ordre en régime transitoire

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Circuits linéaires du 1 ^er ordre en régime transitoire

Définition : Régimes établis On définit les régimesétablis:

stationnaire dans lequel les grandeurs électrocinétiques (u , i , q) sont station- naires,

sinusoïdal établi dans lequel elles varient toutes sinusoïdalement à la même pulsation ω:u(t) =Umcosωt.

Définition : Régimes transitoire et libre

On nommerégime transitoirel’évolution d’un système entre deux régimes éta- blis. Pour un dipôle, Il s’agit d’unecharge(resp.décharge) si l’énergie (électro- statique ou magnétique) du dipôle croît (resp. décroît).

On nommerégime librel’évolution en l’absence de source d’énergie.

Définition : Ordre d’un circuit

Un circuit linéaire est ditdu p^eordresi ses grandeurs électrocinétiques obéissent à une équation différentielle linéaire du p^eordre.

Fonction échelon

Définition : Fonction échelon

On nommeéchelon(fonction de Heaviside) la fonctiondiscontinue en0définie par :

t <0 :H(t) = 0 t>0 :H(t) = 1

On appelleréponse à un échelon d’une grandeurl’évolution temporelle de cette grandeur dans un système soumis à une excitation constante par morceaux et discontinue. La grandeur étudiée est alors solution d’une équation différentielle dont le second membre s’exprime à l’aide de la fonction échelon.

Exemple charge d’un condensateur initialement déchargé K

E

R u_R C i

u_C u

1 2

Portraits de phase

Définition : Portraits de phase

On nommeespace des phasesd’une grandeurxqui évolue temporellement le plan d’abscissexet d’ordonnéex.˙

Une courbex(t),x˙ particulière est unetrajectoire dans l’espace des phases.

La représentation de différentes trajectoires constitue unportrait de phase.

Propriétés générales

Caractéristiques

• le sens de parcours est déterminé dans chaque quadrant : la trajectoire est parcourue dans le sens horaire

• elle intersecte l’axex˙ = 0orthogonalement (si la dérivée seconde d²x dt² est non nulle à cet instant)

Équation canonique

Julien Cubizolles, sous licencehttp ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/. 1/4 2019–2020

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Circuits linéaires du 1

ordre en régime transitoire

Équation canonique

Toutes les grandeurs électrocinétiques d’un circuit linéaire du premier ordre obéissent, en régime transitoire vers un état stationnaire, à la même équation ditecanonique. On a :

˙ x+x

τ = X_∞ τ , où :

• xest une tension, intensité, charge…

• τ >0est laconstante de temps du circuit,

• X∞est la valeur asymptotique dexen régime stationnaire, déterminéeen utilisant les modèles asymptotiques des dipôles en régime stationnaire.

• pour une charge de condensateur :u_c∞=E, pour une déchargeu_c∞= 0.

Résolution

Théorème : Solution de l’équation différentielle canonique

L’uniquesolution de l’équation canonique du premier ordrevérifiantx(0) =X0

se met sous la forme :

x(t) =X∞+ (X0−X∞)e^−t/τ.

Courbe

X₀ X∞

0 τ

63%

100%

t

x

1. Tracer l’allure de la courbeuc(t)si le condensateur a une capacitéC=1 µF, porte initialement la chargeQ = 5·10⁻⁶C, et qu’on l’alimente avec une alimentation stabilisée avecE=−2 V, au travers d’une résistanceR=1 kΩ.

2. En déduire la valeur de du_c

dt àt= 0.

Conditions initiales

Continuité de l’énergie

Les conditions initiales de l’équation différentielle sont déterminées par laconti- nuité de l’énergie emmagasinéepar le dipôle. Dans uncondensateur, la chargeq et la tensionuCseront toujours continues.

Exercice : Charge et décharge d’un condensateur

Julien Cubizolles, sous licencehttp ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/. 2/4 2019–2020

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ordre en régime transitoire

1. Déterminer, en utilisant les modèles asympto- tiques des dipôles en régime stationnaire, les valeurs dei,uR,uC et deq quand l’interrup- teur est en position1et quand il est en position 2depuis longtemps.

K

E

R u_R C i

u_C u

1 2

2. (a) Kest en position2depuis un temps long. Il est basculé en1àt= 0. Déter- mineruC(t), qeti(t).

(b) Kest en position1depuis un temps long. Il est basculé en2àt= 0. Déter- mineruC(t)eti(t).

3. On rajoute un résistor de résistanceR⁰en parallèle du condensateur. Déterminer la nouvelle constante de temps du circuit et la nouvelle valeur maximale deu_C. 4. Préciser, parmi les grandeursi , u_C, q , u, lesquelles sont continues.

Courbes générales : charge

X0

X^∞

0 τ

63%

100%

t

chargeqou tensionu_C

0 τ

0(q∞−q0)/τ

63%

100%

t intensitéi

Courbes générales : décharge

X∞

X0

0 τ

63%

100%

t

chargeqou tensionu_C

0 τ

0(q∞−q0)/τ 63%

100%

t intensitéi

Décharge

Dissipation de l’énergie

Lors de la décharge d’un dipôle RC série, l’énergie électrostatique initialement stockée estentièrement dissipéepar effet Joule dans le résistor.

Charge

Accumulation d’énergie

Lors de lacharge, sous la tensionEconstante, d’un dipôle série RC deuC = 0 àuC =E, le générateur fournit une énergieE_genau dipôle qui se répartit pour moitié entre :

• l’énergie électrostatiqueE_élec=^CE₂², emmagasinée dans le condensateur,

• l’énergie dissipée par effet Joule dans le résistorE_J.

E_gen=E_élec+E_J E_J=E_élec=E_gen/2.

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ordre en régime transitoire

Points communs et différences entre leRLet leRC

1. Proposer un montage permettant d’étudier la « charge » et la « décharge » d’un dipôleRL, utilisant entre autres un générateur idéal de tension.

2. Établir l’équation différentielle d’évolution de l’intensité. En déduire l’expression de la constante de temps. Comparer sa variation avecRau cas du dipôleRC.

3. Préciser quelle grandeur doit être continue et résoudre l’équation différentielle pour la charget et la décharge.

4. Tracer les allures des courbes correspondantes.

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