Examen de l’UE ´ El´ ements d’analyse num´ erique

ENSEEIHT — 2`eme Ann´ee parcours Imagerie et Multim´edia & CIRMA

UE Analyse num´erique Mercredi 3 septembre 2014

Examen de l’UE ´ El´ ements d’analyse num´ erique

Session 2

Document autoris´ e : 1 page A3 recto-verso

Les 2 parties sont ` a r´ ediger sur des feuilles diff´ erentes

1 Partie Interpolation et approximation 2 Partie ´ equations diff´ erentielles ordinaires

B Exercice 1. (6 points) On consid`ere le probl`eme `a valeur initiale suivant

(IV P)







˙

y(t) = 0 sit≤1

˙

y(t) =t−1 sit >1 y(0) = 0.

1.1. Donnez la fonctionϕ (espace de d´epart, espace d’arriv´ee et d´efinition de la fonction) permettant d’´ecrire le syst`eme sous la forme

(IV P)

y(t) =˙ ϕ(t, y(t)) y(0) = 0.

1.2. A l’aide du th´` eor`eme d’existence de solution du cours montrez que ce syst`eme poss`ede une unique solution.

1.3. Calculez la solution de ce probl`eme.

1.4. On consid`ere les sch´emas d’Euler explicite et rk2 d´efini par le tableau de Butcher

0 1/2 1/2

0 1

.

1

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Pour l’intervalle [ti, ti+1] avecti <1< ti+1etyi =y(ti) = 0, donnez pour ces deux sch´emas les valeurs deyi+1 approximation de la solution y(ti+1) (pour rk2 on donnera les deux valeurs possibles suivant le signe det_i+h/2−1, o`uh=ti+1−ti).

1.5. En d´eduire pour cet exemple l’ordre de ces deux sch´emas. Commentaire.

B Exercice 2. (3 points) On consid`ere le mod`ele de FitzHugh-Naguma[1] qui donne l’´evolution en fonction du temps du voltage `a travers la membrane d’un axone :

(IV P)







˙

y₁(t) =c(y₁(t)−y³₁(t)/3 +y₂(t))

˙

y₂(t) =−(1/c)(y₁(t)−a+by₂(t)) y(0) =y0.

o`u

— y1 est le voltage ;

— y₂ est la variable de recouvrement (mod´elise les courants ext´erieurs) ;

— θ= (a, b, c) sont les param`etre du mod`ele

2.1. On notey(t, y₀, θ₀) la solution ent du probl`eme (IV P). Quelle est la dimension de

∂y

∂θ(t, y₀, θ₀)?

2.2. On suppose connue la solutiony(t, y₀, θ₀) pour les valeurs fix´ees de y₀ et de θ0. Donnez l’´equation variationnelle dont est solution

∂y

∂θ(., y₀, θ₀).

On donnera les dimensions des matricesA(t) etB(t) et on explicitera celles- ci en fonction dey(t, y0, θ0) et de θ0.

B Exercice 3. (4 points) Soit l’´equation diff´erentielle lin´eaire `a condition ini- tiale

(IV P)

y(t) =˙ Ay(t) y(0) =y0.

On pose y⁽⁰⁾ l’application constante y⁽⁰⁾(t) = y₀ et le processus it´eratif qui intervient dans la d´emonstration du th´eor`eme d’existence de solution (it´eration de Picard) :

y^(k+1)(t) =y0+ Z t

0

ϕ(s, y^(k)(s))ds.

3.1. Calculer y⁽¹⁾ ety⁽²⁾.

3.2. Donnez et d´emontrez par r´ecurrence l’expression dey^(k). 3.3. Vers quoi converge y^(k) lorsquek tend vers +∞?

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R´ ef´ erences

[1] R. FitzHugh. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane. Biophysical Journal, 6 :445–466, 1961.

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