ratt-de-m1-alg-1-2010-11

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah

Année Univ.2010/11

Faculté des Sciences Dhar El Mehraz

SMP-SMC

Département de Mathématiques

Rattrapage du contrôle de M1 Algèbre

durée: 1h30

Tous les résultats doivent être justifiés .

Exercice 1 :

( 5 points )

Résoudre le système d’équations linéaires suivant :

∑

ax y  z  a3

où a ∈ R est un paramètre réel .

Exercice 2 :

( 6 points )

Soient F et G les sous espaces vectoriels de R3 _{définis par :}

F  , 2, − tq :  ∈ R et G  a,3a,b tq : a,b ∈ R .

1) Trouver la dimension de F et la dimension de G . 2) Montrer que F et G sont supplémentaitres dans R3 _.

3) Trouver la projection uF du vecteur u  4, 4, −6 sur F parallélement à G et la

projection uG de u  4, 4, −6 sur G parallélement à F .

4) Trouver la projection orthogonale v du vecteur u  4, 4, −6 sur F . 5) En déduire la projection orthogonale w du vecteur u  4, 4, −6 sur F . 6) Trouver l’orthogonale de F .

Exercice 3 :

( 4 points )

Montrer que le polynôme A est divisible par le polynôme B dans les deux cas suivants : 1) A  nXn2 _{− n  2X}n1_{ n  2X − n et B  X − 1}3 _{où n ∈ N}

2) A  X − 12n− X2n _{ 2X − 1 et B  XX − 12X − 1 où n ∈ N}

Exercice 4 :

( 5 points )

Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle :

F  2X3 − 11

X − 12_{X  1X − 2}