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Submitted on 1 Jan 1959
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Diffraction de la lumière par les ondes ultrasonores
R.R. Aggarwal
To cite this version:
R.R. Aggarwal. Diffraction de la lumière par les ondes ultrasonores. J. Phys. Radium, 1959, 20 (10),
pp.812-815. �10.1051/jphysrad:019590020010081200�. �jpa-00236145�
812.
DIFFRACTION DE LA LUMIÈRE PAR LES ONDES ULTRASONORES Par R. R. AGGARWAL, J. S. O.
Defence Science Organisation, Ministry of Defence, New Delhi.
Résumé.
2014Par une méthode d’approximations successives [1], on a poursuivi le calcul de l’inten-
sité des franges de diffraction, en supposant que la figure de diffraction ne contient qu’un nombre
limité de franges. Les résultats sont identiques à ceux que donnent d’autre méthodes plus pénibles.
Celle-ci a l’avantage de pouvoir être aisément généralisée, la précision s’accroissant par substitution
en retour. On voit que, lorsque l’angle d’incidence varie l’intensité d’une frange de diffraction
particulière atteint son maximum maximorum pour l’angle de réflexion de Bragg, et ses maxi-
mums secondaires pour les angles de Bragg correspondant aux autres ordres.
Abstract.
2014The procedure of obtaining closed intensity expressions for [1 ] the diffraction lines
on the assumption that the pattern exhibits only a limited number of diffraction lines has been
elucidated further by applying the method
of successive approximation. The identity of most
of the results obtained by others through laborious methods is established. The method has the
advantage that it can be generalised easily, the accuracy being increased by ’ back substitution’.
It is seen that as the angle of incidence is varied the intensity of a particular diffraction line attains
a principal maximum at the corresponding Bragg reflection angle and secondary maxima at the Bragg reflection angles corresponding to the other orders.
PHYSIQUE 20, 1959,
Introduction.
-Lucas et Biquard [2] ont pro-
posé une théorie d’optique géométrique pour la diffraction de la lumière par un milieu agité par des ondes ultrasonores. Cette théorie a été développée
récemment par Nomoto [3]. Brillouin [4] a consi-
déré le phénomène comme dû à la réflexion de la
lumière par des couches successives de liquide
d’indice convenable ; plus récemment [5], il l’a
considéré comme dû à la propagation de la lumière
à travers un milieu dont l’indice présente des varia-
tions périodiques. Cela donnait une équation
d’onde où l’indice était variable, qu’il transformait
en une équation du type étudié par Mathieu. Les solutions étaient alors données par Brillouin, Rytov [6] et, dernièrement, Mertens [7] sous la
forme de fonctions de Mathieu, tandis qu’Exter-
mann,et Wannier [8] utilisaient le déterminant de Hill ppur résoudre cette même équation.
Raman et Nath [9] considéraient le phénomène
de diffraction comme dû à la transmission à travers
un milieu stratifié, et exprimaient l’intensité à l’aide de fonctions de Bessel. Comme cette approxi-
mation élémentaire ne pouvait expliquer toutes les particularités du phénomène, ils développèrent
l’idée de l’équation d’onde de Brillouin et arri-
vèrent à une équation aux différences mêlées [10].
Nath, plus tard, résolut cette équation [11] et
obtint une solution sous forme d’un développement
en une série en général non convergente.
A côté de la théorie optique géométrique de
Lucas et Biquard, et de la théorie dynamique d’Extermann, certaines autres utilisent la même
équation fondamentale, et l’auteur [1] a pu, par conséquent, établir l’identité de différentes expres-
sions obtenues pour les intensités des franges de
diffraction par divers auteurs. Pour cela, il a résolu l’équation aux différences finies mentionnée précé- demment, en admettant que la figure de diffraction
ne comprenait qu’un nombre limité de franges.
Le calcul par approximations successives a été
poursuivi dans sa thèse [13].
Par une méthode analogue à celle de Nath [14],
l’auteur a obtenu les expressions exactes de l’inten-
sité quand la figure de diffraction ne comprend que les franges d’ordre- zéro et un, obtenues par ré- flexion. Ces résultats ont été depuis publiés par Pariseau [15]. La méthode d’approximations
successives a été étendue au calcul approché des
intensités des, franges du 3e ordre sous incidence
oblique, ainsi que de celles des franges de 1re, 2e et
3e ordre pour des angles d’incidence correspondant
aux réflexions de Bragg des mêmes ordres.
La méthode de substitution en retour (back substitution) indique les conditions pour lesquelles
les expressions approchées des intensités sont vala- bles. La très grande similitude entre ces résultats et ceux de Mertens [7] pour l’incidence rasante
a été également discutée.
Le présent article esquisse les résultats qui se
rattachent à la thèse de l’auteur, mais n’ont pas
encore été publiés. Les notations utilisées sont explicitées dans l’appendice 1.
2. Expressions très approchées de l’intensité.
-1 er Cas : franges de diffraction du premier ordre.
-En supposant que pour l’ordre zéro, la lumière tria-
verse la région des ondes ultrasonores sans aucune
perte d’intensité et que la figure de diffraction ne
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019590020010081200
813 montre aucune frange d’ordre supérieur à 1,
l’expression de l’intensité Il, pour les franges
du 1 er ordre est :
-
Cette même expression a, été obtenue par Bril-
louin [4], Rytov [6], Erwin David [16] et, récem- ment, Bathi,a et Noble [17]. Ceux-ci tirent leur résultat de l’intégrale de la théorie de la diffusion.
Connaissant l’intensité pour les franges du lerordre,
on peut corriger par récurrence celle de l’ordre zéro dans l’équation
et on obtient
Pour llincidence rasante, cette expression tend
vers celle de l’intensité exacte obtenue par
’ Nath [14] seulement si p est grand et § petit, condi-
tions de validité de l’expression (1). De même,
pour ce = 1/2, l’expression (1) se réduit à
L’expression approchée (1) de l’intensité est donc fausse pour > 2, puisque I+i ne peut dépasser 1.
Cas no 2 : Franges du second ordre.
-A partir
des expressions des intensités d’ordre zéro et 1, on
obtient pour le second ordre [1]
,identique à l’expression obtenue par Erwin David [16] et Noble et Bhatia [17]. Pour l’inci- dence rasante, il vient
-Le maximum pour I+2 est 4/9P4, petit seulement
si p est grand. L’expression approchée (1) n’est
donc valable que quant p est grand, sinon il faut la corriger par substitution en retour.
D’autre part, I+2 possède un maximum prin- cipal pour a = 1, et des maximums secondaires pour a = 1/2 et ce = 3/2. Pour ces valeurs de a,
l’expression (2) prend une forme indéterminée.
Extermann [12] avait rencontré la même difficulté
pour calculer le déterminant de Hill. Pour la sur- monter, il faut reprendre tout le calcul avec la valeur particulière de oc. Prenons, par exemple, le
cas où a =.1 : le système d’équations différen-
tielles devient :
Leur résolution donne
et
L’expression (4) donnant la première approxi-
mation de l’intensité n’est valable que si (5) est petit, ce qui n’est possible que pour p grand et § petit. Donc, les conditions de validité sont plus
restrictives quand oc = 1, ce qui est généralement
le cas, quant oc vaut un nombre quelconque de fois 1/2. On trouve, par un procédé analogue :
Les intensités maximums aux différents angles
satisfont aux conditions.
Cas no 3 : Franges du troisième ordre.
-En
appliquant la méthode adoptée dans le travail pré-
cédent de l’auteur [1], on obtient pour 03C83 l’équa-
tion supplémentaire :
et, en utilisant la valeur déjà obtenue pour 03C82 :
d’où :
à l’incidence rasante
dont la valeurs maximum est 121 /(8100 p6). Donc,
même pour p =1, la franges du 3e ordre a une
intensité négligeable. En recommençant les calculs donnés ci-dessus pour des valeurs de a multiples impairs de 1/2, on a :
L’expre’ssion (9) suggère l’existence d’un maxi-
mum maximorum pour oc = 3/2, et de maximums secondaires pour oc = 1/2 et oc =1. Pour avoir une
idée des grandeurs relatives des intensités pour
a = 0, a = 1/2, oc = 1 et oc = 3/2, considérons le
cas où p§ est grand par rapport à 1. Les valeurs
maximums sont approximativement :
Ainsi la frange du 3e ordre, absente pour l’inci- dence rasante, apparaît pour une incidence égale à l’angle de réflection de Bragg correspondant au
1er ordre, se renforce pour une incidence égale à l’angle de Bragg du 2e ordre et devient très intense pour l’angle de Bragg du 3e ordre.
3. Expressions de 1 intensité données par Bril-
louin et Mertens- Brillouin [5], pùis Mertens [7]
utilisant les fonctions de Mathieu, ont obtenu pour
expression de l’intensité une série en p 2, con- tenant, pour la nieme ordre des termes en p-2n, p- 2(+1) ..., , etc. Si on admet que les figures de
diffraction ne contiennent pas de franges d’ordre supérieur à 1, on peut négliger les termes avec des,
coefficients p-4, p 6 .... Leur expression pour l’in-
tensité du premier ordre I+1 à l’incidence rasante
devient :
.L’expression (1) devient alors
815 Ainsi la formule de Mertens coïncide avec la for-
mule approchée si 11/3p2 est négligeable par rap-
port à 1. De même, la formule de Mertens donnant
l’intensité pour le second ordre, devient, en négli- geant les termes en p-6, p-8 etc. :
qui se réduit à (3) si p est grand. On peut prouver de la même façon l’équivalence des expressions de l’intensité pour le 3e ordre. Les analyses de Mertens
montrent donc que,l’expression (1), pour l’intensité,
n’est pas rigoureusement valable en présence de franges de diffraction du second ordre. Il faut alors
tenir compte des termes de coefficient p 4 dans
.
les séries donnant les amplitudes du premier ordre.
Cette correction peut s’effectuer dans notre cas par la méthode de substitution en retour précédemment indiquée. On constate également que la formule obtenue pour l’intensité par la méthode d’appro- ximation, sans aucune correction par substitution,
est exacte quand les franges de diffraction d’ordre
supérieur sont négligeables.
APPENDICE 1 SYMBOLES ET ABRÉVIATIONS X, longueur d’ondé de la lumière dans le vide.
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