Etude des réseaux de diffraction (PC*)
Un réseau est constitué par la répétition périodique d’un motif diffractant, comme par exemple une fente.
Les interférences entre les rayons issus des nombreux motifs successifs privilégient alors précisément certaines directions dans lesquelles l’énergie lumineuse est envoyée.
Ce chapitre traite de la diffraction de la lumière par un réseau ainsi que de ses
applications.
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Vidéo : « Réseaux de diffraction »
A diffraction grating is an optical component with a periodic structure.
It splits and diffracts light into several beams travelling in different directions.
When there is a need to separate light of different wavelengths with high resolution, then a diffraction grating is most often the tool of choice.
A large number of parallel, closely spaced slits constitutes a diffraction grating.
The condition for maximum intensity is the same as that for the double slit or multiple slits.
The intensity maximum is very narrow (providing high resolution for spectroscopic applications).
The peak intensities are also much higher for the grating than for the double slit.
A beam of helium-neon laser is diffracted to each side in multiple orders.
Many orders are shown to each side of the direct beam, according to the grating relationship :
0
s in sin 0 m
a
θ − θ = λ
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Comparison of the spectra obtained from a diffraction grating by diffraction (1), and a prism by refraction (2).
Longer wavelengths (red) are diffracted more, but refracted less than shorter wavelengths
(violet).
The tracks of a compact disc act as a diffraction grating, producing a separation of the colors of white light.
The nominal track separation on a CD is 1.6 µm (about 625 tracks per millimeter).
For laser beam, this would give a first order diffraction maximum at about 22°.
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Comment fabriquer un réseau de diffraction ? Exemple d’un réseau par réflexion (appelé réseaux à échelettes) :
Lorsque les dimensions des miroirs deviennent de l'ordre de quelques longueurs d'onde, ceux-ci diffractent de la même façon qu'une fente, à ceci près que le maximum de diffraction se situe dans la direction du rayon réfléchi.
Sur un support en silice de 4 cm d'épaisseur, poli avec des défauts n'excédant pas λ / 20, on évapore une couche d'aluminium.
Un diamant taillé avec des angles bien définis va créer des sillons parallèles et
rigoureusement espacés.
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Le réseau est attaqué perpendiculairement aux grandes facettes.
Par suite de l'aller-retour dû à la réflexion, la différence des chemins optiques entre 2 pupilles consécutives vaut 2h.
Le maximum de la courbe de diffraction (dans la direction du réfléchi) se produit dans une direction où la différence de marche vaut ∆ = 2h = 2asin α et
non plus zéro comme dans le cas des réseaux à fentes.
I) Intérêt d’un réseau :
Spectre d’émission :
∆ E = h ν ( h = 6, 63 . 10 − 34 J . s (constante de Planck) )
L’étude des spectres d’émission permet de connaître la composition du gaz.
En astronomie, on peut ainsi connaître la composition des gaz de la couche externe des étoiles.
En raison de l’effet Doppler, les fréquences sont un peu décalées ; on peut en
déduire la vitesse avec laquelle l’étoile observée s’éloigne de la Terre.
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Spectre d’absorption :
Lorsqu’un faisceau de lumière blanche traverse un milieu « transparent », ce dernier absorbe sélectivement des radiations caractéristiques du milieu traversé.
L’étude du spectre d’absorption permet de connaître la composition du milieu
absorbant.
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II) Réseau par transmission :
Un réseau par transmission est constitué par un très grand nombre de fentes parallèles et équidistantes.
Il est souvent constitué par une lame de verre sur laquelle on a tracé un très grand nombre de traits parallèles et équidistants (de l’ordre de 500 traits par millimètre ! ).
La distance a entre deux fentes successives s’appelle le pas du réseau.
Soit une source ponctuelle, à l’infini, qui éclaire le réseau.
Chaque fente diffracte la lumière.
Les rayons issus des différentes fentes interfèrent entre eux.
On s’intéresse seulement aux interférences à l’infini.
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Ordres m = - 2, - 1, 0, + 1 et + 2 du spectre du mercure avec un réseau
peu dispersif à 80 traits / mm
III) Théorie élémentaire du réseau :
Soit une source S ponctuelle et monochromatique, à l’infini, qui envoie un faisceau de lumière parallèle arrivant sur le réseau sous l’angle d’incidence θ 0 . On cherche les directions θ pour lesquelles l’intensité des rayons qui interfèrent à l’infini est maximale.
Il y a interférences à l’infini entre tous les rayons diffractés selon la direction
θ .
L’amplitude diffractée par le réseau à l’infini résulte des interférences entre les rayons issus de tous les motifs éclairés : on parle d’interférences à N ondes
(Dans le cas des trous d’Young, il s’agit d’interférences à deux ondes).
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La différence de marche entre les deux rayons (1) et (2) est :
1 2 0 0
(SM) (SM) a sin a sin a(sin sin )
δ = − = θ − θ = θ − θ
θ
0Pour un angle d’incidence θ 0 donné, les angles θ correspondant à un maximum de lumière (les interférences entre les ondes issues de deux motifs successifs sont constructives) sont donnés par la relation : (« formule des réseaux »)
0
0 0 0
a(sin sin ) m soit sin sin m
a
θ − θ = λ θ − θ = λ
m est appelé l’ordre du spectre (c’est l’ordre d’interférences).
Pour un angle θ 0 donné, le nombre des valeurs de m est limité car :
− 1 ≤ sin θ ≤ 1
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Cas d’un réseau en réflexion :
a) Etablir la formule des réseaux pour un réseau en réflexion.
b) Commenter la direction de l’ordre 0.
a θ
0a
H
2H
1θ
Un exemple d’application :
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IV) Interprétation de la formule des réseaux :
1 – Cas d’une lumière monochromatique :
On suppose que la source ne délivre qu’une seule longueur d’onde et on
considère un réseau éclairé sous l’incidence θ 0 .
2 – Cas de la lumière blanche :
La solution dans la direction de l’optique géométrique :
θ = θ 0 pour m = 0
est valable indépendamment de la longueur d’onde.
Dans cette direction, on observera de la lumière blanche.
Animation JJ.Rousseau
θ
024
Exercice d’application ; recouvrement des ordres :
Un réseau comportant n 0 = 800 motifs par millimètre est éclairé par une lampe à vapeur atomique en incidence normale.
Les longueurs d’onde sont comprises entre λ min = 404, 7 nm (violet) et
min 579,1 nm
λ = (jaune).
Les spectres se recouvrent-ils et si oui, à partir de quel ordre ?
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On évalue les déviations des longueurs d’onde extrêmes dans les différents ordres grâce à la formule des réseaux. La pas est donné par
3
1 / n 0 1, 25.10 − mm
= =
l .
On en déduit :
m = 1 m = 2 m = 3 Violet 18,9° 40,4° 76,2°
Jaune 27,6° 67,9 /
(Le jaune n’existe pas dans les ordres supérieurs ou égaux à 3).
Les ordres ne se recouvrent donc pas.
V) Etude expérimentale : (Voir TP)
1) Minimum de déviation dans un ordre donné :
Pour un ordre m donné, la déviation du rayon incident est :
m m 0
D = θ − θ (Avec :
0
m 0
sin sin m
a θ − θ = λ
)
On cherche un extremum (que l’on supposera être un minimum) de D m lorsque
l’angle d’incidence θ 0 varie, pour un ordre m donné :
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θ 0 θ m = θ 0
D m = 2θ m
Le rayon diffracté est symétrique du rayon incident par rapport au réseau :
a D m
où d
D m
2 sin 2
'
2 min 0
min
θ = λ
=
(Rappel : pour le prisme)
+
=
sin 2 sin 2
A D A n
m
La courbe suivante a été tracée avec Regressi, avec un pas du réseau p = 1 / a = 300 traits / mm et une longueur d’onde dans le vide de 500 nm.
Cette courbe donne la déviation pour l’ordre 1 en fonction de l’angle d’incidence.
D (°)
(°) i (°)
-30 -15 0 15 30 45i
D (°)
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
θ
0θ
0D
30
2) Intensité lumineuse dans un ordre donné :
On ne prend pas en compte dans un 1 er temps la diffraction par les motifs du réseau.
On note 0
0
2 a (sin sin )
ϕ = π θ − θ
λ le déphasage entre deux rayons successifs.
θ
02 2
0 2 2
1 sin ( / 2)
( ) 2 tot sin ( / 2)
I k s I N
N ϕ ϕ
= = ϕ
Répartition de l’intensité pour des interférences à N = 5, 10 et 100 ondes
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Dans cette partie, on prend en compte la diffraction :
Cette fois, il faut tenir compte de la diffraction non isotrope de chacune des fentes ; on aura ainsi :
1 max
( ) ( ) i t sin b sin i t
s A e ω A c π θ e ω
θ θ
λ
= =
La suite du calcul est inchangée.
On obtient ainsi, en supposant ici θ 0 = 0 :
2 2
0 2 2
sin sin ( sin / )
( ) sin
sin ( sin / )
b N a
I I c
N a
π θ π θ λ
ϕ λ π θ λ
=
b étant plus petit que a, on voit que la « fonction diffraction » (le sinc 2 ) varie
« moins vite » que la fonction « réseau » (
2
2 2
sin ( sin / ) sin ( sin / )
N a
N a
π θ λ
π θ λ ) : c’est donc la
1 ère qui enveloppe la seconde.
With :
1
i
k k
s + = s e − ϕ
The total amplitude is : (geometrical progression with e − i ϕ as common ratio)
1
1 1
0
1 1
N iN
ik
tot i
k
s s e s e
e
ϕ ϕ
ϕ
− −
−
−
=
= = −
∑ − So :
/2 /2 / 2 /2
1 /2 /2 /2 1 /2
sin( / 2) sin( / 2)
iN iN iN iN
tot i i i i
e e e e N
s s s
e e e e
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
− − −
− − −
= − =
−
The intensity is therefore : (normal incidence, θ 0 = 0)
2 2
0 2 2
sin sin ( sin / ) ( ) sin
sin ( sin / )
b N a
I I c
N a
π θ π θ λ
θ λ π θ λ
=
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File Regressi
Animations JJR : Animations JJR/Optique ondulatoire/Diffraction/Réseau plan (principe) Animations JJR/Optique ondulatoire/Interférences/Interférences à N sources
Animations JJR/Optique ondulatoire/Interférences/Interférences à N sources (Fresnel)
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Animations JJR/Optique ondulatoire/Diffraction/Réseau plan (principe)
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Animations JJR/Optique ondulatoire/Diffraction/Réseau plan (principe)
Animations JJR/Optique ondulatoire/Interférences/Interférences à N sources
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Animations JJR/Optique ondulatoire/Interférences/Interférences à N sources (Fresnel)
3) Pouvoir dispersif d’un réseau :
On rappelle le déphasage entre deux rayons passant par deux traits consécutifs du réseau :
0 0
2 a (sin sin ) ϕ = π θ − θ
λ
Soient L la longueur du réseau éclairé, a le pas du réseau et N le nombre de traits éclairés :
L = Na
On a montré au paragraphe précédent qu’un maximum principal a une demi- largeur angulaire (prise à mi-hauteur du pic d’intensité) égale à :
N
ϕ = 2 π
∆
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L’analyse spectrale de la lumière sera convenable si le réseau sépare correctement la lumière dans un ordre donné et si deux ordres différents ne se recouvrent pas.
On considère deux radiations lumineuses de longueurs d’onde voisines λ 0 et λ 0 + ∆λ (lampe à vapeur de sodium, par exemple).
On souhaite, dans un ordre donné m, résoudre ces deux raies séparées de ∆λ.
Réseau
Collimateur
Lampe
Hg L CV
Angle de
déviation D Lunette
autocollimatrice à l’infini
Oculaire
L CV F
Prisme
Plateau
Réseau
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On voit sur l’écran ou à travers la lunette auto-collimatrice :
I
λ
θ = ∆
∆ a
m
m
) (sin
sin θ
m
Na )
0(sin λ
θ =
∆
0
0
λ
λ + ∆ λ
0La résolution théorique du réseau est :
a mN m L =
∆ =
=
ℜ λ
λ 0
Par exemple, dans le cas du sodium :
000 1
982
; 6
, 0
;
0 = 589 nm ∆ λ = nm ℜ = ≈
λ
A l’ordre 1, on peut choisir N = 1 000. A l’ordre 2, N = 500.
Dispersion angulaire du réseau :
On montre que la dispersion angulaire du réseau vaut :
m m
ang a
m d
d
θ λ
θ
0 cos
=
= ℑ
La dispersion est d’autant plus élevée que l’ordre est grand et le pas du réseau
petit.
46
Exercice d’application :
48
VI) Etude d’un réseau à échelettes :
Diffraction grating with a triangular profile (technique is called blazing)
Animation JJR : Animations JJR/Optique ondulatoire/Diffraction/Réseau blazé
It is possible to concentrate most of the diffracted energy in a particular
order for a given wavelength.
This is a dispersif order.
L’animation proposée permet de tracer les deux graphes des fonctions de diffraction (en rouge) et d’interférences (en bleu).
On peut faire varier le pas a du réseau ainsi que l’angle d’une facette α.
Quel est l’intérêt de ce réseau comparé à un réseau par transmission constitué de
N fentes équidistantes ?
50
