Sup PCSI2 — Contrˆole 2002/06
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie. Qu’on se le dise.
Exercice 1 : les projecteurs attendus
◮L’exercice se passe dans un K-e.v. E. Le compos´e de deux endomorphismes f et g est not´ef g au lieu de f◦g; de mˆeme,f2 d´esignef◦f.
◮Soientpetqdeux endomorphismes de E. Nous supposons quepetp−pq sont des projecteurs.
Q1 ´Etablissez l’´egalit´epqpq=pqp.
Q2 Montrez que pqpest un projecteur.
Q3 Pourn>1, prouvez l’´egalit´e (pq)np=pqp.
Q4 Exprimez (p+pqp)2et (p+pqp)3comme combinaison lin´eaire depetpqp.
Q5 Conjecturez puis d´emontrez une formule exprimant (p+pqp)n comme combinaison lin´eaire depetpqp, pour n>1. Remarque : il existe (au moins) deux d´emonstrations diff´erentes ; si vous donnez les deux, vous serez gratifi´es en cons´equence !
Q6 Dans cette question, nous fixonsE=R3. Exhibezpetqtels quepetp−pqsoient des projecteurs distincts et tous deux non triviaux (les projecteurs triviaux sont l’identit´e et l’endomorphisme nul).
Exercice 2 : les D.L. annonc´ es
Q1 Donnez (preuve `a l’appui) le DL5(0) de la fonction sin.
Q2 Donnez (preuve `a l’appui) le DL5(0) de la fonction arctan.
Q3 Donnez (preuve `a l’appui) le DL5(0) de la fonction tan.
Q4 D´eterminez leDL5(0) de la fonction qui vous est attribu´ee dans l’annexe.
[Contr^ole 2002/06] Compos´e le 11 juin 2008
