Tomographie par imp´edance ´electrique
Propos´e par : Habib Ammari- Ecole Polytechnique - [email protected] SoitBle disque unit´e. On suppose queBest de conductivit´eσ. On consid`ere l’´equation de conductivit´e qui porte sur le potentiel ´electriqueU(σ, g):
∇ ·σ∇U = 0 dansB,
∂U
∂ν =g sur∂B, Z
∂B
U = 0, o`u le courant ´electriqueg satisfait
Z
∂B
g= 0,||g||L2(∂B)= 1.
La tomographie par imp´edance ´electrique consiste `a reconstruire (ou `a im- ager) la conductivit´eσ`a partir des mesures deU sur le bord∂Bdu conducteur B pour un ou plusieursg.
L’objet de ce projet est de mettre en ´evidence le caract`ere mal pos´e de ce probl`eme inverse qui se traduit par une faible sensitivit´e du potentiel ´electrique sur le bord du conducteur `a certaines variations de la conductivit´e. L’exemple d´ecrit ci-dessous est du `a D. Isaacson (1986).
On d´efinit
σ1=
( σ, 0≤r≤R, 1, R < r≤1,
o`u σ est une constante strictement positive et on poseσ2 = 1,0 ≤r ≤1. On
´ecrit en coordonn´ees polaires (r, θ) g(θ) :=g(1, θ) =
+∞
X
n=1
Cncosnθ+Snsinnθ, avec
√π
+∞
X
n=1
(Cn2+Sn2) = 1.
Pour une pr´ecision de mesure >0 donn´ee, on dit que le courantg permet de distinguer entre les conductivit´esσ1et σ2 si
||U(σ1, g)−U(σ2, g)||L2(∂B)> . Montrer que
||U(σ1, g)−U(σ2, g)||L2(∂B) = 2√ π|µ|
+∞
X
n=1
( R2n
n(1 +µR2n))2(Cn2+Sn2) 12
≤ 2|µ| R2 1 +µR2, 1
o`uµ= (σ−1)/(σ+ 1).
On suppose que g(θ) = (1/√
π) cosθ ou g(θ) = (1/√
π) sinθ. Montrer qu’avec une pr´ecision , on ne peut pas distinguer le disque de rayon R et de conductivit´eσdu disque homog`ene de conductivit´e 1 siσetR sont dans
(σ, R)|σm(R)≤σ≤σM(R),0≤R≤1
o`u
σm(R) = max{0,R2−2+
R2−2+ }, et
σM(R) =
1 + 2
(2−)(R2−2− ),
2− < R2≤1, +∞, R2≤
2−.
Montrer que pour pouvoir reconstruire un disque de rayon R il faut une pr´ecision de mesure <2R2/(1−R2).
On introduit l’op´erateur A(σ) :g ∈L2(∂B)7→U(σ, g)|∂B. Montrer que le meilleur choix de courant g pour distinguer la conductivit´e σ1 de σ2 est celui qui maximise la quantit´e
R
∂BgΛ2g
||g||L2(∂B)
,
o`u Λ =A(σ1)−A(σ2).
Montrer que
Λ2g=
+∞
X
n=1
[ −2µR2n
n(1 +µR2n)]2(Cncosnθ+Snsinnθ).
Montrer qu’avec une pr´ecision , on a uniquement besoin d’injecter des courantsg= (1/√
π) sinnθou (1/√
π) cosnθ, o`unest tel que 2µR2n
n(1 +µR2n) > , afin de distinguerσ1 deσ2.
On prendR= 0.1, σ= 2, = 10−3. Illustrer num´eriquement ce r´esultat en calculant le potentiel sur le bord `a l’aide de la m´ethode des ´el´ements finis.
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