Continuité
Définition
f estcontinue en a (oucontinue au point a) si
x→alimf(x) =f(a)
Soit I un intervalle deR, f est continue sur I si elle est continue en tout point de I .
f estcontinuesi elle est continue en tout point de son ensemble de définition Df.
Continuité
Exemple
Soitf une fonction numérique et (xn)n∈N la suite récurrente définie par le procédé itératif
x0 fixé
pour tout n≥0, xn+1 =f(xn).
Si on suppose quef est continue et que(xn)n∈N tend vers une limite réelle`, on retrouve le fait quef(`) =`.
Continuité
Définition
Soit f définie sur Df et a∈/Df pour lequel f n’est pas définie.
Soit`∈R, on suppose que lim
x→af(x) =`.
Leprolongement par continuité de f en a est la fonction g : x 7→g(x) =
f(x) si x ∈Df,
` si x =a,
Exemple
Prolongement par continuité en 0 de la fonctionx 7→ sin(x)x .
Exemple
Soita>0, on peut prolonger par continuité en 0 la fonction x 7→ax qui est définie surR∗+= ]0,+∞[.
Continuité
Définition
Soit f définie sur Df et a∈/Df pour lequel f n’est pas définie.
Soit`∈R, on suppose que lim
x→af(x) =`.
Leprolongement par continuité de f en a est la fonction g : x 7→g(x) =
f(x) si x ∈Df,
` si x =a,
Exemple
Prolongement par continuité en 0 de la fonctionx 7→ sin(x)x .
Exemple
Soita>0, on peut prolonger par continuité en 0 la fonction x 7→ax qui est définie surR∗+= ]0,+∞[.
Continuité
Opérations sur les fonctions continues
Soitf etg deux fonctions, I etJ deux intervalles, alors :
I si f etg continues surI alors f +g etf ×g sont continues sur I;
I si g ne s’annule pas surI, alors gf est continue surI ;
I si f est continue surI etg est continue surf(I) =J alors g ◦f est continue surI.
Exemple
La fonction logistiquex 7→ 1+eexx est continue surR.
Continuité - résolution d’équations
Théorème (Valeurs intermédiaires)
SoitI un intervalle deR et soitf une fonction continue, alors l’imagef(I) deI parf est un intervalle.
Autre version :
Théorème (Valeurs intermédiaires - résolution d’équation) Sif est continue sur le segment [a,b]et si le réel αest entre les valeursf(a) et f(b)alors il existe au moins un nombre c dans le segment[a,b]tel que f(c) =α.
Autrement dit l’équationf(x) =α a au moins une solution.
Exemple
Existence d’unzéro d’une fonction. Par exemple la fonction polynômef :x 7→x5−3x+1 s’annule entre 0 et 1.
Continuité - résolution d’équations
Théorème (Valeurs intermédiaires)
SoitI un intervalle deR et soitf une fonction continue, alors l’imagef(I) deI parf est un intervalle.
Autre version :
Théorème (Valeurs intermédiaires - résolution d’équation) Sif est continue sur le segment [a,b]et si le réelα est entre les valeursf(a) et f(b) alors il existe au moins un nombre c dans le segment[a,b]tel que f(c) =α.
Autrement dit l’équationf(x) =α a au moins une solution.
Exemple
Existence d’unzéro d’une fonction. Par exemple la fonction polynômef :x 7→x5−3x+1 s’annule entre 0 et 1.
Continuité - existence d’un point fixe
Sif est continue sur le segment[a,b]et si on suppose que les deux imagesf(a) etf(b) sont dans le segment[a,b]alors il existe un réelc entrea etb tel quef(c) =c.
Un tel nombre est appelépoint fixede la fontionf : c’est une solution de l’équationf(x) =x.
Exemple
La fonction cosinus a un point fixe sur le segment 0,π2
.
Continuité - le théorème de la bijection
Définition
f estcroissante sur I si on a
∀x ∈I, ∀y ∈I, x ≤y ⇒f(x)≤f(y) f eststrictement croissantesur I si on a
∀x ∈I, ∀y ∈I, x <y ⇒f(x)<f(y) f estdécroissante sur I si on a
∀x ∈I, ∀y ∈I, x ≤y ⇒f(x)≥f(y) f eststrictement décroissante sur I si on a
∀x ∈I, ∀y ∈I, x <y ⇒f(x)>f(y) f est(strictement) monotone sur I si elle est (strictement) croissante sur I ou strictement décroissante sur I .
Continuité - le théorème de la bijection
Théorème (de la bijection)
Soitf une fonction numérique définie sur un intervalleI. Si on suppose quef est continue et strictement monotone sur I alorsf est une bijection de I sur son imagef(I).
Exemple
La fonctionexpest une bijection de RdansR∗+= ]0,+∞[.
La restriction de la fonction inversex 7→ 1x àR∗+= ]0,+∞[ est une bijection deR∗+ dansR∗+.
Continuité - calcul du zéro d’une fonction continue
Soitf continue sur le segment[a,b], telle quef(a) et f(b) n’ont pas le même signe.
Pour calculer une solution de l’équationf(x) =0 sur un segment [a,b], on emploie classiquement les méthodes dedichotomieou de lasécante:
1. on choisit une précision p >0 2. on définit c =a
3. tant que |f(c)|>p on répète les opérations :
I on définit un nouveau pointc dans l’intervalle ouvert ]a,b[,
I sif(a)etf(c)sont de signe différent on redéfinit b=c,
I sif(a)etf(c)sont de même signe on redéfinita=c 4. on renvoie la valeur c.
Dérivation
Équation de la droite passant par(x0,f(x0))et (x1,f(x1)): y = f(x1)−f(xo)
x1−x0 (x−x0) +f(x0) le coefficient directeur f(xx1)−f(xo)
1−x0 est quotient différentiel def entre x0 et x1.
Dérivation
Définition
f estdérivable en x0 si le quotient différentiel de f entre x0 et x a une limite lorsque x tend vers x0. Cette limite est appelée dérivée de f en x0, notée f0(x0), et on peut écrire :
f0(x0) = lim
x→x0
f(x)−f(x0) x−x0 .
f estdérivable sur A si f est dérivable en tout point de A.
f estdérivable si f est dérivable sur Df. La fonction f0 est la fonction dérivée de f .
Dérivation
Équation de la tangente
Sif est dérivable en x0, alors l’équation de la tangente au graphe def au point(x0,f(x0))est
y = f0(x0)(x−x0) +f(x0)
Dérivation
Exemple
Les fonctions usuelles sont dérivables sur leur ensemble de définition, sauf :
I la fonction f :x 7→√
x est dérivable sur ]0,+∞[.
I la fonction f :x 7→ |x|est dérivable surR∗. les dérivées à connaitre sont :
I poura6=0 etf :x 7→xa,f0(x) =axa−1 pourx >0.
I pourf :x 7→ex,f0(x) =ex sur R.
I pourf :x 7→ln(x),f0(x) = 1
x sur ]0,+∞[.
I pourf :x 7→cos(x),f0(x) =−sin(x) surR.
I pourf :x 7→sin(x),f0(x) =cos(x) sur R.
I pourf :x 7→tan(x),f0(x) =1+tan2(x) surDf.
Dérivation
Autre écriture de la dérivée comme limite Sif est dérivable en x0, alors on peut écrire :
f0(x0) = lim
h→0
f(x0+h)−f(x0) h
Exemple
On retrouve grâce à cette formule les limites classiques :
x→0lim sin(x)
x =sin0(0) =1 et lim
x→0
ln(1+x)
x =ln0(1) =1.
Dérivation – Calculs
Théorème (Règles de calcul des dérivées)
Sif etg sont dérivables sur I alors pour toutx ∈I :
I (f +g)0(x) =f0(x) +g0(x)
I (f g)0(x) =f0(x)g(x) +f(x)g0(x)
I si f 6=0 surI alors
1
f 0
(x) =−f0(x) f(x)2
I si g 6=0 sur I alors
f
g 0
(x) = f0(x)g(x)−g0(x)f(x) g(x)2
Dérivation – Calculs
Théorème (Composée et réciproque) SoitI un intervalle deR.
I Si f dérivable surI et g dérivable sur f(I) alors g ◦f :x 7→g(f(x)) dérivable surI et
∀x ∈I, (g ◦f)0(x) =g0(f(x))f0(x)
I Si f est bijective deI sur f(I), dérivable surI et f0 6=0 sur I, alors f−1 dérivable surf(I) et
∀y ∈f(I), f−10
(y) = 1 f0(f−1(y)))
