Université Sidi Mohamed Ben Abdellah
Année Univ.2013-14
Faculté des Sciences Dhar El Mehraz
SMP-SMC
Département de Mathématiques
Rattrapage d’Algèbre M1
durée: 1h30
Tous les résultats doivent être justifiés .
Exercice 1 :
( 6 points )
Soient
u
2
e
i 12 .
1) Calculer le nombre complexe
u
2 .2) En déduire les solutions de l’équation :
z
2 − 21 iz
− 2
3 0 en fonction du nombre complexeu
.3) Montrer que la partie réelle de
u
est positif . 4) Montrer que :u
2 2 3 2i
2 2− 3 2 . 5) En déduire : a) cos 12 et sin 12 .b) la résolution de l’équation :
z
2 − 21 iz
− 2
3 0 .Exercice 2 :
( 4 points )
On considère le polynôme P X7 − 6X6 12X5− 8X4 − X3 6X2 − 12X 8 . 1) Trouver l’ordre de multiplicité n de la racine 2 du polynôme P et le quotient
de la division euclidiènne du polynôme P par X − 2n .
Indication : Vous pouver utiliser le procédé de Hörner .
2) En déduire : la décomposition du polynôme P en facteurs irréductibles dans RX puis dans CX .
Exercice 4 :
( 4 points )
Décomposer en éléments simples dans RX la fraction rationnelle :
F
7X
24
X
3
3X
2 6X
10
Exercice 5 :
( 6 points )
Soient : E1 x, y, z, t ∈ R4 tq : 3x− 2z − t 0 , E2 x, y, z, t ∈ R4 tq : 4x− y − 3z 0 , E E1∩ E2 , e1 1, 1, 1, 1 , e2 0, −3, 1, −2 et e3 1, 1, 2, −1 .1) Montrer que e1, e2, e3 est un système libre de R4 . 2) Vérifier que : e1, e2 ∈ E , e3 ∈ E1 , e3 ∉ E et E ≠ E1 . 3) Vérifier que 1, 0, 0, 0 ∉ E1 et par suite E1 ≠ R4.. 4) En déduire que :
a)e1, e2, e3 est une base de E1: b)e1, e2 est une base de E .
5) Trouver une base de E2 et la dimension de E2 .
