ANNÉE UNIVERSITAIRE 2018/2019 Analyse S4

ANNÉE UNIVERSITAIRE 2018/2019 Analyse S4

DS 1

Date : 08/04/19 Heure : 13h30 Durée : 1h30 Documents non autorisés

Epreuve de M. Popoff

Exercice 1

On pose, pour n≥1,

I_n= Z +∞

1

ln(1 +_n^t) t³ dt 1. Montrer que I_n existe, et trouver sa limite lorsquen →+∞.

2. Déterminer un équivalent simple de In.

Exercice 2

Pour n∈N, on pose

I_n= Z ^π₂

0

(sint)ⁿdt et J_n= Z ^π₂

0

(cost)ⁿdt.

1. Calculer I₀ etI₁.

2. Montrer que (I_n)n≥0 est une suite décroissante.

3. A l’aide d’un changement de variable, montrer que I_n =J_n.

4. A l’aide d’une intégration par partie, montrer que nIn= (n−1)In−2.

5. En déduire une valeur explicite de I_n (on distinguera deux formules selon la parité de n).

Exercice 3

1. Déterminer la nature de R+∞

1

ln(t²−t) 1+t² dt 2. Déterminer la nature de R+∞

0

(sint)³ t² dt.

1

Exercice 4

Pour une fonction f continue par morceaux sur l’intervalle [0,1], à valeurs réelles, on note

S_n(f) = 1 n

n

X

k=1

f k n

sa n-ième somme de Riemann.

Si A ⊂ R, on rappelle que la fonction indicatrice de A, notée 1^A, désigne la fonction telle que 1A(x)vaut 1 six∈A et 0 sinon.

1. Montrer que S_n est linéaire.

2. Soit γ ∈[0,1]. Montrer que S_n(1^{γ})→0lorsque n→ ∞.

3. Soient 0≤ α < β ≤1. Etant donné un réelx, on rappelle que l’on note [x]sa partie entière.

On pose An= [nα] + 1,Bn= [nβ]. Montrer que

S_n(1]α,β]) = B_n−A_n

puis en déduire limn→∞S_n(1]α,β]).

4. Soit g ∈ E([0,1]) une fonction en escaliers à valeurs réelles. Ecrire g comme somme d’indica- trices. En déduire que pour tout g ∈ E([0,1]) on a limn→∞S_n(g) =R

[0,1]g(t)dt.

2