M1 Recherche Alg`ebre

ULCO 2019 – 2020

M1 Recherche Alg`ebre

TD 1 – Extrait agr´egation interne de 2015

Dans tout ce probl`eme k d´esigne un corps commutatif. On note M <sub>2</sub> (k) l’ensemble des matrices 2 × 2 `a coefficients dans k. La matrice identit´e et la matrice nulle de M ₂ (k) sont respectivement not´ees I et O.

Soit a ∈ k, on pose B = 0 a

1 0

, A = 2I + B et

A _a = {M ∈ M 2 (k); ∃x, y ∈ k, M = xI + yB}.

Si p est un nombre premier, on note F p le corps fini Z/pZ. Pour tout n ∈ Z, on note n la classe modulo p de l’entier n.

1. Soit G un groupe fini, et f : G → G un morphisme de groupes ; montrer que, pour tout y ∈ G, Card ({x ∈ G; f (x) = y}) ≤ Card(ker f). En d´eduire que, si g : G → G est aussi un morphisme de groupes, on a

Card(ker(g ◦ f )) ≤ Card(ker f ) Card(ker g).

2. Soit k un corps fini, et q = Card(k) ; pour tout diviseur d de q − 1, on note f d : k ^∗ → k ^∗ le morphisme de groupes d´efini par f _d (x) = x ^d .

a. Montrer que Card(ker(f _d )) ≤ d.

b. Soit d ⁰ = (q − 1)/d. Montrer que, pout tout x ∈ k ^∗ , (f _d ◦ f _d

)(x) = (f _d

◦ f _d )(x) = 1.

c. En d´eduire que Card(ker(f d )) = d, puis que ker(f d ) = Im(f d

).

d. On suppose q impair. En d´eduire que n

x

; x ∈ k ^∗ o

= {±1} et n

x ∈ k ^∗ ; x

= 1 o

=

x ∈ k ^∗ ; ∃y ∈ k ^∗ , x = y ² . 3. Montrer qua A _a est un sous-anneau commutatif de M ₂ (k), et en est un sous k-espace vectoriel dont

on donnera une base.

4. Si p est un nombre premier et k = F p , en d´eduire que Card (A _a ) = p ² .

5. Soit ϕ : A _a → A _a la sym´etrie par rapport `a la droite de vecteur directeur I parall`element `a la droite de vecteur de directeur B. Montrer que ϕ est un morphisme d’anneaux.

6. Soit M = xI + yB un ´el´ement de A _a . a. Calculer M ϕ(M ) en fonction de x et y.

b. Montrer que det(M) = x ² − ay ² .

c. D´emontrer qu’une matrice M de A _a appartient `a A ^∗ _a si et seulement si det(M) 6= 0.

7. Montrer que A _a est un corps si et seulement si a n’est pas un carr´e dans k.

8. On suppose que k = R. Montrer que, si a < 0, A _a est isomorphe au corps C des nombres complexes.

9. On suppose que k n’est pas de caract´eristique 2, et qu’il existe b ∈ k ^∗ tel que a = b ² . a. Montrer qu’il existe P ∈ GL 2 (k) tel que P BP ⁻¹ =

b 0 0 −b

. b. En d´eduire que A _a est isomorphe `a l’anneau produit k × k.

c. Lorsque k = F p , p ≥ 3, calculer le cardinal de A ^∗ _a 10. On suppose que a = 0.

a. Montrer que l’anneau A _a n’est pas isomorphe `a k × k.

b. Lorsque k = F p , calculer le cardinal de A ^∗ _a .

11. On suppose que k = F 2 . Montrer que les anneaux A ₀ et A ₁ sont isomorphes.