ∃a ∈ R4 tq : b  f a

a ∈ R4  ∃, , ,  ∈ R tq : a  1′  2′  3′  4′

Alors : b  f 1′  2′  3′  4′  f 1′   f 2′  f 3′  f 4′

 f 1′  f 2′ 

Donc : f1′, f ′2 est un système générateur de Imf .