5 : Régime transitoire du 1er ordre

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MPSI2, Louis le Grand

Devoir en temps limité

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5 : Régime transitoire du 1er ordre

vendredi 20 décembre

Problème 1 : Simulation de résistance

Un condensateur de capacitéCpeut être mis en contact avec deux générateurs linéaires de force électromotriceEi

(i= 1. .2) et de même résistance internerpar l’intermédiaire d’un commutateurK.

Les forces électromotrices vérifientE1> E2. On pose τ=rC.

E

₁

E

₂

u 1 K 2

r r

I Charges initiales des condensateurs

Le condensateur est initialement déchargé et l’interrupteur est basculé en position2à l’instantt= 0.

I.1. Déterminer l’expression de la tensionu(t)pourt >0.

I.2. Au bout d’un tempsT0, l’interrupteur est basculé en position1. Déterminer l’expression ultérieure de u(t).

I.3. Tracer l’allure deu(t)entret= 0ett=∞quandT0= 2rC. On y fera figurer les constantes de temps pertinentes.

I.4. Déterminer les énergies fournies par chacun des générateurs, ainsi que l’énergie dissipée par effet Joule dans les résistors pourtvariant entret= 0ett=∞.

II Régime périodique

Le commutateur bascule désormais périodiquement d’une position à l’autre suivant la loi suivante pour n∈Z: Ken position 1 pour nT < t6(n+¹₂)T

Ken position 2 pour (n+¹₂)T < t6(n+ 1)T

On suppose qu’un régime périodique (non sinusoïdal) a eu le temps de s’établir :toutes les grandeurs électrocinétiques sont périodiques de périodeT. On choisit comme origine des temps la commutation correspondant àn= 0.

II.1. On poseu(0) =U0etu(T/2) =U₀⁰.

(a) Tracer très schématiquement l’allure générale deu(t)sur une périodeT. (b) Établir les expressions deu(t)pourt∈]0 ;T]à l’aide deU0etU₀⁰.

II.2. (a) Exprimer, en régime périodique,U0etU₀⁰ en fonction deE1,E2et de la constantea=T/(2τ) dont on précisera la dimension.

(b) En déduire l’expression de la chargeQ0qui transite du générateur de force électromotriceE1vers celui de f.é.mE2pendant une périodeT.

(c) Calculer l’intensité moyenneI0sur une période correspondant à ce transfert de charge.

II.3.

(a) Quelle serait la résistanceR_eq qui serait traversée par le même courant moyen ? On donnera son expression en fonction dereta.

(b) Déterminer un équivalent deReq pourT τet interpréter le résultat obtenu.On se placera dans ce régime dans toute la suite.

(c) Déterminer la valeur limite lim

TτR_eqet justifier cette valeur en décrivant le fonctionnement dans ce ré- gime.

E

₁

E

₂

I

₀

R

_eq

II.4. La commutation se fait avec une fréquencefégale à 20 kHz.

(a) Quelles valeurs des paramètres peut-on choisir pour réaliser une résistance de 1 kΩ ? (b) Quelle condition doit vérifier la valeur der?

(c) Que se passe-t-il si on change les valeurs deE1ouE2?

III Défauts du dispositif

On considère désormais que le condensateur possède une résistance de fuiteRfbranchée en parallèle.

III.1. (a) Établir les nouvelles équations différentielles vérifiées paru(t)quand le commutateur est en po- sition1ou2.

(b) En déduire la nouvelle constante de temps qui caractérise le système ainsi que la nouvelle valeur de la résistance simulée.

III.2. Quelle condition doit vérifierRfpour qu’on soit dans le régime de la questionII.3b?

IV Et avec une bobine ?

On remplace le condensateur par une bobine. Déterminer le comportement du dispositif. A-t-on toujours une simulation de résistance ?

Julien Cubizolles, sous licencehttp ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/. 1/4 2019–2020

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Correction du problème 1

I Charge initiale des condensateurs

I.1. La continuité de la tension aux bornes du condensateur assure queu(t= 0) = 0. La loi des mailles dans le circuit 2 s’écrit :

u+rCdu

dt =E2→du dt+ u

RC = E2

RC.

On identifieτ=rCetE2=u∞. L’unique solution vérifiant la condition initialeu0= 0est : u=E2

1−e^−t/τ .

En particulier, son expression ent=T0est : u=E2

1−e^−T⁰^/τ . I.2. Pourt > T0, l’équation différentielle devient, en

écrivant la loi des mailles dans le circuit 1 : du

dt + u RC = E1

RC.

La continuité de la tension aux bornes du condensateur assure que àt=T0,u=E2(1−e^−T⁰^/τ).

L’unique solution vérifiant cette condition initiale est donc :

u=E1+ h

E2

1−e^−T⁰^/τ

−E1

i

e^−(t−T⁰^)/τ. I.3. L’évolution deu(t)est représentée sur la figure ci-

contre.

τ T

₀

T

₀

+ τ 0

E

₁

E

₂

t

u

I.4. On peut tout d’abord calculer la variation d’énergie électrostatique du condensateurE_eà l’issue de la charge complète. On a :

∆Ee= Cuc

2 t=∞

t=0

=CE₁² 2 .

Sur chacun des intervalles de temps, la puissance fournie par les générateurs s’écritE1,2i1,2, aveci= Cdu

dt. L’énergie que chacun fournit est donc :

E_E₂=

T0

Z

t=0

E2Cdu

dt =CE2(u(T0)−u(0)) =CE2u(T0) =CE₂²

1−e^−T⁰^/τ

EE₁=

∞

Z

t=T₀

E1Cdu

dt =CE1(u(∞)−u(T0)) =CE1(E1−u(T0)).

Avecu(T0) =E2(1−e^−T⁰^/τ), l’énergie totale fournie par les générateurs est : E_E,tot=C

E₁²−E2(E1−E2)

1−e^−T/τ

L’énergie dissipée par effet Joule, notéeE_Jest alors, comme établi en cours, la différence :

E_E,tot−∆Ee=C E₁²

2 −E2(E1−E2)

1−e^−T⁰^/τ

.

II Régime périodique

II.1. (a) Pour avoir un régime périodique, la tensionu doit croître puis décroître sur chaque demi- période. On en déduit l’allure ci-contre (tracée poura=1,5).

(b) Les résultats de la section précédente donnent immédiatement :

t∈[0, T/2] :u(t) =E1+ (U0−E1)e^−t/T t∈[T/2, T] :u(t) =E2+ (U₀⁰−E2)e^{−(t−T/2)/τ}

=E2+ (U₀⁰−E2)e^−t/τe^−a

0 0 T/2 T E

₁

E

₂

U

₀

U

₀⁰

t

u

II.2. (a) La continuité de la charge du condensateur assure : (t∈]0;T/2] :u(t) =E1+ (U0−E1)e^−t/τ

t∈]T/2;T] :u(t) =E2+ U₀⁰−E2

e^{−(t−T/2)/τ}=E2+ U₀⁰−E2

e^−t/τe^a.

La périodicité supposée du régime assure queu(T) = u(0) = U0, les deux tensions vérifient donc :

(u(T/2) =U₀⁰ =E1+ (U0−E1)e^−a u(T) =U0 =E2+ U₀⁰−E2

e^−a..

On effectue la somme et la différence de ces deux équations : U0+U₀⁰

1−e^−a

= (E1+E2) 1−e^−a

U₀⁰−U0

1 +e^−a

= (E1−E2) 1−e^−a U0+U₀⁰ =E1+E2 U₀⁰−U0= (E1−E2)1−e^−a

1 +e^−a U₀⁰ =E1+E2e^−a

1 +e^−a U0=E2+E1e^−a

1 +e^−a (1)

< E1 > E2.

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vendredi 20 décembre (b) De0àT/2, la charge du condensateur varie de∆Q = Q0 = CU₀⁰ −CU0 > 0. Pendant la

deuxième demi-période, elle varie de−Q₀. Au bout d’une période, il est revenu à sa charge initiale et la chargeQ0a transité du générateurE1vers le générateurE2.

(c) À ce transfert de charge correspond une intensité moyenne :

I0=Q0

T =C U₀⁰−U0

T =C(E1−E2) T

1−e^−a 1 +e^−a >0

=E1−E2

2ra tanha 2. II.3. (a) On en déduit immédiatement :

Req= E1−E2

I0

= 2racotha 2.

(b) PourT τ, on aa1et donc tanh ^a₂ '1:Req= 2ra=T/C. Le condensateur a le temps de se charger complètement (àE1) et de se décharger complètement (àE2), la charge transférée est donc :

Q0=C(E1−E2),transférée en T soitI0=CE1−E2

T .

Cette intensité étant inversement proportionnelle àT, la résistance est, elle, proportionnelle àT. (c) PourT τ, on aa1. Comme alors tanha'a, on obtientReq'4r. En effet, la tension aux

bornes du condensateur est pratiquement stationnaire dans ce régime puisqu’il n’a quasiment pas le temps de se charger ou de se décharger. On a de plusU0'U₀⁰'(E1+E2)/2. Les courants de charge et de décharge sont également pratiquement stationnaires, égaux à leur valeur initiale de charge ou déchargeic= (U₀⁰−E2)/r=id= (E1−U0)/r= (E2−E1)/(2r). On a donc :

Q0=icT/2 =idT/2 =I0T →I0=ic/2 =E1−E2

4r →Req= 4r.

II.4. (a) Dans le régime choisi, on aReq =T/C = 1/(f C). Pour avoirReq =1 kΩ, il suffit de choisir : C=50 nF.

(b) On doit rester dans le régime oùT τ, soitrR.

(c) Les valeurs deE1etE2n’influent pas sur le fonctionnement du système. Le dispositif de capacité commutée, un tripôle formé de la capacité et du commutateur trois voies est d’ailleurs vendu comme tel et s’adapte dans n’importe quel circuit pour réaliser une résistance variable entre deux dipôles quelconques, pas nécessairement des générateurs de tension. Il suffit de régler la fréquence de commutation par une horloge électronique pour changer la valeur de la résistance.

III Défauts du dispositif

III.1. (a) Considérons le cas où le commutateur est en position1. Des transformations Thévenin-Norton et associations de résistors aboutissent à un générateur de Thévenin de force électromotrice E1Rf/(Rf +r)et de résistance interneRfr/(Rf +r). Le problème est donc formellement analogue au cas sansRf mais en remplaçantrparrf = Rfr/(Rf +r)etEiparDif = EiRf/(Rf+r).

(b) La nouvelle constante de temps est doncrfC, on noteaf = T/(2rfC). On détermine comme précédemment le courant moyen notésI0f et la résistance équivalenteR_eqf = (E1−E2)/I0f

égaux à :

I0f =C(E1f−E2f)

T tanh(af/2) =C(E1−E2) T

Rf

Rf+rtanh(af/2)

→Reqf = T C

Rf

Rf+r

coth(af/2).

III.2. On sera dans le régimeaf 1pourT rfC. Commerf =r/(1 +Rf/r)< r, la prise en compte de la résistanceRfne fait pas sortir du régime de la questionII.3b. En revanche, dans ce régime, la valeur de la résistance simulée est inférieure du fait deRf. On a en effet :

R_eqf=R_eq Rf

R_f+r.

IV Et avec une bobine ?

La grandeur continue est cette fois-ci l’intensité du courantiLtraversant la bobine, la constante de temps estL/ret les valeurs asymptotiques, qu’on obtient en remplaçant la bobine par un interrupteur ouvert, sont E1/retE2/r. La courbe d’évolution deiLest donc celle représentée ci-contre.

On peut alors calculer le courant moyen circulant d’un générateur à l’autre. Notons pour celair le courant circulant dans l’un des résistorsr(deE1versE2) et uLla tension aux bornes de la bobine.

• Pourt∈[0 ;T/2], la loi des mailles s’écritE1 = rir(t) +uL(t),

• Pourt ∈ [0 ;T/2], elle s’écritE2 = −rir(t) + uL(t),

0 T/2 T

0 E

₁

/r

E

₂

/r I

0

I

⁰₀

t

i

On calcule la valeur moyenne deirselon :

I0= 1 T

t=T

Z

t=0

ir(t)dt=E1

2r −E2

2r + 1 rT





−

t=T/2

Z

t=0

uL(t)dt+

t=T

Z

t=T/2

uL(t)dt







Or :

t=T/2

Z

t=0

uL(t)dt=L

t=T

Z

t=0

diL(t)

dt dt=L(iL(T/2)−LiL(0)) et, de même:

t=T

Z

t=T/2

uL(t)dt=L(iL(T)−iL(T/2)).

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Devoir en temps limité

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5 : Régime transitoire du 1er ordre

vendredi 20 décembre En adaptant les expressions de l’équation 1 (il suffit d’y remplacerEiparEi/ret de prendreτL =L/r

puisτL=T/(2τL)). On obtient alors, après calculs ; I0=E1−E2

2r

1 + 2aL

2

→R_eq= 2r 1 + 2tanh^a₂^L Les deux cas limites sont désormais :

• pouraL1ieT r/(2L)1, on a tanh(aL/2)'1et doncReq'2r/3.

• pouraL1, on a tanh(aL/2)1etR_eq'2r.

Contrairement au cas du condensateur commuté, on a ici une résistance équivalente qui ne dépend pratiquement pas des caractéristiques de la bobine ou de la fréquence de commutation mais surtout des résistances internes des sources. Le dispositif n’est pas utilisable comme résistance variable.