Liste 18

(1)

L.S.Marsa Elriadh

Liste 18

^{M : Zribi}

4 ^ème Maths ^Exercices

1

Exercice 1:

On considère la suite réelle définie sur IN* par:

1 n n k 1

U 1

6

U 1 ; n IN *

( n k )( n k 1 )



 



   

   



1) montrer que pour tout nIN*;

n 1 n

1 1 1 2

U U ( )

2n 2 2n 1 2n 3 2n 4

    

    ; en déduire que

la suite U est croissante.

2) Montrer que pour tout nIN*; on a:

n

n n

2n( 2n 1 ) U  ( n 1 )( n 2 )

   .

3) En déduire que U est majorée par 1 et qu'elle est convergente vers une limite que l'on encadrera.

Exercice 2:

soit U la suite définie sur N par : U0=1 ; Un+1= )

2 (1

2 n

Un ^

1/a/ montrer que pour tout nN ; 1Un

b/ montrer que la suite U est monotone 2/ on pose pour tout nN ; V_n=U_n+1-U_n a/ montrer que pour tout nN, Vn )

2 (1

1

 ⁿ

b/ en déduire que V converge et déterminer sa limite 3/ soit W la suite définie sur N par W_n=(U_n)²

a/ trouver une relation entre Wn et Wn+1 b/ en déduire Wn puis Un en fonction de n

c/ déduire que converge et déterminer sa limite.

Exercice 3 :

Soit la suite U définie sur IN par:

0

n2

n 1 2

n

U 0

U 1 4U

 4 U

 

  

 



.

1) a) montrer que pour tout nIN: 0  U_n

b) montrer que la suite U est croissante.

c) en déduire que U est convergente et trouver sa limite.

2) on pose, pour tout nIN;

2

n n2

n

V 1 U 1 U

 

 .

(2)

L.S.Marsa Elriadh

Liste 18

^{M : Zribi}

4 ^ème Maths ^Exercices

2

a) montrer que la suite V est géométrique.

b) exprimer V_n; puis U_n en fonction de n; retrouver _n

n

lim U

 . 3) Soit pour tout nIN ; _n ⁿ _k²

k 0

S 1 U

n 1 

 

 .

a) montrer que pour tout kIN; U_k² 1 2(³)^k

  5 . b) en déduire que ^S_n ¹ ⁵ ^{( 1 (} ³⁾^{n 1}⁾

n 1 5

   

 .

c) en déduire que Sn est convergente et trouver sa limite.

Exercice 4:

Soit la suite U définie sur IN* par : U_n _{n 1}ⁿ 2 ^

 .

1) montrer que U est décroissante; en déduire qu'elle est convergente.

2) Montrer que pour tout nIN*; U_{n 1} ¹U_n ¹_n

2 2

   ; en déduire

n n

lim U

 .

3) On pose pour tout nIN*, _n ⁿ _k

k 1

S U

  . a) montrer que ^S_n ^U_n ^{4( 1} ¹_n ⁾

2

    . b) En déduire _n

n

lim S

 .

4) soit V la suite définie sur IN par: Vn=n sin^n-1x ; ou x]0, 6

 [.

a) montrer que pour tout nIN*, Vn  Un ; en déduire _n

n

lim V

 . b) Montrer que pour tout nIN*; on a : Vn+1=(sinx) Vn +sinⁿx.

c) Montrer que (1-sinx)

n n

k n

k 1

1 sin x

V (sin x )V

1 sin x



  

  .

d) En déduire ⁿ _k

n k 1

lim V

  .