Sup PCSI2 — Contrˆole 2008/07
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Ni crayon ni encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement.
Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie. Qu’on se le dise.
Exercice 1 : sans l’alg` ebre lin´ eaire, la vie serait moins drˆ ole
◮Les questions de cet exercice sont ind´ependantes les unes des autres.
Q1 Soit E unK-e.v. de dimension 2n. Exhibez un endomorphismef deE v´erifiant ker(f) = im(f).
Q2 Soit E unK-e.v. de dimension 2n+ 1. Existe-t-il un endomorphismef deE v´erifiant ker(f) = im(f) ? Q3 SoientE unK-e.v. de dimension finie etg un endomorphisme deE v´erifiant ker(f) = im(f). Que pouvez-
vous dire de la dimension deE?
Q4 SoientE unK-e.v. etg un endomorphisme deE. Montrez que ker(g)∩im(g) =g¡
ker(g◦g)¢ .
Q5 D1,D2et D3 sont trois droites vectorielles distinctes deR3. La sommeD1+D2+D3 est-elle ´egale `aR3? Q6 Eest unK-e.v. de dimension finie. P1etP2sont deux plans deEv´erifiantP1∩P2={−→0}. Que pouvez-vous
dire de la dimension deE?
Q7 ⋆ E est un K-e.v. de dimension n;f et g sont deux endomorphismes deE. Nous savons quef +g est un automorphisme deE, et que f◦gest l’endomorphisme nul. Montrez que rg(f) + rg(g) =n.
◮Dans les deux questions suivantes, E est un K-e.v. de dimension finie,F un s.e.v. deE etg un endomor- phisme deE.
Q8 Montrez que, siF ⊂g(F), alorsg(F) =F et gest injectif.
Q9 Montrez que, sig est injectif, et sig(F)⊂F, alorsg(F) =F.
Exercice 2 : projecteurs (Oral ´ Ecole de l’air 2001)
◮Deux projecteurspetqd’un mˆemeK-e.v. E v´erifient im(p)⊂ker(q).
◮Nous noterons0l’endomorphisme nul.
Q1 Que pouvez-vous dire de q◦p?
◮Notonsr=p+q−p◦q.
Q2 Montrez que rest un projecteur.
◮Rappel : pour montrer l’´egalit´e de deux ensemblesAetB, vous devez ´etablir s´epar´ement les deux inclusions A⊂B et B⊂A.
Q3 Montrez que ker(r) = ker(p)∩ker(q).
Q4 Montrez que im(p) et im(q) sont en somme directe.
Q5 Montrez que im(r) = im(p)⊕im(q).
Tournez S.V.P.
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Exercice 3 (d’apr` es une question pos´ ee ` a l’oral des ENSTIM)
◮Cet exercice ne pr´esente pas de difficult´e particuli`ere : les connaissances requises sont celles du programme de Terminale S (sauf pour les questions marqu´ees d’une ou deux ´etoiles). Notez toutefois que les calculs de d´eriv´ees doivent ˆetre men´es avec la plus grande rigueur.
Q1 Rappelez (preuve `a l’appui) la limite de ln(x)
x−1 lorsque xtend vers 1.
◮Notonsf : x7→ xln(x) x2−1.
Q2 D´eterminez l’ensemble de d´efinition Df def.
Q3 Montrez que f(x) poss`ede, quandxtend vers 0+, une limiteℓ0que vous expliciterez.
Q4 Montrez que f(x) poss`ede, quandxtend vers 1, une limiteℓ1que vous expliciterez.
◮Nous consid´erons d´esormais que f a ´et´e prolong´ee par continuit´e `a droite de 0 et en 1, en d´ecidant que f(0) =ℓ0 etf(1) =ℓ.
Q5 Quel est le signe def(x) ?
Q6 Explicitez f′(x), pourxdiff´erent de 1.
◮Notonsg: x∈ Df7→(x2−1)2f′(x).
Q7 Explicitez g(x).
◮Notonsh: x7→xg′(x).
Q8 Explicitez h′(x).
Q9 Quel est le signe deh′(x) ? En d´eduire le tableau des variations de h.
Q10 En d´eduire le signe deg′(x), puis le tableau des variations deg.
Q11 En d´eduire le signe def′(x), puis le tableau des variations def. Q12 Supposonsf d´erivable en 1. Quelle est la valeur def′(1) ?
Q13 Avec une m´ethode de votre choix, montrez quef est d´erivable en 1 et calculezf′(1).
Q14 f est-elle d´erivable `a droite de 0 ? `A d´efaut, f poss`ede-t-elle une tangente en son point d’abscisse 0 ? Q15 Donnez l’allure de la courbe repr´esentative def. Vous pr´eciserez ce qui se passe `a droite de 0.
[Contr^ole 2008/07] Compos´e le 14 mars 2009
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