TP 15 – Mesure d’une viscosité

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Travaux pratiques Mécanique du point, Mécanique des fluides

TP 15 – Mesure d’une viscosité

Réaliser et exploiter l’acquisition vidéo du mouvement d’un point matériel en vue de déterminer une valeur de viscosité dynamique d’un fluide, un coefficient de frottement ou une période d’oscillation.

Pilotage et paramétrage de la webcam

La webcam rapide est pilotée par le logiciel Virtual Dub. Un compromis doit être trouvé entre :

• le nombre d’images par seconde (= écart temporel entre les points de mesure),

• la résolution de l’image (= qualité de l’image),

• la capacité d’écriture de ces informations sur le disque dur par l’ordinateur (chaque image doit être stockée afin de créer le film).

Si l’on est trop gourmand (trop d’images par seconde et/ou résolution trop grande), l’ordinateur risque de sauter l’écriture de certaines images par manque de ressources mémoire. Perdre une image revient à perdre le notre repère de temps.

Étant donné les temps caractéristiques du mouvement étudié et la distance sur laquelle nous le filmons, un bon compromis se situe autour de 15 images par seconde, avec une résolution autour de 340 lignes et pour un film de durée totale de 3 ou 4 secondes.

Logiciel de pointage

La séquence vidéo sera exploitée au moyen du logiciel LatisPro. Il suffit de renseigner les rubriques de définition du repère d’espace et le choix de l’orientation des axes avant de procéder au pointage des positions successives.

Les résultats sont directement accessibles dans l’onglet des courbes. Les coordonnées des points sont stockées dans le tableur.

Exportation des données

L’exploitation peut se faire directement avec le tableur intégré à LatisPro, ou bien en exportant les données dans un fichier de format .csv ou .txt (menu Fichier, puis Exporter) qui peut être ouvert ensuite, par exemple, par Regressi.

Il est également possible d’utiliser Python pour traiter les données.

Manipulations proposées

• Déterminer un coefficient de frottement pour un système masse-ressort vertical amorti

• Vérifier la validité de la relation de Borda pour la période d’oscillation d’un pendule simple

• Déterminer la viscosité dynamique d’un fluide par l’étude de la chute d’une bille sphérique

PRINCIPE D’UNE ACQUISITION VIDEO

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Attentes vis-à-vis du compte-rendu

• Présentation de la démarche mise en œuvre,

• Explicitation des hypothèses formulées,

• Rédaction des calculs théoriques support de l’exploitation

• Validation critique des résultats obtenus.

Complément 1 : Chute d’un objet sphérique dans un fluide visqueux

Lorsqu’une bille sphérique (rayon 𝑟) chute dans un fluide visqueux (viscosité dynamique 𝜂), elle est soumise, outre son poids 𝑃⃗ , à deux actions de la part du fluide :

• des forces pressantes dont la résultante est appelée poussée d’Archimède 𝜋 ⃗ = −𝜌

𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒

𝑉

𝑏𝑖𝑙𝑙𝑒

𝑔 ,

• ainsi qu’une force de frottement fluide 𝑓 .

La force de frottement est parfois modélisée par la relation de Stokes 𝑓 = −6𝜋𝜂𝑟𝑣 , à condition que l’écoulement du fluide autour de la bille lors de sa chute puisse être considéré rampant (voir plus loin).

La seconde loi de Newton appliquée à la bille en chute dans un fluide visqueux, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, cette loi s’écrit :

𝑚 𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 𝑃⃗ + 𝜋 ⃗ + 𝑓

Sa projection selon la direction de vecteur unitaire 𝑒 ⃗⃗⃗ conduit à :

_𝑧

𝑚 𝑑𝑣

𝑑𝑡 ∙ 𝑒 ⃗⃗⃗ = 𝑃⃗ ∙ 𝑒

𝑧

⃗⃗⃗ + 𝜋

𝑧

⃗ ∙ 𝑒 ⃗⃗⃗ + 𝑓 ∙ 𝑒

𝑧

⃗⃗⃗

𝑧

𝑚 𝑑𝑧̇

𝑑𝑡 = 𝑚𝑔 − 𝜌

_{𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒}

𝑉

_{𝑏𝑖𝑙𝑙𝑒}

𝑔 − 6𝜋𝜂𝑟𝑧̇

Tous les vecteurs forces sont colinéaires au vecteur unitaire 𝑒 ⃗⃗⃗ , mais 𝑓 et 𝜋

_𝑧

⃗ sont de sens opposé à 𝑒 ⃗⃗⃗ . D’autre part, la bille est

_𝑧

lâchée sans vitesse initiale. Son mouvement est, par conséquent, exclusivement vertical et descendant :

𝑧 augmente au cours du temps ⇒ 𝑧̇ > 0 ⇒ 𝑣 = ‖𝑣 ‖ = 𝑧̇

𝑚 𝑑𝑣

𝑑𝑡 = ‖𝑃⃗ ‖ − ‖𝜋 ⃗ ‖ − 6𝜋𝜂𝑟𝑣 𝑑𝑣

𝑑𝑡 + 6𝜋𝜂𝑟

𝑚 𝑣 = 𝑔 (1 − 𝜌

𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒

𝜌

_{𝑏𝑖𝑙𝑙𝑒}

)

Cette modélisation de la force de frottement permet de montrer qu’après un régime transitoire, la vitesse tend vers une valeur limite constante, dont la valeur permet d’accéder à la viscosité du fluide.

En revanche, la loi de Stokes n’est valide que si le mouvement se fait loin des parois et que le nombre de Reynolds diamétral 𝑅

_𝑒

(qui décrit l’écoulement du fluide autour de la bille) soit très petit devant 1.

𝑅

_𝑒

= 2𝑟 ⋅ 𝑣 ⋅ 𝜌

_{𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒}

𝜂

𝑓 𝑒 ⃗⃗⃗

𝑧

𝜋 ⃗

𝑃⃗

𝑧

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Complément 2 : Oscillations anharmoniques d’un pendule simple

Les oscillations d’un pendule simple autour de sa position d’équilibre sont modélisées par l’équation différentielle : 𝜃̈ + 𝜔

₀

𝑄 𝜃̇ + 𝜔

₀²

𝑠𝑖𝑛(𝜃) = 0

La présence du terme 𝑠𝑖𝑛(𝜃) rend cette équation différentielle non linéaire, et par conséquent, sa résolution plus difficile, voire impossible analytiquement. À cet effet, l’approximation harmonique est introduite pour faciliter l’accès à des expressions analytiques de solutions. Cette approximation consiste à utiliser un développement limité à l’ordre 1, 𝑠𝑖𝑛(𝜃) ≈ 𝜃 afin de linéariser l’équation différentielle.

TP 15 – Mesure d’une viscosité

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Travaux pratiques Mécanique du point, Mécanique des fluides

TP 15 – Mesure d’une viscosité

Réaliser et exploiter l’acquisition vidéo du mouvement d’un point matériel en vue de déterminer une valeur de viscosité dynamique d’un fluide, un coefficient de frottement ou une période d’oscillation.

Pilotage et paramétrage de la webcam

La webcam rapide est pilotée par le logiciel Virtual Dub. Un compromis doit être trouvé entre :

• le nombre d’images par seconde (= écart temporel entre les points de mesure),

• la résolution de l’image (= qualité de l’image),

• la capacité d’écriture de ces informations sur le disque dur par l’ordinateur (chaque image doit être stockée afin de créer le film).

Si l’on est trop gourmand (trop d’images par seconde et/ou résolution trop grande), l’ordinateur risque de sauter l’écriture de certaines images par manque de ressources mémoire. Perdre une image revient à perdre le notre repère de temps.

Étant donné les temps caractéristiques du mouvement étudié et la distance sur laquelle nous le filmons, un bon compromis se situe autour de 15 images par seconde, avec une résolution autour de 340 lignes et pour un film de durée totale de 3 ou 4 secondes.

Logiciel de pointage

La séquence vidéo sera exploitée au moyen du logiciel LatisPro. Il suffit de renseigner les rubriques de définition du repère d’espace et le choix de l’orientation des axes avant de procéder au pointage des positions successives.

Les résultats sont directement accessibles dans l’onglet des courbes. Les coordonnées des points sont stockées dans le tableur.

Exportation des données

L’exploitation peut se faire directement avec le tableur intégré à LatisPro, ou bien en exportant les données dans un fichier de format .csv ou .txt (menu Fichier, puis Exporter) qui peut être ouvert ensuite, par exemple, par Regressi.

Il est également possible d’utiliser Python pour traiter les données.

Manipulations proposées

• Déterminer un coefficient de frottement pour un système masse-ressort vertical amorti

• Vérifier la validité de la relation de Borda pour la période d’oscillation d’un pendule simple

• Déterminer la viscosité dynamique d’un fluide par l’étude de la chute d’une bille sphérique

PRINCIPE D’UNE ACQUISITION VIDEO

-2-

Attentes vis-à-vis du compte-rendu

• Présentation de la démarche mise en œuvre,

• Explicitation des hypothèses formulées,

• Rédaction des calculs théoriques support de l’exploitation

• Validation critique des résultats obtenus.

Complément 1 : Chute d’un objet sphérique dans un fluide visqueux

Lorsqu’une bille sphérique (rayon 𝑟) chute dans un fluide visqueux (viscosité dynamique 𝜂), elle est soumise, outre son poids 𝑃⃗ , à deux actions de la part du fluide :

• des forces pressantes dont la résultante est appelée poussée d’Archimède 𝜋 ⃗ = −𝜌

𝑉

𝑔 ,

• ainsi qu’une force de frottement fluide 𝑓 .

La force de frottement est parfois modélisée par la relation de Stokes 𝑓 = −6𝜋𝜂𝑟𝑣 , à condition que l’écoulement du fluide autour de la bille lors de sa chute puisse être considéré rampant (voir plus loin).

La seconde loi de Newton appliquée à la bille en chute dans un fluide visqueux, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, cette loi s’écrit :

𝑚 𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 𝑃⃗ + 𝜋 ⃗ + 𝑓

Sa projection selon la direction de vecteur unitaire 𝑒 ⃗⃗⃗ conduit à :

𝑚 𝑑𝑣

𝑑𝑡 ∙ 𝑒 ⃗⃗⃗ = 𝑃⃗ ∙ 𝑒

⃗⃗⃗ + 𝜋

⃗ ∙ 𝑒 ⃗⃗⃗ + 𝑓 ∙ 𝑒

⃗⃗⃗

𝑚 𝑑𝑧̇

𝑑𝑡 = 𝑚𝑔 − 𝜌

𝑉

𝑔 − 6𝜋𝜂𝑟𝑧̇

Tous les vecteurs forces sont colinéaires au vecteur unitaire 𝑒 ⃗⃗⃗ , mais 𝑓 et 𝜋

⃗ sont de sens opposé à 𝑒 ⃗⃗⃗ . D’autre part, la bille est

lâchée sans vitesse initiale. Son mouvement est, par conséquent, exclusivement vertical et descendant :

𝑧 augmente au cours du temps ⇒ 𝑧̇ > 0 ⇒ 𝑣 = ‖𝑣 ‖ = 𝑧̇

𝑚 𝑑𝑣

𝑑𝑡 = ‖𝑃⃗ ‖ − ‖𝜋 ⃗ ‖ − 6𝜋𝜂𝑟𝑣 𝑑𝑣

𝑑𝑡 + 6𝜋𝜂𝑟

𝑚 𝑣 = 𝑔 (1 − 𝜌

𝜌

)

Cette modélisation de la force de frottement permet de montrer qu’après un régime transitoire, la vitesse tend vers une valeur limite constante, dont la valeur permet d’accéder à la viscosité du fluide.

En revanche, la loi de Stokes n’est valide que si le mouvement se fait loin des parois et que le nombre de Reynolds diamétral 𝑅

(qui décrit l’écoulement du fluide autour de la bille) soit très petit devant 1.

𝑅

= 2𝑟 ⋅ 𝑣 ⋅ 𝜌

𝜂

𝑓 𝑒 ⃗⃗⃗

𝜋 ⃗

𝑃⃗

𝑧

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Complément 2 : Oscillations anharmoniques d’un pendule simple

Les oscillations d’un pendule simple autour de sa position d’équilibre sont modélisées par l’équation différentielle : 𝜃̈ + 𝜔

𝑄 𝜃̇ + 𝜔

𝑠𝑖𝑛(𝜃) = 0

Approximation harmonique Frottements fluides ? Période Commentaire

Avec l’approximation harmonique

en l’absence de

frottements 𝑇

= 2𝜋√ ℓ

𝑔