Ratt d’Alg M2 2012-13

(1)

R3



_{ ∈ R}3 _:

_

_{  }

_

1) Trouver ker f .

2) En déduire dimker f puis le rang de f .

3) Donner la matrice A  M f ,B de f par rapport à la base canonique

B  e1, e2, e3 de R3 . 4) Soit P  0 2 −2 −2 5 −4 −1 2 −1 4.a) Calculer P2 _. 4.b) Calculer 3P− P2 _.

4.c) En utilisant la question 4 b) précèdente, montrer que : P−1  1 2

3 −2 2 2 −2 4 1 −2 4

.

5) Soient e₁′  0, −2, −1 , e′2  2, 5, 2 et e3′  −2, −4, −1 trois vecteurs de R3 .

5.a) Montrer que le système B′  e1′, e2′, e3′ est une base de R3 .

5.b) Donner la matrice de passage de la base canonique B  e1, e2, e3 de R3

à la base B′  e₁′, e2′, e3′ de R3 .

6) Trouver la matrice A′  M f ,B′ de f par rapport à la base B′  e′₁, e2′, e3′ de R3

( en utilisant les matrices de passage ) 7) En déduire que :

7.a) e₁′, e2′ ∈ Imf .

7.b)e1′, e2′ est une base de Imf .

8) Soit u  x, y, z  e1′  e2′  e3′ ∈ R3 un vecteur quelconque de R3 .

8.a) Montrer que : P

    x y z 8.b) En déduire , ,  en fonction de x, y, z .

9) En utilisant la question 4 b) précèdente, montrer que : Imf  2y − 4z, y, z tq : y, z ∈ R