Atténuation d'ondes ultrasonores dans l'antimoniure d'indium dégénéré

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Atténuation d’ondes ultrasonores dans l’antimoniure d’indium dégénéré

J.Y. Prieur

To cite this version:

J.Y. Prieur. Atténuation d’ondes ultrasonores dans l’antimoniure d’indium dégénéré. Journal de

Physique, 1972, 33 (4), pp.397-400. �10.1051/jphys:01972003304039700�. �jpa-00207262�

ATTÉNUATION D’ONDES ULTRASONORES

DANS L’ANTIMONIURE D’INDIUM DÉGÉNÉRÉ

J. Y. PRIEUR

Laboratoire d’Ultrasons

(*),

Université Paris VI Tour

13, 11, quai Saint-Bernard,

^{Paris 5e}

(Reçu

^{le 18 octobre}

1971)

Résumé. ²⁰¹⁴ On rapporte ^une expérience ^{sur la} variation d’atténuation d’ondes ultrasonores longitudinales ^{de 9 GHz se} propageant suivant l’axe (111) d’un cristal d’antimoniure d’indium

dégénéré ^sous l’influence d’un champ magnétique ^{à la} température de 2 °K. Les oscillations de Haas et Van Alphen ^ont été observées. Les positions des minima d’atténuation correspondent ^aux posi-

tions théoriques.

Abstract. ²⁰¹⁴ We report ^an experiment ^on the variation of the attenuation of 9 GHz ultrasonic waves, propagating along (111) axis, ^{in a} degenerate Indium Antimonide crystal. ^This crystal ^was placed ^{at 2 °K in a} high magnetic ^field ranging ^{from 0 to 70 kG.} The Haas-Van Alphen oscillations

were observed. The minima of attenuation are at the theoretical positions.

Classification : Physics ^Abstracts

03.40, ^17.26

Ces dernières

années,

^un certain nombre

d’expé-

riences relatives aux effets

magnéto-acoustiques

^dans

l’antimoniure d’indium non

dégénéré

^ont été rappor- tées dans la littérature. Ces

expériences

peuvent ^être divisées en deux groupes : les observations indirectes et les observations directes. Parmi les méthodes indi- rectes, ^la

plus

courante est l’étude de la conductibilité

électrique

^où l’interaction

électron-phonon apparaît

sous la forme d’un accroissement de la résistance de l’échantillon

quand

la vitesse d’entraînement des électrons est

supérieure

à la vitesse du son

[1], [2], [3].

La méthode directe consiste à étudier l’atténuation

acoustique

^{en fonction d’un}

paramètre

^extérieur

comme le

champ électrique

^{ou le}

champ magnétique.

On peut ^{citer les}

expériences

de K. W. Nill et A. M. Mc Whorter

[4],

^{Kino et Route}

[5],

^{1. L. Dricko et al.}

[6],

E.

Voges [7],

W. D. Smith et al.

[8].

^Ces

expériences

examinaient à 77 OK l’influence d’un

champ magné- tique

transversal sur l’atténuation et

l’amplification

d’ondes

acoustiques

^{dans le domaine de 1 GHz.}

On décrit ici des

expériences qui

^{examinent l’effet}

d’un

champ magnétique

^sur l’atténuation d’ondes ultrasonores de

polarisation longitudinale

^{de 10 GHz}

se propageant

perpendiculairement

^{à la} direction du

champ magnétique

^{dans un cristal}

dégénéré

^{à 2 OK.}

C’est la

première expérience

^{de ce} type dans l’anti- moniure d’indium. Des

expériences analogues

^ont

été faites dans PbSe

[9]

^{à basse}

fréquence

^{et dans le}

Bi

[10]

à 9 GHz. Elles mettent en évidence des oscilla-

tions de type ^Haas-Van

Alphen

^de l’atténuation ultrasonore.

Dans une

première partie,

^on

rappelle

^brièvement

la théorie de l’atténuation ultrasonore dans un cristal semiconducteur

dégénéré ;

^{dans la deuxième}

partie,

on

explicitera

la méthode

expérimentale.

^{La troisième}

partie

^sera consacrée à

l’exposé

^{et la} discussion des résultats obtenus.

I. Théorie. ^- L’atténuation ultrasonore est ^un moyen d’étude du ^tenseur de conductivité haute

fréquence.

^{En effet si l’on ne considère} que l’interac- tion

électron-phonon,

^on peut ^{définir un}

champ électrique équivalent

^aux

ultrasons,

^le

champ

^acousto-

électrique,

^{car la} vitesse des électrons est

beaucoup plus grande

que celle des ultrasons et tout se passe

comme si ceux-ci étaient

statiques.

^{La variation}

d’amplitude

^{de ce}

champ

^{au cours du} temps ^est fonction de

l’énergie dissipée

par effet Joule et est

donc liée à la conductivité du matériau. De nombreux auteurs ont

développé

^ce

point

^{de vue. Une revue}

d’ensemble a été faite par

Spector [11].

^{Dans tous les}

cas où la conductivité est due à un seul type ^de porteur,

l’expression

de l’atténuation est donnée _{par :}

où co est la

fréquence d’excitation,

vs la vitesse du _son, (OR la

fréquence

de relaxation

diélectrique, Kp

^et

KD

les facteurs de

couplage piézo-électrique

^{et de}

potentiel

de déformation. Le rapport

K2p /K2D

^{est de} l’ordre de 10

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01972003304039700

398

à la

fréquence

de 9 GHz dans

InSb, u’ R

^et

u’,

^sont

les

parties

^{réelles et}

imaginaires

^{du tenseur de conduc-}

tivité effective à la

fréquence

d’excitation.

Toute la difficulté réside dans le calcul _{des compo-} santes du tenseur de conductivité à la

fréquence

^d’exci-

tation en

présence

^du

champ magnétique.

^A

priori plusieurs régimes peuvent

^{être atteints}

expérimenta- lement ;

^{toutefois le seul}

qui

^{donne lieu à un effet}

sensible avec des matériaux

dégénérés

^{est celui où}

ql

> 1 et wz

1 ;

^le

régime

cor > 1 ^est hors d’atteinte du domaine

expérimental. q représente

^{le vecteur}

d’onde des ultrasons et l le libre parcours moyen des électrons. La seule théorie

complète

^{dans ce cas est}

celle

développée

^{par Greene et al.}

[12].

^Elle suppose que le temps de relaxation des électrons est

indépen-

dant du

champ magnétique.

Les ultrasons sont consi- dérés comme

semi-classiques.

^Le

phénomène

^de

diffusion des

porteurs, qui

^{est très}

important

^avec

des ondes

longitudinales,

^est

pris

^en

compte.

^Dans

ces

conditions,

^il

apparaît

que le ^tenseur de conduc- tivité est

composé

^{de deux}

parties,

^une

partie

^à

variation monotone en fonction du

champ magnétique, qui

^{s’écrit de la même}

façon

que dans le cas semi-

classique [13]

^{et une}

partie

oscillatoire dont

l’origine

est la même que celle des oscillations de Haas et Van

Alphen

^{de la}

susceptibilité magnétique.

Les deux composantes ^{de la}

partie

^{monotone du}

tenseur de conductivité _{que l’on} notera

a’ R

^et

ul

^ont

pour

expression :

où x ⁼

qVF/wc

^{est le} rapport ^{entre la}

longueur

^de

l’orbite

cyclotron

^{et la}

longueur d’onde,

Wc ^est la

fréquence cyclotron, VF

la vitesse de

Fermi,

^{ce le} temps de relaxation des électrons.

Jo

^{est une} fonction de Bessel. En

plus

^des

hypothèses générales déjà mentionnées,

^{nous avons}

adapté

^les

expressions

^{au cas}

particulier

^{de nos}

expériences.

Ainsi nous nous sommes limités au cas des tran- sitions

intrabandes,

c’est-à-dire _que nous avons

supposé

^{hw «}

hwc.

^De

même,

^{nous avons}

négligé

l’effet d’entraînement des ultrasons _par les électrons.

Ceci est

légitime

^dans les semiconducteurs même

dégénérés,

parce que la concentration en électrons demeure faible _par rapport ^{à celle} des métaux. Dans notre domaine

expérimental,

nous avons

On peut ^donc

développer

go ^au

voisinage

^{de x = 0}

On en déduit le comportement ^de

6R

^et

or,

donc

Quand

^B augmente, ^{X diminue et donc a} croît. On peut

interpréter physiquement

^ce comportement.

En l’absence de

champ magnétique,

^comme

ql >

1, l’effet _{moyen du}

champ acousto-électrique

^{est nul.}

Par contre

quand

^on

applique

^un

champ magnétique perpendiculairement

^{au vecteur d’onde}

ultrasonore,

la

projection

^{de la}

trajectoire électronique

^{sur un}

plan perpendiculaire

^{à B est un cercle et la valeur}

effective du

champ acousto-électrique

^{croît d’autant}

plus

que l’électron reste dans une

région

^de

l’espace

où ce

champ

^est

plus

^uniforme.

La

partie

oscillatoire du tenseur de conductivité

a son

origine

^{dans la forme de la densité d’état en}

présence

^d’un

champ magnétique

élevé. C’est un

phénomène

purement

quantique.

^En

présence

^d’un

champ magnétique, l’énergie

^d’un électron s’écrit :

où kZ

^{et m}

représentent

^la composante ^{du vecteur} d’onde et la masse effective de l’électron suivant le

champ magnétique, g

^{le facteur de}

Landé, ,uB le magnétron

^{de Bohr et s le}

spin

de l’électron.

La densité d’état a la forme suivante

La somme est étendue

jusqu’à

^{la valeur de n} pour

laquelle

^la

quantité

^{sous le} radical devient

négative.

On sait par ailleurs que la conductivité dans un

cristal

dégénéré

^est

proportionnelle

à la densité d’état

au niveau de Fermi.

Quand

^on augmente ^le

champ magnétique,

il arrive un moment où

l’énergie

^d’un

des niveaux

cyclotrons

^devient

égal

^à

l’énergie

^de

Fermi. Il

disparaît

^{alors un terme de la}

sommation,

ce

qui

^{entraîne un saut} dans la densité d’état. A ce

saut, ^il

correspond

^une variation notable de l’atté- nuation.

Ce type ^de

phénomène

^{ne doit} pas être confondu

avec celui

déjà

^{mis en} évidence dans les métaux très purs. La diffusion _y a moins

d’importance

^mais par contre, ^un effet de résonance

[14]

peut

apparaître.

Cette

résonance,

dont l’existence est aussi

possible

dans les

semiconducteurs,

donne lieu à des « oscilla- tions

quantiques géantes » (GQO)

^de l’atténuation.

La distinction entre ces deux effets est bien mise en

évidence dans l’article de Liu et Toxen

[15].

^Les

«

GQO » (cas

^{A de}

LT)

supposent pour être

visibles,

que la

largeur

des niveaux

électroniques

soit inférieure à la

fréquence

^{des ultrasons}

(cor > 1).

^{Cette condition}

est irréalisable avec les semiconducteurs même avec

les

fréquences

ultrasonores dont on

dispose

^actuelle-

ment

(sauf peut-être

^{dans des matériaux très purs}

du type

PbSe).

^Par contre, pour les oscillations de

« Haas et Van

Alphen » (cas

^{C de}

LT),

^{la condition}

(rot> 1)

^n’est

plus

nécessaire car ce n’est

plus

^un

effet de résonance mais un effet de densité d’état.

C’est dans ce cas où nous nous trouvons. De

plus

l’existence des «

GQO »

^est

impossible lorsque

^le

vecteur d’onde est

orthogonal

^au

champ magnétique.

L’amplitude

^{des termes} oscillatoires _que l’on notera

u’ R

^et

ul,

^s’écrit

[12] :

EF et (

^{sont les}

énergies

^{de Fermi en l’absence et en}

présence

^du

champ magnétique.

La variation oscillatoire est due au sinus et au

cosinus

dans b1 et b2.

On doit noter que le niveau de Fermi

qui

^intervient

dans

l’argument

^{des sinus et cosinus est lui-même une}

fonction oscillante du

champ magnétique

^{et que nous}

avons

supposé (wi)2

^1.

II.

Technique expérimentale.

^- L’échantillon d’InSb ^a été

découpé

^sous la forme de

parallélépipède

de 6 ^x 6 x 3 mm’ à

partir

d’un monocristal de

« Monsanto Chemical

Company ».

^{Le nombre de}

porteurs n ^{et la}

mobilité 1À

^ont été mesurés par effet Hall à 77 oK

n ⁼

5,4

^x

1016/cm3

Il ⁼ 75 000

cm2/vs .

Les faces

planes

^et

polies optiquement

étaient les faces 6 x 6.

L’atténuation était mesurée à 2 OK par ^une

technique

d’écho. L’échantillon était collé avec du

plexol

^sur

un quartz de coupe X. La

fréquence

^{utilisée était de}

9 GHz ce

qui donne,

^{avec les valeurs mesurées des}

paramètres électriques, ql

⁼

8,5

^{et co-r =}

3,6

^x

10-2.

L’ensemble

cavité-quartz-cristal

était monté dans

un cryostat que l’on

pouvait

introduire dans ^une bobine

supraconductrice

^{délivrant un}

champ

^maximum

de 100 kG. Les ultrasons de

polarisation longitudinale

se

propageaient

suivant l’axe

(111) perpendiculairement

au

champ magnétique

^{B. Ils}

produisaient

par effet

piézo-électrique

^et par effet

potentiel

^de déformation

un

champ électrique équivalent longitudinal.

III. Discussion des résultats. ^- La courbe

repré-

sentative de la variation d’atténuation est tracée sur

la

figure

^{1. On} peut y voir la

superposition

^{des deux}

effets attendus : une

grande

^{variation monotone sur}

laquelle

^se superpose ^une variation oscillatoire. Sur la

figure

^{2 est}

représentée

^la composante oscillatoire de la différence de

potentiel longitudinale

^en

présence

d’un

champ magnétique

transverse

(cette

^courbe

s’arrête à 45

kG,

^{car nous} n’avons pas pu utiliser la même bobine

supraconductrice

que celle utilisée pour la ^mesure de l’atténuation

ultrasonore).

^Les

deux courbes

présentent

^{la même variation oscilla-}

toire. En les superposant ^{on verrait} que les minima d’atténuation

correspondent approximativement

^au

maxima de différence de

potentiel.

En effet la composante

longitudinale

^{du tenseur de}

résistivité _p en

présence

^d’un

champ magnétique

transversal est

FIG. 1. ^- Courbe représentative ^{de la variation} de l’atténuation ultrasonore en fonction d’un champ magnétique perpendiculaire

à la direction de propagation.

400

FIG. 2. ^- Courbe représentative de la variation de la différence de potentiel longitudinale ^en jonction ^d’un champ magnétique

transverse. La courbe s’arrête à 45 KG car nous n’avons _pas pu employer ^{la même bobine} supraconductrice pour la tracer

que celle utilisée _pour la mesure de l’atténuation.

QL et UT sont les composantes

longitudinale

^{et trans-}

versale du tenseur de conductivité : dans la limite des

champs

^élevés

(wc

T >

1)

^{on a} UT > 0" L et par

suite,

^la

partie

oscillatoire

de p

^{varie comme} O"L’

Par contre, ^a varie comme

1/0" L.

^Cela

^explique

^que

les maxima de la différence de

potentiel correspondent

aux minima de l’atténuation.

La

position approximative

^des minima d’atténua- tion est donnée par

l’équation :

En prenant n ⁼

5,4

^x

1016/cm3,

^{g = -}

^50,

m ⁼

0,012

mo, ^on trouve

Bo +

⁼

64 kG, Bl-

⁼

35,3 kG, Bl = 26,5 kG, B2-

⁼

19,8 kG, B2+

⁼

16,8

^kG.

La notation

Bo + indique

^{la valeur du}

champ magné- tique

pour

laquelle

le niveau de Landau d’indice

n ⁼ 0 et de

spin S

⁼

+ 1

^{se trouve au} niveau de Fermi.

La

position

^{de ces maxima est}

indiquée

par des flèches sur la

figure

^1. Les résultats les

plus précis,

^dans

la mesure où les variations lentes ont été correctement

compensées,

^{sont sans doute ceux} que l’on peut déduire de la résistivité. Il est naturel _que les

posi-

tions des extremum ne coïncident pas exactement,

car dans le cas de l’atténuation ultrasonore une

grande

^variation monotone est

superposée

^au

phéno-

mène oscillatoire. On doit

donc,

pour améliorer la

précision

^{des mesures}

ultrasonores,

essayer de _compen-

ser la variation monotone. De

plus

nous savons que le facteur de Landé est une fonction de l’indice

[16]

du niveau de Landau et du

champ magnétique,

^ce

que ^nous n’avons _pas

pris

^en considération. Enfin dans la

formule,

^{nous avons}

supposé

que le niveau de Fermi avait la même valeur

qu’en champ magné- tique

^nul.

La formule donnant la variation monotone de l’atténuation suppose que le

champ magnétique

^est

exactement

perpendiculaire

^{au vecteur d’onde ultra-}

sonore.

Expérimentalement

nous avons observé une

grosse influence sur l’atténuation de l’écart à l’ortho-

gonalité

^{de ces deux vecteurs. Un écart de 40 5} peut faire _passer le maximum à 50 kG de 12 dB à 42 dB.

Ce

phénomène complique

^la

comparaison

^{entre la}

théorie et

l’expérience.

^Il rend nécessaire une

légère

modification de la théorie _pour en tenir compte.

Nous pensons

qu’il

^{doit conduire à une mesure directe}

du

produit ql.

En

conclusion,

^nous voyons

qu’en

améliorant un

peu la théorie de la conductivité dans le domaine

quantique,

^les

renseignements

que l’on peut ^déduire des mesures ultrasonores ^sont au moins

équivalents

à ceux que l’on déduirait des mesures de

magnéto-

résistance transverse.

Remerciements. ^- Je remercie le Professeur Jof- frin et A. Levelut _pour les conseils

qu’ils

^m’ont

donnés ainsi _que tout le laboratoire d’Ultrasons _pour l’aide

qu’il

^m’a

apportée.

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