ENSEEIHT — 2`eme Ann´ee parcours Imagerie et Multim´edia & CIRMA UE Analyse num´erique
Mercredi 2 avril 2014 examen
Examen de l’UE ´ El´ ements d’analyse num´ erique
Corrig´ e
1 Partie ´ equation diff´ erentielles ordinaires
B Exercice 1. (4 points) 1.1.
A=
0 −1
1 0
et la fonctionb est
b:R −→ R2 t 7−→
0 t
. 1.2.
etA=P etΛP−1 =
1 1
−i i
eit 0 0 e−it
i −1 i 1
1 2i =
cost −sint sint cost
. 1.3. Ici R(t, t0) =etA et donc
y(t) =etAy0+ Z t
0
e(t−s)Ab(s)ds
=etAy0+etA Z t
0
e−sAb(s)ds
=etAy0+etA Z t
0
s sins
coss
ds =
y01cost−y02sint+ sint−t y01sint+y02cost−cost+ 1
. B Exercice 2. (4 points)
2.1.
k1 =ϕ(t0, y0+h((1/6)k1−(1/3)k2 + (1/6)k3))
k2 =ϕ(t0+ (1/2)h, y0+h((1/6)k1+ (5/12)k2−(1/12)k3)) k3 =ϕ(t0+h, y0+h((1/6)k1+ (2/3)k2 + (1/6)k3))
y1 =y0+h((1/6)k1+ (2/3)k2+ (1/6)k3) 1
UE Analyse num´erique Examen – EDO
2.2. Ce sch´ema est implicite.
2.3.
I−(h/6)A (h/3)A −(h/6)A (h/6)A I−(5h/12)A (h/12)A
−(h/6)A −(2h/3)A I−(h/6)A
k1
k2
k3
=
Ay0+b Ay0+b Ay0+b
,
o`uI est la matrice identit´e (n, n). Le syst`eme est de dimension 3n.
B Exercice 3.
3.1. On posey(t) = (x1(t), x2(t),x˙1(t),x˙2(t)) et y0 = (x01, x02, v01, v02). Le syst`eme s’´ecrit alors
(IV P)1
˙
y1(t) =y3(t)
˙
y2(t) =y4(t)
˙
y1(t) =− µy1(t)
||r(t)||3
˙
y2(t) =− µy2(t)
||r(t)||3 y(0) =y0.
avec r(t) = (y1(t), y2(t)). On a doncϕ qui est d´efinie par ϕ:R×R4 −→ R4
(s, z) 7−→ ϕ(s, z) =
z3
z4
− µz1 pz12+z223
− µz2
pz12+z223
3.2. ∂y
∂y0
(t, y0)∈ M(4,4)(R).
3.3. On pose r(t, y0) = (y1(t, y0), y2(t, y0)),
∂y
∂y0
(., y0) est alors solution de
(V AR)
Y˙(t) =A(t)Y(t) Y(0) =I, avec
2
UE Analyse num´erique Examen – EDO
A(t) = ∂ϕ
∂z(t, y(t, y0)) =
0 0 1 0
0 0 0 1
− µ
||r(t, y0)||3 +3µy12(t, y0)
||r(t, y0)||5
3µy1(t, y0)y2(t, y0)
||r(t, y0)||5 0 0 3µy1(t, y0)y2(t, y0)
||r(t, y0)||5 − µ
||r(t, y0)||3 +3µy22(t, y0)
||r(t, y0)||5 0 0
.
3
