ANNÉE UNIVERSITAIRE 2018/2019 Analyse S4
Examen
Date : 04/06/19 Heure : 09h00 Durée : 1h30 Documents non autorisés
Epreuve de M. Popoff
En aucun cas il n’est nécessaire de faire tous les exercices pour avoir une bonne note. Des questions mal traitées peuvent être pénalisantes, aussi concentrez-vous sur la qualité de vos réponses plus que sur la quantités de questions traitées.
Exercice 1
Pour tout réel x, on pose
F(x) = Z 1
0
e−x2(1+t2) 1 +t2 dt.
1. Déterminer F(0).
2. Montrer que F est bien définie sur R, et queF ∈C1(R).
3. Montrer que F0(x) = −2e−x2Rx
0 e−t2dt.
4. En déduire que F(x) + Rx
0 e−t2dt2
ne dépend pas de x.
5. En déduire que
Z ∞
0
e−t2dt =
√π
2 . Exercice 2
Soit f la fonction réelle 2π-périodique, paire, telle que f(t) =π−t sur[0, π].
1. Calculer les coefficients de Fourier de f.
2. Définir la série de Fourier def sous la forme de votre choix, puis, en justifiant soigneusement l’utilisation d’un théorème du cours, déterminer la limite simple de la série de Fourier de f.
Précisez si la convergence est uniforme.
3. Montrer que
X
p≥0
1
(2p+ 1)2 = π2 8 , puis que
X
n≥1
1 n2 = π2
6 .
1
Exercice 3 Soit n ∈N fixé.
1. En reconnaissant une série géométrique, montrer que
∀t∈]0,2π[,
n
X
k=−n
eikt= sin(n+12)t sin2t .
2. Soitf une fonction-2π périodique, dont on note cn(f)les coefficients de Fourier exponentiels, etSn la série de Fourier partielle associée.
(a) Rappeler les expressions decn(f)et Sn(t), pour t ∈R. (b) Montrer que
Sn(0) = 1 2π
Z 2π
0
f(t)sin(n+12)t sint2 dt.
2
