ECS1 H. Boucher pour le 21/05/2021 Devoir maison no8
La pr´esentation, l’orthographe et la qualit´e de la r´edaction seront prises en compte.
Les r´esultats des questions non r´esolues pourront ˆetre admis pour la suite.
Les r´esultats devront ˆetre encadr´es .
La recherche de l’int´egralit´e du sujet est indispensable pour tous.
Cependant, vous r´edigerez un devoir par binˆome. Bien sˆur les ´ecritures des deux signataires devront apparaˆıtre de mani`ere significative dans la copie.
Probl`eme 1
Soit n∈N. On noteIn= Z 1
0
(1−t)ne−2t. 1. Calculer I0 etI1.
2. D´eterminer le sens de variation de la suite (In)n∈N. 3. En d´eduire queInconverge.
4. Montrer que pour toutn∈N, 06In6 1
n+ 1. En d´eduire la limite de (In).
5. Montrer que pour toutn∈N, 2In+1 = 1−(n+ 1)In. 6. En d´eduire lim
n→+∞nIn puis queIn ∼
n→+∞
1 n. 7. D´eterminer la limite de la suite (n(nIn−1)).
8. En d´eduire un ´equivalent de nIn−1 lorsquen→+∞.
Probl`eme 2
On d´efinit surR∗+ la fonctiong:x7→
Z x
1
ln(t)
1 +t2dt. On note Cg sa courbe repr´esentative.
Etude de l’int´ ´ egrale
1. Montrer queg est d´erivable sur R∗+.
2. Calculer g0 et en d´eduire les variations dev.
3. D´eterminer le signe de g.
4. D´eterminer un ´equivalent deg0(x) puis deg(x) lorsque x→1.
5. Montrer que∀x∈R∗,g(x) =g(1/x).
Pr´ ecisions graphiques
Soit h d´efinie surR∗+ parh:x7→ Arctanx
x .
6. Montrer queh est prolongeable par continuit´e en 0. On appellera encoreh son prolongement.
7. Montrer que∀x∈R∗+,g(x) = Arctan(ln(x))− Z x
1
h(t)dt.
8. Montrer queg est prolongeable par continuit´e en 0. On appelle encoregson prolongement. ´Etudier la d´erivabilit´e de g (`a droite) en 0.
9. Interpr´eter graphiquement (en 0 et en +∞) les r´esultats pr´ec´edents.
1
Valeur de g(0)
Pour toutk∈N, on d´efinit surR∗+la fonctionfk :x7→
Z x
0
tkln(t)dt. d´efinie surR∗+parh:x7→ Arctanx
x .
10. Pour tousk∈N etx∈R∗+, d´eterminerfk(x).
11. Monter que pour tousn∈Netx∈R∗+, 1 1 +x2 =
n
X
k=0
(−1)kx2k+ (−1)n+1x2n+2 1 +x2. 12. En d´eduire que pour tous n∈N etx∈R∗+,
g(x)−
n
X
k=0
(−1)kf2k(x)
6f2n+2(x).
13. Montrer que pour toutn∈N∗,
g(0)−
n
X
k=0
(−1)k (2k+ 1)2
6 1 (2n+ 3)2.
14. Donner une valeur approch´ee deg(0) `a 10−2 pr`es. Proposer une fonction Scilab qui renvoie une valeur approch´ee de g(0) `a une pr´ecision impos´ee en param`etre. Vous pourrez v´erifier le calcul pr´ec´edent.
15. Tracer une allure de Cg en prenant en compte toutes les informations obtenues lors de ce probl`eme et en les faisant apparaˆıtre sur votre dessin dans la mesure du possible.
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