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Submitted on 30 Nov 2010
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Détermination de l’atténuation ultrasonore d’une huile silicone et estimation de la viscosité
Naïm Samet, Pierre Marechal, Hugues Duflo
To cite this version:
Naïm Samet, Pierre Marechal, Hugues Duflo. Détermination de l’atténuation ultrasonore d’une huile silicone et estimation de la viscosité. 10ème Congrès Français d’Acoustique, Apr 2010, Lyon, France.
�hal-00541470�
10ème Congrès Français d'Acoustique
Lyon, 12-16 Avril 2010
Détermination de l’atténuation ultrasonore d’une huile silicone et estimation de la viscosité
Naïm Samet1, Pierre Maréchal1, Hugues Duflo1
1LOMC FRE CNRS 3102, FANO FR CNRS 3110, Université du Havre, Laboratoire Ondes et Milieux Complexes Place Robert Schuman, 76610 Le Havre. {naim.samet, pierre.marechal, hugues.duflo}@univ-lehavre.fr
Dans le cadre d'une étude portant sur le suivi de polymérisation de matériau composite, une étude est réalisée sur des huiles de viscosité calibrée. La viscosité des fluides est liée aux phénomènes dissipatifs décrits en mécanique des fluides. Elle est mesurable notamment par une sollicitation périodique en cisaillement (fréquence de l'ordre du Hz). Ces phénomènes dissipatifs peuvent se mesurer au moyen d'ondes ultrasonores (fréquence de l'ordre du MHz). Pour cela, un dispositif expérimental approprié aux futures conditions de mesure est proposé.
Le fluide étudié est placé entre 4 cm de verre et une plaque épaisse d'aluminium. L'épaisseur du fluide est de l'ordre de 6 mm. Les incertitudes liées aux conditions expérimentales sont quantifiées et leur incidence sur la précision de la mesure est discutée. Les résultats des deux mesures, mécanique et ultrasonore, sont confrontés et une corrélation est établie entre les résultats de trois huiles de viscosité calibrée. Ces données sont alors utilisées afin de déterminer la viscosité d'un fluide par la méthode ultrasonore.
1 Introduction
La mesure de vitesse et d’atténuation par des méthodes ultrasonores renseigne sur les propriétés élastiques des matériaux. Ces paramètres ont leur importance dans le domaine biomédical, en contrôle non destructif (CND) ou évaluation non destructive (END) [1, 2]. Par ailleurs, le suivi de ces paramètres renseigne directement sur l’évolution des propriétés élastiques au cours du temps : durcissement, amollissement, fatigue [3]. En particulier, le suivi de polymérisation de résine peut être observé au niveau de l’évolution des propriétés de vitesse et d’atténuation ultrasonore. Une des méthodes consiste à évaluer des propriétés dans le domaine temporel à partir de deux échos par des mesures de temps de vol et de rapport d’amplitude, mais celle-ci omet le contenu spectral du signal. Une autre méthode consiste à exprimer ces propriétés en fonction du rapport spectral de deux échos, auquel cas les évolutions fréquentielles de vitesse et d’atténuation peuvent être observées.
Pour de nombreux matériaux (solides et fluides), l’atténuation ultrasonore évolue en fréquence selon une loi puissance : αL(f) = α0.fn, avec f est la fréquence, f0 est la fréquence de référence, αL(f) est l’atténuation, n est le paramètre puissance avec 1 ≤ n ≤ 2. Pour une évaluation précise des propriétés acoustiques, les effets de la diffraction doivent être compensés [4]. L’objectif de cet article est de mesurer expérimentalement les vitesses de propagation et les atténuations ultrasonores dans une même catégorie d’huiles possédant des viscosités différentes. Pour mesurer ces propriétés acoustiques, un dispositif expérimental adapté aux conditions réelles de polymérisation d’une résine est proposé.
L’article est décomposé en trois parties : la première présente les équations permettant de mesurer les propriétés acoustiques, la deuxième partie décrit la configuration expérimentale proposée. Dans la troisième partie, les résultats obtenus sont comparés pour trois huiles silicones de viscosité différentes.
2 Théorie
2.1 Vitesse et atténuation
La configuration considérée est la suivante : le faisceau ultrasonore généré par le transducteur mono-élément linéaire est cylindrique. Le transducteur est en contact avec la plaque de verre considérée comme homogène et isotrope, l’onde incidente se propage en incidence normale par rapport à la plaque de verre rencontre l’interface verre-huile silicone dont les deux interfaces en amont et en aval du faisceau sont parallèles. Dans un fluide atténuant, le nombre d’onde de l’onde longitudinale (L) est désigné par :
( )
2 2
( ) ( )
( ) ( ) 1 ( )
L L
L L c
f f
k f j f
c f c f j f
π α π
= + = δ
+ (1)
où ω est la pulsation de l’onde incidente, cL(f) est la vitesse longitudinale dans l’huile silicone, αL(f) est l’atténuation des ondes ultrasonores dans le fluide et δc(f) représente les pertes sur cL(f) liées à l’atténuation.
Soient s1r(t) et s2r(t) les deux signaux réfléchis correspondant respectivement au premier et au deuxième aller-retour dans la couche de fluide (2), tels qu’ils sont représentés sur la Figure 1 :
Transducteur Verre (1)
Fluide (2)
Aluminium (3) d1
d2
S1rS2r Transducteur Verre (1)
Fluide (2)
Aluminium (3) d1
d2
S1rS2r
Figure 1 : Configuration expérimentale pour la mesure de la vitesse longitudinale et de l’atténuation.
En se basant sur le modèle de transmission linéaire à travers des plaques fluides, les spectres des signaux temporels s1r(t) et s2r(t), notés S1r(f) et S2r(f) sont [5]:
( )2 2
1r( ) . jkL f d . .12 23. 21
S f =A e T R T (2)
( )42
2r( ) . jkL f d . .12 23. 21. 23.21
S f =A e T R R R T (3)
où A est l’amplitude du signal, d2 est l’épaisseur du fluide, Tpq et Rpq sont respectivement les coefficients de transmission et de réflexion lorsque le faisceau ultrasonore est incident du milieu d’indice p vers le milieu d’indice q.
Ils sont définis par : 2 q
pq
q p
T Z
Z Z
= + (4)
q p
pq
q p
Z Z
R Z Z
= −
+ (5)
où Zi = ρi.cL,i est l’impédance acoustique avec ρi la masse volumique et cL,i la vitesse longitudinale du milieu d’indice i, considérée réelle et constante dans la gamme de fréquence utile. Comme le précise l’équation (1), les vitesses peuvent être considérées complexes du fait de l’atténuation, auquel cas, les coefficients de transmission Tpq et de réflexion Rpq le sont aussi.
La fonction de transfert entre les spectres S1r(f) et S2r(f) est donnée par :
2 2 2 2
2 . 2
21 23 1
( ) ( ) . . .
( )
L L
j f d
c d
r r
S f
T f e e R R
S f
π α
+ −
= = (6)
Dans cette équation, il ne reste que les coefficients de réflexion R21 et R23 (les coefficients de transmission T12 et T21 présents dans les équations (2) et (3) se simplifient).
Afin d’estimer les contributions des coefficients de réflexion R21 et R23, les propriétés des matériaux constituant la structure étudiée ont été mesurées. En particulier la vitesse longitudinale cL a été mesurée par temps de vol et les pertes δc a été évaluée par un rapport d’amplitude. Les valeurs sont résumées dans le Tableau 1 qui suit :
Matériau Verre (1) Huile (2) Aluminium (3)
ρ (kg/m3) 2215 965 2700
cL (m/s) 5550 980 6375
δc (%) 0,06 0,16 0,05
Tableau 1: Propriétés des matériaux de la structure étudiée.
Au premier ordre (δc << 1), les coefficients de réflexion complexes Rpq = |Rpq|(1+jδR) [6] s’écrivent en fonction des pertes associées aux vitesses dans chacun des milieux d’incidence p et de réflexion q :
, ,
2 2
2 ( )
q p 1 p q c q c p
pq
q p q p
Z Z Z Z
R j
Z Z Z Z
δ δ
⎛ ⎞
− −
= + ⎜⎜⎝ + − ⎟⎟⎠ (7)
L’approximation d’un coefficient de réflexion Rpq
purement réel (δR << 1) n’est valide que pour certaines combinaisons de matériaux. Aussi la Figure 2 illustre la valeur relative de la composante imaginaire du coefficient de réflexion δR (%) calculée en fonction de propriétés acoustiques des matériaux p et q. En particulier, les points de coordonnées Z2/Z1 = 0,077 avec |δc,2 − δc,1| ≈ 0,1% et Z2/Z3 = 0,055 avec |δc,2 − δc,3| ≈ 0,1% correspondant respectivement aux coefficients de réflexion R21 et R23
indiquent δR < 0,02%.
Cela permet donc de valider l’hypothèse de coefficients de réflexion R21 et R23 purement réels.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0 0.5 1 1.5 2
Zq/Zp
|δ c,q-δ c,p| (%) 002% 0.02%
0.02% 0.02%
0.1%
0.1%
0.1%
0.1% 0.1%
0.2%
0.2%
0.2%
0.2%
0.5%
0.5%
0.5%
0.5%
1%
1%
1%
1.5%
1.5%
2%
Figure 2 : Composante imaginaire relative du coefficient de réflexion δR (%) en fonction de la différence entre les pertes
|δc,q−δc,p| (%) liées à l’atténuation et du rapport d’impédance acoustique Zq/Zp des matériaux p et q.
La vitesse de propagation cL(f) et l’atténuation ultrasonores αL(f) sont déduites de l’équation de transfert lorsque les effets de diffraction sont négligés. :
( 2 )
( ) 2 2
L ( )
c f f d
Arg T f π
= (8)
où
2 21 23
1 ( )
( ) ln
2 .
L
f T f
d R R
α = − ⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟
⎝ ⎠ (9)
2.2 Diffraction
En tenant compte de la diffraction, la fonction de transfert devient :
2 2 2 2
2 .
21 23
( ) L . L. . . ( )
j f d
c d
T fD =e+ π e− α R R D f (10) L’effet de la diffraction [4] est défini par :
2 1
( ) ( )
( )
r r
D f
D f = D f (11)
où D1r(f) et D2r(f) sont respectivement les corrections relatives aux spectres S1r(f) et S2r(f).
Lorsque le rapport a/λ >> 1 et deq/a > 1, la correction de diffraction est approximée par Lévêque et Rogers [7,8] :
( ) ( )
( )
( )
0 1
( ) 1 j f ( ) ( )
D fir = −e−θ J θ f +jJ θ f (12) où J0 et J1 sont les fonctions de Bessel ordinaires,
( ) 2 nf( )
eq
L f
f d
θ = π est la fonction angulaire,
et Lnf(f) = a2/λ = (a2/cL).f représente la distance limite du champ proche, avec a le rayon du transducteur et λ la longueur d’onde. Dans cette étude, la distance deq parcourue est un aller-retour sur un trajet dans un premier milieu en verre (1) d’épaisseur d1 et dans un deuxième milieu fluide (2) d’épaisseur d2. Selon Jeong et Treiber [9,10], la distance équivalente parcourue dans les milieux (1) et (2) s’écrit :
,2
1 2
,1
2 L 2
eq
L
d d c d r
= +c × (13)
où di, est la distance parcourue par les ondes dans les différents milieux avant d’atteindre le récepteur, cL,i la vitesse longitudinale dans le milieu d’indice (i) et r un entier égal à 1 ou 2 indiquant le nombre d’aller et retour effectué dans l’épaisseur du fluide d2.
L’expression de l’atténuation s’écrit aussi [7,9,10] :
( ) ( 21 23) ( )
2 1 2 3
( ) 1 ln ( ) ln . ln ( )
2
er ème ème
L
terme terme terme
f T f R R D f
α d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= − ⎜⎜⎝14243 14243 14243− + ⎟⎟⎠
(14) D’après l’expression (14), l’atténuation est affectée par les coefficients de réflexion aux interfaces R21 et R23 (2ème terme) et la diffraction D(f) (3ème terme). Reste à quantifier les importances relatives de ces termes par rapport à celui recherché (1er terme).
En considérant le cas de mesures dans l’huile 47V100 les influences du deuxième et du troisième terme données à la fréquence centrale f0 sont résumées dans le Tableau 2 :
Terme n 1 2 3
Valeur 189 22 −0,83
Terme n / Terme 1 (%) − 11,6 0,44 Tableau 2: Quantification et influence des deuxième et
troisième termes sur l'atténuation.
D’après le Tableau 2, le deuxième terme est considéré constant et est intégralement pris en compte, tandis que le troisième terme concernant la diffraction a un poids relatif de 0,44%. Par la suite, la correction de diffraction est systématiquement prise en compte.
3 Configuration expérimentale
3.1 Configuration
La vitesse et l’atténuation ultrasonores sont deux propriétés d’une importance considérable dans la théorie acoustique, afin de pouvoir caractériser ces deux paramètres dans les échantillons fluides, on a placé entre deux plaques l’une en verre et l’autre en aluminium les trois échantillons.
L’épaisseur de la plaque du verre a été choisie de façon qu’on puisse récupérer au moins un écho d’huile entre deux échos successifs d’aller et retour dans le verre.
À l’aide d’un joint étanche d’épaisseur 6 mm l’étanchéité du dispositif est assurée Figure 1. On a commencé par caractériser ces deux plaques dans les mêmes conditions de mesures. La vitesse de propagation dans les deux plaques est déterminée à l’aide d’un transducteur mono-élément de fréquence centrale 15 MHz et de diamètre 6,35 mm. Connaissant les propriétés acoustiques du verre milieu (1) et de l’aluminium milieu (3), un dispositif permettant de caractériser le milieu fluide (2) est mis en œuvre.
3.2 Temps de vol
Les ondes traversant les milieux (1), (2), puis (3) sont à la source de réflexions multiples. Les échos utiles et effectivement récupérés sont donc ceux qui traversent le verre et se réfléchissent sur l’interface verre-huile (interface 12) et ceux qui traversent le verre et le fluide et se réfléchissent sur l’interface huile-aluminium (interface 23).
La configuration donnée par la Figure 1 est utilisée pour évaluer vitesse (équation (8)) et atténuation (équation (9)) longitudinales dans le fluide [5,11]. Les vitesses cL(f) ont été déterminées auparavant pour les trois milieux (1), (2) et (3) (Tableau 1) et leur dispersion est faible (ΔcL/cL < 0,1 %).
Cette constatation permet de considérer les coefficients de réflexion R21 et R23 constants dans la gamme de fréquence de la bande passante du transducteur (Tableau 3).
Référence 47V20 47V100 47V1000
R21 0,859 0,857 0,855
R23 0,897 0,896 0,894
Tableau 3: Coefficients de réflexion pour les huiles testées.
3.3 Correction de diffraction
La correction de diffraction du faisceau D(f) (équation (11)) résulte du rapport entre les corrections de diffraction sur un aller-retour D1(d1r, f) et deux aller-retour D2(d2r, f) (équation (12)). Ce rapport de deux corrections a un effet minime sur les mesures de vitesse cL et d’atténuation αL, tel que l’illustre la Figure 3 pour l’huile de référence
"47V100".
(a)
10 12 14 16 18
976.6 976.7 976.8 976.9 977
f (MHz) c L (m.s-1)
cL,corrigée cL
(b)
10 12 14 16 18
50 100 150 200 250
f (MHz) α L (Np.m-1)
αL,corrigée αL
Figure 3 : Courbes avant (rouge continu) et après correction de la diffraction (vert pointillé) (a) vitesse longitudinale et
(b) atténuation dans l’huile silicone "47V100".
4 Mesure de vitesse et atténuation
4.1 Répétabilité et variabilité de mesures
Toutes les mesures ont été effectuées dans une gamme de fréquence comprise entre 9 et 18 MHz correspondant à la bande passante du transducteur de fréquence centrale 15 MHz, dans les mêmes conditions normales de température et de pression. Les trois huiles testées sont des huiles silicones de références "47V20", "47V100" et "47V1000"
dont l’indice de viscosité qui suit la lettre "V" indique la valeur de la viscosité en mPa.s. Les valeurs de viscosité indiquées sont caractéristiques d’un fluide dit newtonien.
En particulier, cela signifie que les fréquences utilisées pour la mesure viscosité se situent sur le plateau newtonien, tandis que les mesures ultrasonores se trouvent au-delà de la première fréquence de relaxation [12].
Les caractéristiques des trois huiles utilisées sont données par le fournisseur et résumées dans le Tableau 4 :
Référence 47V20 47V100 47V1000
ρ (kg/m3) à 25°C 950 965 970
η (Pa.s) à 25°C 0,02 0,10 1,00 Tableau 4: Propriétés des huiles testées.
La Figure 4 montre la variabilité sur dix mesures de la vitesse moyenne dans les trois fluides de caractéristiques différentes en fonction de la fréquence, les courbes étant obtenues à partir de l’équation (8). Les incertitudes sur les dix mesures effectuées sont représentées par des barres :
(a)
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 970
975 980 985 990
f (MHz) c L (m.s-1)
(b)
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 50
100 150 200 250
f (MHz) α L (Np.m-1)
Figure 4: (a) Vitesse longitudinale et (b) atténuation dans la bande de 9 à 18 MHz, pour les trois références d’huile
relevées 47V20 (tiret rouge), 47V100 (pointillé vert), 47V1000 (continu bleu).
Les erreurs de mesure semblent liées aux conditions expérimentales à l’instant de l’acquisition. Les sources de perturbation sont multiples : épaisseur de gel couplant, pression exercée sur le transducteur, qualité du contact, micro-bulles, variations de température…
La différence de pression et la quantité de couplant appliquées au transducteur sont souvent à l’origine de ces erreurs de mesure. Néanmoins, le pourcentage d’erreur est faible et permet de confirmer la reproductibilité de notre procédé expérimental. Les valeurs moyennes relevées dans la gamme de fréquence de 9 à 18 MHz sont résumées dans le tableau Tableau 5 suivant :
Référence 47V20 47V100 47V1000
ΔcL/cL(%) 0,024 0,130 0,062
ΔαL/αL 5,37 3,98 3,76
Tableau 5 : Erreurs relatives sur les vitesse et atténuation mesurées de 9 à 18 MHz.
4.2 Ajustement
D’après la Figure 4 (b) qui illustre l’atténuation en fonction de la fréquence des trois huiles, l’atténuation αL (f) peut être ajustée par des fonctions puissance [13,14] :
( ) 0 n
L f f
α =α (15)
où α0et n sont caractéristiques du milieu.
L’expression (15) est mise sous sa forme logarithmique afin d’effectuer un ajustement linéaire pour déterminer les deux coefficients caractéristiques de chaque huile :
( ) ( )0 ( )
log αL( )f =log α +nlog f (16) où n devient la pente de la courbe semi-logarithmique et log(α0) l’abscisse à l’origine. Les courbes expérimentales moyennes sont ajustées et présentées avec leurs fonctions caractéristiques sur la Figure 5 :
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 50
100 150 200 250
f (MHz) αL (Np.m-1 )
←αL= 0.70 f1.87
←αL= 2.00 f1.62
←αL = 2.31 f1.60
Figure 5 : Ajustement des courbes à l’aide des fonctions de type αL(f) = α0.fn Les courbes expérimentales sont présentées en bleu et leurs ajustements par des fonctions
puissance sont représentés pour les références "47V20"
(tiret rouge), "47V100" (pointillé vert) et "47V1000" (tiret- pointillé bleu).
Les résultats de caractérisation des trois huiles sont résumés dans le Tableau 6. D’après ce tableau, le paramètre α0 est croissant en fonction de la viscosité, tandis que le paramètre n est décroissant. Ces valeurs sont expérimentales et leur signification physique reste sujette à discussion [1]. Cependant, la cohérence donnée par les trois mesures justifie un rapport entre ces paramètres et l’atténuation ultrasonore du fluide.
Référence 47V20 47V100 47V1000
ρ (kg/m3) 950 965 970
η (Pa.s) 0,02 0,10 1,00 α0 (Np.m−1.MHz−n) 0,70 2,00 2,31
n 1,87 1,62 1,60
Tableau 6 : Paramètres α0 et n caractéristiques des huiles.
5 Conclusion
Une méthode de mesure de la vitesse et de l’atténuation a été développée en tenant compte de l’effet de diffraction dans le cas de trois fluides de viscosités différentes. Cette méthode a permis d’estimer quantitativement le lien entre la viscosité et l’absorption ultrasonore dans les fluides. En particulier, un rapport a été établi entre la viscosité et les paramètres d’ajustement de la fonction puissance de type αL(f) = α0.fn sur l’atténuation ultrasonore dans une même famille de fluides visqueux.
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