Équations différentielles du second ordre qui se ramènent au 1er ordre y

ANALYSE/DIFFERENTIELLES

Exercice

Équations différentielles du second ordre qui se ramènent au 1er ordre

y ^′′ = f ( x, y ^′ ) : Cas où il manque y

Les solutions de l’équation y^′′=f(x, y^′), sont obtenues

1) En posant y^′ =z, donc z^′ =f(x, z), ce qui est une équation du 1er ordre

2) En résolvant l’équation de 1er ordre z^′ =f(x, z)pour trouver toutes les solutions pour z 3) y=R

zdx donne toutes les solutions poury

Exemple

Énoncé

Trouver la solution de l’équationxy^′′+ 2y^′+x= 1, avec y(1) = 2et y^′(1) = 1

Réponse

• Posonsz =y^′, l’équation devient :xz^′+ 2z+x= 1

• C’est une équation linéaire du 1er ordre, sa résolution donne :z = _x^k₂ +¹₂ − ^x3, k ∈R

• Commez(1) = 1, nous obtenons k= ⁵₆ et doncz = 6x⁵2 + ¹₂ −^x3

• Commey^′ =z, nous obtenons y=R

zdx=R

(6x⁵2 + ¹2 − ^x3)dx=k− ^6x5 +^x2 − ^x62, k ∈R

• Commey(1) = 2, nous obtenons : k= ⁵₂, et ainsi : y= ⁵₂ −6x⁵ +^x₂ − ^x6²

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Exercice

Exercices :

Trouver toutes les solutions de :

y^′′+ (y^′)² = 0 (1)

(x²+ 1)y^′′+xy^′ = 0 (2)

2y^′′−(y^′)² + 4 = 0 (3)

y^′′+ 4

xy^′− 1

x³ = 0 (4)

xy^′′−y^′ = 3x² (5)

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Exercice

Réponses :

(1) y^′ = 1

x+k1

; y =ln|x+k1|+k2, k1, k2 ∈R (2) y^′ =k1

√ 1

x²+ 1; y=k1ln(x+√

x²+ 1) +k2 , k1, k2 ∈R

(3) y^′ = 21 +k1e^2x

1−k1e^2x = 2(1 + 2k1e^2x

1 +k1e^2x), y= 2(x−ln|1−k1e^2x|+k2), k1, k2∈R

(4) y^′ = 1

2x² + k1

x⁴; y=− 1

2x − k1

3x³ +k2 , k1, k2 ∈R (5) y^′ =k1(x+ 3x²); y =k1(x²

2 +x³) +k2 , k1, k2 ∈R

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