BLAISE PASCAL PT 2020-2021
DM 3 – à rendre lundi 21 septembre
Écoulements et viscosité
Vous êtes invités à porter une attention particulière à la rédaction et au soin de votre copie. Les numéros des questions doivent être mis en évidence et les résultats encadrés.
Travailler avec vos cours et TD ouverts est chaudement recommandé : un DM est un entraînement, pas une évaluation. En cas de besoin, n’hésitez pas à me poser des questions, à la fin d’un cours ou par mail.
Ce DM est recommandé mais facultatif. Si vous décidez de rendre une copie, le
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Suspension de VTT
Une suspension de VTT est toujours composée de deux éléments distincts : un amortisseur, occupant un côté de la fourche, et un système de ressort métallique ou pneumatique occupant le second côté. Cet exercice s’intéresse au principe de fonctionnement de l’amortisseur.
On modélise le plongeurÅpar un cylindre de rayonR+e, dans lequel se déplace le piston de laminageÇmodélisé par un cylindre de rayonRet de longueurL. Dans le plongeur se trouve de l’huileÈ, décrite comme un fluide newtonien incompressible de viscositéη, qui peut passer d’un compartiment à l’autre du plongeur sous l’effet de la différence de pression ∆P=P2−P1
imposée par le piston de laminage. L’écoulement a lieu autour du piston dans la couronne circonférentielle dont on note l’épaisseure.
On se place dans le référentiel lié au VTT, et on suppose que le piston de laminage remonte dans le plongeur à la vitesse constante#”v0=v0#”ezsous l’effet d’une force #”
F =F#”ez exercée par la roue du vélo à laquelle il est lié.
Le but de l’étude est de relier la force #”
F à la vitesse de remontée du piston.
Tous les effets liés à la pesanteur sont négligés.
F#”
v#”0
2R 2(R+e)
P2
P1
z
R e
z
Données :
. géométrie de la fourche :L= 1 cm ;R= 1 cm ;e= 0,5 mm ; . caractéristiques de l’huile :η= 0,3 Pa·s ;ρ= 8·102kg·m−3.
On suppose que l’écoulement dans la couronne circonférentielle est laminaire et que la force visqueuse subie par le piston est négligeable devant les autres forces qu’il subit. La validité de ces deux hypothèses sera discutée par la suite.
1/2 Étienne Thibierge, 13 septembre 2020,www.etienne- thibierge.fr
DM 3 : Écoulements et viscosité Blaise Pascal, PT 2020-2021
1 - Exprimer l’écart de pression ∆P imposé par le piston entre les deux compartiments du plongeur en fonction deF.
2 - Comme l’écoulement est laminaire eteR, on peut montrer que le champ des vitesses est peu différent de ce qu’il serait pour le même écart de pression ∆P maisv0= 0 : il peut être décrit par un profil de Poiseuille, sous la forme
#”v = ∆P
2ηL(r−K1)(r−K2)#”ez.
Déterminer les deux constantesK1 etK2et représenter le profil de vitesse dans une section droite de l’amortisseur.
Vous serez vigilant au sens dans lequel a lieu l’écoulement, ou de façon équivalente au signe devz.
3 - En déduire l’expression du débit volumique DV >0 entre les deux compartiments en fonction de ∆P, η et des paramètres géométriques. On donne l’intégrale
ˆ b a
x(x−a)(x−b) dx= 1
12(a−b)3(a+b).
4 - Exprimer en fonction de v0 la variation de volume dV du compartiment supérieur du plongeur pendant une durée dt. Exprimer alors DV en fonction dev0.
5 - Exprimer v0 en fonction des données et calculer sa valeur numérique pour F = 100 N. Vérifier la validité de l’hypothèse d’écoulement laminaire.
6 -Montrer que la force de viscosité subie par le piston de laminage vaut F#”visq=− e
R1
F .#”
Vérifier la validité de l’hypothèse consistant à la négliger.
7 -Exprimer la force exercée par l’amortisseur sur la roue du VTT en fonction de la vitesse#”v0à laquelle se comprime la suspension. Commenter.
2/2 Étienne Thibierge, 13 septembre 2020,www.etienne- thibierge.fr
