E3. Réseaux linéaires du premier et du second ordre en régime transitoire.
L’étude des réseaux linéaires du premier et second ordre en régime transitoire est proposée dans ce livre.
Un composant est linéaire lorsque la tension appliquée entre ses bornes et l’intensité qui le traverse sont liées par une relation affine ou par une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
Un circuit est à l’instant initial de son étude dans un certain état qui va déterminer ses états ultérieurs qui forment son mode de fonctionnement ou régime.
Pour de nombreux circuits, après une durée suffisamment longue qui reste à préciser, il n’y a plus d’évolution des grandeurs physiques qui le caractérisent, on dit alors que le circuit est en régime établi ou permanent.
Le régime transitoire d’un réseau est l’étude de l’évolution temporelle d’une ou plusieurs grandeurs électrocinétiques entre l’état initial et l’établissement du régime permanent.
Dans ce chapitre, deux cas sont plus particulièrement étudiés :
● Le régime libre ou régime propre où le circuit ne comporte aucun générateur mais un condensateur
est chargé à la date initiale et le cas, plus rare, où une bobine est parcourue par un courant au début de l’étude.
● La réponse à un échelon de tension, situation qui correspond en pratique à la mise en service
d’une source de tension par la fermeture d’un interrupteur.
D’autres montages, plus élaborés, sont aussi abordés.
Pour aller plus loin !
Par avance, merci à tous les utilisateurs de ce document qui voudront bien faire part de leurs remarques, suggestions, avis, et signaler toutes omissions ou coquilles en laissant un message à
kholor@free.fr.Sur les 40 exercices proposés dans ce chapitre, vous trouverez pour 10 d’entre eux un corrigé
détaillé et soigné. Ils sont repérables dans le sommaire par la présence d’un signe *.Si vous le désirez, pour une somme très modique, vous pourrez acquérir la totalité des corrigés en suivant le lien sécurisé suivant https://payhip.com/kholor. Le fichier est imprimable.
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Merci de votre soutien.
Bonne lecture.
Hubert de Haan
Professeur agrégé de physique
Sommaire
E3.A. Conditions initiales. Régime permanent. ... 4
E3.A1. Prévision de valeurs. ... 4
E3.A2. Circuit du premier ordre. Valeurs aux limites. * ... 5
E3.A3. Conditions initiales. ... 7
E3.A4. Montage avec deux bobines. ... 8
E3.B. Circuits RC du premier ordre. ... 9
E3.B1. Circuit RC soumis à une tension carrée *. ... 9
E3.B2. Circuit RC avec résistance de fuite. Comparaison *. ... 15
E3.B3. Atténuation d’une chute de tension. ... 18
E3.B4. Réponse à une tension en dent de scie... 19
E3.B5. Circuit RC avec deux sources de tension. ... 20
E3.B6. Circuit RC. Condensateurs en série *. ... 21
E3.B7. Circuit RC. Condensateurs en série, en parallèle. Aspect énergétique. ... 24
E3.B8. Circuit RC. Transformation du montage. ... 25
E3.B9. Circuit dérivateur. ... 26
E3.B10. Tube à décharge. Oscillations de relaxation... 27
E3.B11. Simulation de résistance par commutation capacitive *. ... 28
E3.B12. Transfert de charge entre deux condensateurs. ... 33
E3.B13. Evolution de la charge de deux condensateurs. ... 34
E3.B14. Amélioration du rendement de puissance d’une alimentation continue. ... 35
E3.C. Circuits RL du premier ordre. ... 35
E3.C1. Réponse en courant d’un circuit RL. ... 36
E3.C2. Circuit RL. Visualisation à l’oscilloscope. ... 37
E3.C3. Etincelle de rupture. ... 38
E3.C4. Circuit avec commutateur. ... 39
E3.C5. Transfert d’énergie entre deux sources. ... 40
E3.C6. Témoin lumineux *. ... 41
E3.C7. Circuit RL à deux mailles. Portrait de phase. ... 45
E3.D. Circuits du second ordre. ... 46
E3.D1. Etude d’une réponse en tension. ... 46
E3.D2. Etude d’une réponse en courant. ... 47
E3.D3. Mise en série d’une bobine et d’un condensateur réels *. ... 48
E3.D4. Etude de la décharge d’un condensateur dans un circuit (R,L,C) série. ... 54
E3.D5. Circuit de Wien en régime libre. ... 55
E3.D6. Etude d’un régime apériodique... 55
E3.D7. Etude de différents régimes d’un circuit *. ... 56
E3.D8. Mise en série de deux cellules (R//L). ... 62
E3.D9. Facteur de qualité. Interprétation énergétique *. ... 63
E3.D10. Facteur de qualité et nombre d’oscillations observables. ... 69
E3.D11. Choc électrique. ... 70
E3.D12. Décharge d’un condensateur dans un circuit (L,C). Circuit oscillant *. ... 71
E3.D13. Couplage de cellules (L,C) par une bobine. Battements. ... 76
E3.D14. Couplage capacitif de deux cellules LC. ... 77
E3.D15. Régime libre d’un circuit bouchon. ... 78
E3.D16. Protection d’un condensateur à l’ouverture d’un interrupteur. ... 79
E3.A. Conditions initiales. Régime permanent.
E3.A1. Prévision de valeurs.
On étudie les circuits présentés ci-dessous.
Pour les circuits 1, 2 et 3, on ferme à la date t = 0 l’interrupteur K. On suppose que les circuits étaient ouverts depuis très longtemps et que les condensateurs étaient déchargés.
Pour les circuits 4 et 5, l’interrupteur K, fermé depuis un temps très long, est ouvert à la date t = 0.
1. Déterminer les grandeurs u et i figurant dans les différents circuits à la date t = 0+. 2. Reprendre la même question lorsque le régime permanent est établi.
Corrigé
E3.A2. Circuit du premier ordre. Valeurs aux limites.
On considère le circuit ci-dessous alimenté par un générateur idéal de tension continue E.
Aucun courant ne circule dans le circuit avant la fermeture de l'interrupteur K.
1. Déterminer i t1
0
, i t2 0
et i t
0
.2. Déterminer, sans chercher à résoudre d'équation différentielle, les expressions de i i1, 2 et i pour t .
Corrigé
1. Détermination des intensités à t = 0+.
Il y a continuité de l’intensité dans une branche contenant une bobine, donc :
i1 0 i1 0 0
La branche où la bobine est présente peut se remplacer par un interrupteur ouvert à la date t = 0+.
Le courant i2
0 circulant dans le conducteur R2 est alors égal à i
0 . Pour le déterminer on écrit la loi des mailles :
E Ri R i
i i E
R R
2
2
2
0 0 0
0 0
2. Détermination des intensités pour t .
Quand on considère t , on pose que le circuit est en régime permanent et que donc toutes les grandeurs électrocinétiques sont constantes notamment le courant circulant dans la bobine. Cette dernière est alors assimilable à un fil de connexion car la tension L di
u L
dt1 à ses bornes est alors nulle. Le réseau est équivalent au montage présenté ci-après :
Pour déterminer i, on considère le circuit comme un générateur de f.é.m E alimentant une résistance Réq
équivalente à l’association en série de R et de R1 et R2 en dérivation :
éq
R R R R
R R
1 2
1 2
On obtient :
éq
E R i R R R i
R R
i E
R R R
R R
R R E
i RR RR R R
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
Pour déterminer les intensités dans les branches de dérivation, on utilise la technique du pont diviseur de courant :
i R i
R R
R R E
i R
R R RR RR R R i R E
RR RR R R
2 1
1 2
1 2
2 1
1 2 1 2 1 2
2 1
1 2 1 2
De même :
i R i
R R
1 2
1 2
R R E
i R
R R RR RR R R
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
i R E
RR RR R R
1 2
1 2 1 2
E3.A3. Conditions initiales.
Pour les différents circuits proposés ci-dessous, tous les condensateurs sont déchargés et tous les courants dans les bobines sont nuls avant la fermeture de l’interrupteur K à la date t = 0.
1. Déterminer l’expression de chaque intensité et de chaque tension représentées à la date t 0. 2. Déterminer
t
du dt
0 pour ces différents circuits.
Corrigé
E3.A4. Montage avec deux bobines.
On considère le montage suivant où l’interrupteur K, ouvert depuis très longtemps, est fermé à la date t = 0.
1. Déterminer les différentes intensités pour t = 0-. 2. Déterminer les différentes intensités pour t = 0+.
3. Déterminer les différentes intensités pour lorsque le régime permanent est atteint.
4. Déterminer l’évolution des différentes intensités à la date t = 0+.
Corrigé
E3.B. Circuits RC du premier ordre.
E3.B1. Circuit RC soumis à une tension carrée.
Un circuit RC série est connecté à une source de tension de f.é.m. E de durée T.
On note RC la constante de temps du circuit.
Le condensateur est initialement déchargé u(0-) = 0.
1. Etablir l'équation différentielle vérifiée par la tension u(t) aux bornes du condensateur.
2. Déterminer la loi u(t) pour tout t. Tracer u(t), différents cas sont à envisager.
3. Déterminer la loi i(t) pour tout t. Tracer i(t), différents cas sont à envisager.
On rappelle que pour x << 1 on a ex 1 x Corrigé
1. Equation différentielle vérifiée par u.
La loi des mailles permet d'écrire que : eRi u
Soit q la charge portée par la première armature du condensateur qui est rencontrée par le courant orienté i.
La tension u s’écrit alors : u q
C
Avec ces choix d’orientation : i dq
dt
On exprime alors l'intensité i en fonction de u : i Cdu
dt
On obtient l'équation différentielle :
du u e
dt RC RC
On introduit la constante de temps RC qui est caractéristique de l’évolution temporelle de la tension u (et des autres grandeurs électrocinétiques) :
du u e
dt 1
2. Loi u(t).
Remarque : Lorsque la tension e t
est nulle aux bornes du générateur de tension, cela veut dire qu’il est éteint et qu’il se comporte comme un fil de connexion. Eteindre un générateur de tension dans un circuit ne veut pas dire que l’on retire ce dernier du circuit.● Pour 0 < t < T.
La solution de l'équation différentielle est de la forme :
tu t Ae E
La continuité de la tension à la date t = 0 aux bornes du condensateur permet de déterminer l'expression de la constante A d'intégration :
u 0 A E u 0 0 A E On obtient :
tu t E1e
● Pour t > T.
Comme e = 0, la solution de l'équation différentielle (1) est de la forme :
' tu t A e
La continuité de la tension aux bornes du condensateur permet de déterminer l'expression de la constante A' d'intégration :
''
T T
T
u T u T A e E e
A E e
1 1
La solution s’écrit ainsi :
T tu t E e 1e
Deux cas peuvent être envisagés : Premier cas : T.
La charge du condensateur s’effectue en une durée brève par rapport à la durée T.
Pour t T on a :
T
u T E1eE u T
La représentation graphique de u(t) a l’allure suivante en prenant T 10.
Second cas : T.
La charge du condensateur n’a pas alors le temps de s’effectuer complétement pendant la durée T. Pour t T on a :
T T Tu T E e E E E
1 1 1
L’allure de u(t) pour 10T est de la forme : u(t)
E
t 5t T t
Tangente
à l'origine des dates
E
T
Tangente à l'origine
ET/ u(t)
t
On peut remarquer que pour t ≤ T, la fonction u(t) est quasiment confondue avec la tangente à l’origine de cette fonction.
En effet pour t ≤ T on a t ce qui permet d’écrire :
t t tu t E e E E
1 1 1 D’autre part :
t
t
du Ee du E
dt dt
0
On a donc pour t T , u t
ET. La tension u t
apparaît donc la primitive de la fonction constante E au coefficient
1près.
Remarque : On parle d’un montage intégrateur et plus précisément d’un montage pseudo-intégrateur car l’opération d’intégration ne se fait que pour des conditions particulières portant sur la valeur de par rapport à celle de T.
3. Loi i(t).
D'après la loi des mailles : i e u
R
● Pour t < T.
On a : e = E et u t
E1et. On obtient : E ti e
R
● Pour t > T.
On a e = 0 et u t
E e T 1et. On obtient :T t
u E
i e e
R R
1
Ici, il n’y a pas de continuité de l’intensité à la date t = T.
T
T T T
i T Ee R
E E
i T e e e
R R
1 1
Remarque : Cette discontinuité de l’intensité est due à l’idéalisation de tous les composants du circuit dont l’inductance a été négligée. Expérimentalement on n’observe pas cette discontinuité, seulement des variations de i sur des durées très brèves.
Comme précédemment, on envisage les deux mêmes cas : Premier cas : T.
● Pour t T on a :
E Ti T e
R
0
Le courant est nul à cette date car le condensateur est chargé comme on l’a vu dans la question 2.
● Pour t T on a :
E T E
i T e
R R
0 1
On obtient l’allure suivante pour l’intensité en prenant T 10
Remarque : Quand on étudie la tension aux bornes de R, on parle, dans ces conditions, de montage pseudo- dérivateur. Cette notion est abordée dans l’exercice E3.B9.
Second cas : T. Pour t T on a :
E T E T E
i T e i
R R R
1
1 0
E T
i T e
R
1
1 0
E/R
5 T t
i(t)
-E/R
La variation de l’intensité est petite sur l’intervalle de temps ,T
0 . Pour 10T , la fonction i(t) a la représentation graphique suivante :
E/R
T
tangente à l'origine i(t)
t
E3.B2. Circuit RC avec résistance de fuite. Comparaison.
On considère un condensateur réel de capacité C et de résistance de fuite R', monté en série avec un conducteur ohmique de résistance R.
On désire comparer le comportement de ce circuit à celui du circuit « classique » composé seulement du conducteur ohmique R mis en série avec un condensateur idéal de capacité C.
A t = 0, on ferme l'interrupteur K, le condensateur étant non chargé. On pose RC .
1. On note ' la constante de temps de ce circuit. Etablir l’expression de u’(t).
En donner l’expression. Commenter les expressions de u t'
et de ' .2. On note q’(t) la charge du condensateur en présence de R’ et q(t) celle en l'absence de la résistance de fuite R’.
Examiner les cas : t0 et t . Tracer les graphes correspondants.
Corrigé
1. Expression de u’(t).
On utilise les lois de Kirchhoff qui permettent d’écrire :
' i i i E Ri u
1 2 1
2
Or d’après les lois constitutives du condensateur C et du résistor R’ : ' et '
'
du u
i C i
dt R
1 2
On injecte les expressions de (1) dans (2) ce qui conduit à :
' ' '
'
' '
' du u
E R C u
dt R
du R
E RC u
dt R
1
On écrit l’équation différentielle sous forme canonique :
' '
'
' ' '
'
du R u E
dt RC R RC
du R R u E
dt RC R RC
1 1
1
On introduit la constante de temps du circuit et afin d’effectuer des comparaisons avec le circuit (R, C) on pose :
RC
et ' ' '
' '
R R
RCR R R R
' ' '
' ' '
du u R E
dt R R
La solution de l’équation différentielle vérifiée par u’(t) est de la forme :
'' exp
' '
t R
u t A E
R R
Comme à l’instant t 0le condensateur est déchargé et que de plus il y a continuité de la tension aux bornes d’un condensateur, on peut écrire :
' '
' '
' '
u u
R R
A E A E
R R R R
0 0 0
0
On obtient ainsi l’expression de la tension u(t) :
'' exp
' '
R t
u t E
R R
1
On peut remarquer que ' et que lim 'tu t
R RR' 'E E : la charge du condensateur est plus rapide mais incomplète par rapport à la situation où le résistor R’ n’est pas présent.D’autre part lim ''
R
; 'R correspondant à la situation où ce conducteur n’est pas présent et qu’il est donc équivalent à un interrupteur ouvert
2. Comparaison du comportement de la charge du condensateur.
En l’absence de la résistance de fuite ( 'R ) on a :
'
' exp t exp t
u u E q t CE
1 1 En présence de la résistance de fuite on a :
'' exp
' '
R t
q t CE
R R
1
Comme ' , la charge du condensateur s’effectue plus rapidement en présence de la résistance de fuite R’.
Le comportement à la date de fermeture de l’interrupteur s’apprécie en étudiant la pente de ces deux fonctions :
exp
t
dq CE t dq CE
dt dt
0
1 1
' ' exp ' ' '
' ' ' t ' ' t
dq CE R t dq CE R R R CE dq
dt R R dt R R R dt
0 0
1 1 1
La pente à l’origine est la même pour les deux cas.
Pour t on exprime les deux charges :
'
' '
q CE
q CE R q
R R
Allure des courbes de charge.
E3.B3. Atténuation d’une chute de tension.
La tension aux bornes d’un générateur peut fluctuer pour diverses raisons. On cherche ici à atténuer une brusque chute de tension. Pour cela, on utilise le circuit représenté ci-dessous pour illustrer le principe de fonctionnement de cette opération.
La tension e(t) que délivre le générateur a pour valeur E1 depuis une durée très longue, puis subit à la date t = 0 une baisse à la valeur E2 pendant une durée T très brève.
On se place dans le cas où T << RC.
Les expressions seront simplifiées avec le développement limité suivant, valable lorsque x << 1 :
exp x 1 x.
1. Quelle est la tension u à l'instant t = 0- , t = 0+ ? 2. Déterminer l'expression de u(t) pour 0 < t < T.
3. Comparer la variation de tension u entre t = 0 et t = T, à la différence e E1E2.
4. Pour t > T, décrire l'évolution de la tension u(t), sans faire de calculs. Quelle est la durée nécessaire pour atteindre le régime permanent ? Comparer cette durée à T.
5. Représenter graphiquement u(t).
6. Application numérique : R = 100 Ω, C = 1000mF, e E/ 10 1, et T = 1 ms.
Calculer u E/ 1 et conclure sur l'efficacité du dispositif.
Corrigé
E3.B4. Réponse à une tension en dent de scie.
On considère le circuit de la figure suivante :
On applique aux bornes d'entrée de ce circuit une tension variable e(t) qui est une impulsion de durée T telle que :
e(t) = 0 pour t 0 et t > T
e(t) = kt pour 0 t T où k est une constante.
A l'instant initial, les condensateurs C et C’ sont déchargés.
On note s(t) la tension de sortie et R C C
'
.1. Etablir l'équation différentielle vérifiée par la tension s(t).
2. Exprimer s(t) pour tout temps en supposant que T .
Corrigé
E3.B5. Circuit RC avec deux sources de tension.
A t < 0, le circuit ci-dessous a atteint son régime permanent.
A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur K. On posera R R R R C
1 2
1 2
.
1. En les justifiant, déterminer en fonction des forces électromotrices et des résistances, les expressions des grandeurs électrocinétiques suivantes :
a. i( ), ( ), ( )0 i1 0 i2 0 et uC( )0 à l’instant t = 0-. b. i( ), ( ), ( )0 i1 0 i2 0 et uC( )0 à l’instant t = 0+. c. i( ), ( ), ( ) i1 i2 et uC( ) pour t .
Pour chaque question, des schémas équivalents clairs sont souhaités.
2. Etablir l’équation différentielle vérifiée par u tC
après la fermeture de l’interrupteur K.(Des simplifications du montage sont envisageables …).
3. Déterminer u tC
. 4. Déterminer i t1
.Corrigé
E3.B6. Circuit RC. Condensateurs en série.
On considère le circuit suivant où les condensateurs sont déchargés pour t < 0.
A la date t = 0, l’interrupteur K est fermé.
1. Déterminer s t
0
, i t
0
et s t
.2. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par la tension s(t).
En déterminer la solution.
Corrigé
1. Détermination des grandeurs électrocinétiques.
La tension aux bornes d’un condensateur est une fonction continue du temps. Le texte indique que tous les condensateurs sont déchargés avant la fermeture des interrupteurs, leur tension est donc nulle et le sera juste après la fermeture de ces derniers. Les différents condensateurs se comportent comme des interrupteurs fermés à la date initiale.
On alors :
s t 0 0
Le montage équivalent à la date t = 0+ est la mise en série d’un générateur de f.é.m E avec un conducteur ohmique de résistance R. Avec la loi constitutive du résistor on obtient :
Ei R
0
Il y a ici discontinuité de l’intensité à la date t = 0 du fait de la non prise en compte de phénomène inductif dans ce montage.
Quand t , le circuit est en régime permanent et les condensateurs sont chargés et portant a priori une charge q et q’. Le système constitué de la seconde armature du condensateur C et de la première armature du condensateur C’, dans le sens du courant i, est isolé électriquement du fait de la présence de diélectrique, corps isolant, entre les armatures. La charge électrique de ce système ne peut donc évoluer en raison du principe de conservation de la charge électrique. La charge de ce système est donc nulle à toutes dates car les condensateurs ne sont pas chargés au début de l’étude de ce circuit.
Comme un condensateur est lui aussi un conducteur électriquement neutre, on obtient la situation suivante et cela quelle que soit la date t :
On a alors :
' '
q t q t q t q t
0
Des condensateurs disposés en série portent la même charge dans le cas où ils sont initialement déchargés.
Remarque : Une autre démonstration de cette propriété est proposée dans l’exercice E3.B7.
Quand t , les condensateurs sont chargés et l’intensité i est alors nulle et la tension aux bornes du conducteur est aussi nulle. La loi d’additivité des tensions donne :
' ' '
' '
' ' '
' '
' '
'
q t q t q t q t
E C C C C
E q t C C q t
C C CC
q t CC E
C C
1 1
Comme
'
' s t q t
C
, on obtient :
C 's t E
C C
Remarque : Le dispositif réalise ainsi un pont diviseur de tension avec des condensateurs.
2. Equation différentielle vérifiée par s(t). Solution.
Compte-tenu du résultat sur la charge de condensateurs en série, on a la situation suivante à la date t :
On écrit à nouveau la loi d’additivité des tensions : '
E Ri q s
C
Comme q'C s' et i C'ds
dt : ' '
'
' '
'
' '
E RC ds C s s dt C
ds C s E
dt RC C RC
ds C C s E
dt R CC RC
1 1
1
On introduit la constante de temps ' ' RCC
C C
La solution de cette équation différentielle est de la forme :
exp '
s t
t C
s t A E
C C
La continuité de la tension aux bornes du condensateur C’ permet de déterminer la constante A :
'
'
s t A C E s t
C C C
A E
C C
0 0 0
Ainsi :
C ' exp ts t E
C C
1
Quand t , la tension aux bornes de C’ est plus faible que E, ce qui est normal car la charge fournie par le générateur se répartit sur les deux condensateurs de manière équitable. Cela ne veut pas dire pour autant que la tension u aux bornes du condensateur de capacité C soit égale à s.
Un calcul aurait donné :
C' 'u t E
C C
E3.B7. Circuit RC. Condensateurs en série, en parallèle.
Aspect énergétique.
On étudie la charge de deux condensateurs en série, initialement déchargés, de capacité C et C ’ à la fermeture de l'interrupteur K à la date t = 0.
1. Déterminer l'expression de i(t), q(t) et q ’(t).
En déduire l'énergie acquise par chaque condensateur lorsque le régime permanent est établi.
Déterminer les énergies échangées par la source de tension et par le conducteur ohmique lors de l’établissement de ce régime permanent. Commenter les résultats obtenus.
2. Les deux condensateurs sont maintenant montés en parallèle. Reprendre les mêmes questions et comparer les résultats obtenus concernant l’énergie acquise par les condensateurs.
Corrigé
E3.B8. Circuit RC. Transformation du montage.
On considère le circuit de la figure ci-dessous :
On note i l'intensité dans le résistor R, i1celle dans le condensateur C, i2 dans le résistor R/2 et u(t) la tension aux bornes du condensateur. L'interrupteur K est ouvert depuis très longtemps.
A la date t = 0 cet interrupteur K est fermé.
1. Déterminer , , et i i i1 2 u à l'instantt 0, juste avant la fermeture de l'interrupteur. Justifier.
2. Déterminer , , et i i i1 2 u à l'instantt 0, juste après la fermeture de l'interrupteur. Justifier.
3. Même question quand t tend vers l'infini. Justifier.
4. Déterminer l’expression de la tension u en fonction de E, R et i1.
En déduire que le montage est alors équivalent à un circuit plus simple dont les caractéristiques sont à déterminer.
5. En déduire l'équation différentielle vérifiée par u(t) ainsi que la solution u(t).
Tracer l'allure de u(t).
6. Déterminer l'expression dei t i t1
, 2 et i t
. Tracer l'allure des courbes associées.Corrigé
E3.B9. Circuit dérivateur.
On étudie le circuit suivant, où une tension variable e (t) est appliquée et on observe la tension de sortie s(t) à l'oscilloscope.
1. Etablir l'équation différentielle vérifiée par s(t).
2. La tension e(t) est une tension créneau de demi-période T : 0 < t < T : e(t) = E
T < t < 2T : e(t) = 0
A t = 0 le condensateur est déchargé. On pose = RC.
Déterminer la loi s(t) pour 0 t 2T.
3. Préciser l'allure de la courbe s(t) dans les deux cas : T et T .
Dans un de ces deux cas on dit que le montage est un circuit dérivateur. Justifier cette appellation.
Corrigé
E3.B10. Tube à décharge. Oscillations de relaxation.
On étudie le montage ci-dessous constitué d’une source idéale de tension de force électromotrice E, d’un condensateur idéal de capacité C, d’un conducteur ohmique de résistance R et d’un tube à décharge T.
Le tube à décharge est modélisé par un résistor dont la résistance varie selon qu’il est allumé ou éteint. Il a une résistance RT s’il est allumé et une résistance infinie s’il est éteint.
D’autre part, si le tube à décharge est éteint, il faut que la tension à ses bornes devienne supérieure à la tension d’allumage Ua pour qu’il s’allume et s’il est allumé, il faut que la tension à ses bornes devienne inférieure à la tension d’extinction Ue < Ua pour qu’il s’éteigne.
Quand la tension aux bornes du tube atteint Ua, une décharge du condensateur a lieu dans le tube qui alors s’allume du fait de la production d’un éclair.
1. Pour t < 0, le tube est éteint et le condensateur est déchargé. A la date t = 0, l’interrupteur K est fermé.
Etablir l’équation différentielle dont u est la solution et faire apparaitre une constante de temps e à exprimer en fonction des données du texte.
Résoudre l’équation différentielle.
2. Déterminer la date t1 pour laquelle il y a allumage du tube.
3. Etablir, lorsque le tube est allumé, que la tension u est solution d’une équation différentielle caractérisée par une constante de temps aà exprimer.
Résoudre l’équation différentielle.
4. Montrer que deux conditions, portant sur E, Ua, Ue, RT et R, sont nécessaires pour que le tube puisse s’éteindre.
5. Ces conditions étant réalisées, déterminer la date t2 d’extinction du tube.
6. Etablir que la tension u devient périodique après la date t2.
Déterminer l’expression de cette période T en fonction de E, Ua, Ue, RT, R, C, aet e . Tracer alors l’allure de la tension u(t).
Corrigé
E3.B11. Simulation de résistance par commutation capacitive.
Par l'intermédiaire de deux interrupteurs K1 et K2, un condensateur de capacité C peut être mis en contact avec deux générateurs linéaires de force électromotrice E1, E2 < E1 de même résistance interne r.
La séquence de commande des interrupteurs est périodique de période T et vérifie la loi suivante :
fermé, ouvert pour : ouvert, fermé pour :
K K nT t n T
n
K K n T t n T
1 2
1 2
1 2
1 1
2
On suppose que le dispositif fonctionne depuis suffisamment longtemps pour qu’un régime périodique soit établi et qu’ainsi toutes les grandeurs électrocinétiques évoluent avec la période T. L’origine des dates est choisie pour la commutation correspondant à n = 0.
On pose u(0) = Uo > E2 et u(T/2) = U < E1 et on introduit la constante a T
2 .
1. Etablir les expressions de u(t) pour t 0,T en fonction de Uo, U, a, et des forces électromotrices.
2. Tracer l'allure de la courbe représentative de u(t) sur une période T.
3. Déterminer l'expression de la charge Q qui transite du générateur de force électromotrice E1 vers celui de force électromotrice E2 sur une période T.
En déduire l'intensité moyenne Im sur une période correspondant à ce transfert de charge à exprimer en fonction de U, Uo et C.
Dans le cas où a >> 1, déterminer une nouvelle expression de l’intensité moyenne Im. On considère maintenant le montage suivant :
4. En se plaçant toujours dans le cas où a >> 1, déterminer l’expression de la résistance du résistor R qui serait traversé par le courant d’intensité Im.
Interpréter le résultat obtenu. Quel est l’intérêt du dispositif ?
Corrigé
1. Expression de la tension u(t).
Pour l’intervalle de temps , T
0
2 le dispositif étudié est alors :
On applique la loi d’additivité des tensions avec i1 = i :
u ri E 1 0 1
La loi constitutive d’un condensateur idéal s’écrit, avec la convention récepteur proposée par le schéma de l’énoncé :
q
uC 2
Et comme i dq
dt car q est la charge portée par la première armature rencontrée par le courant, on peut alors exprimer l’intensité i en fonction de la tension u :
du
i C dt 3
On obtient :
u rCdu E
dt 1 0 du u E
dt rC1 rC1
En utilisant la constante de temps du circuit rC : E
du u
dt 1 4 La solution de l’équation (4) est :
exp tu t A E
1
Pour déterminer la constante A, on s’appuie sur la continuité de la tension aux bornes d’un condensateur :
ou 0 u 0 U
o o
A E 1 U A U E1 Ainsi :
o
exp
u t U E t E
1 1 5
A la date T
2 la commutation est effectuée et après cet événement le circuit étudié est le suivant :
La loi d’additivité des tensions fournit avec i2 i:
u ri E 2 0 6
On procède de la même manière que dans la première partie de la question. On obtient : E
du u
dt 2 7 La solution de l’équation (7) est :
exp tu t B E
2
Pour déterminer la constante B, on utilise la continuité de la tension u à la date T 2 :
o ou T u T U Soit :
exp
exp exp
B T E U
B U E T U E a
2
2 2
2
2 On obtient :
exp exp t
u t U E a E
2 2 8
2. Allure de u(t).
L’équation (5)
o
expu t U E t E
1 1montre que :
ou 0 U avec Uo E2
limt u t E
1
avec
u T2 U U E1
L’équation (8) u t
U E 2
exp a exptE2 montre que :
limt u t E
2
La périodicité du régime du dispositif impose que u T
u
0 UoL’allure de la fonction de la fonction u(t) est :
3. Transfert de charge. Intensité moyenne Im.
● Sur l’intervalle de temps , T
0
2 , la tension aux bornes du condensateur varie de :
o
q t T q t q Q
u U U
C C C C
2 0
0
Ce qui correspond à un transfert de charge Q C u pendant la durée T
2 du générateur E1 vers le condensateur.
● Sur l’intervalle de temps T T,
2 , comme l’évolution est périodique, la tension aux bornes du condensateur a varié de u. Un charge Q transite alors du condensateur vers le générateur E2 pendant la durée T
2 . Ainsi, au bout d’une période T, le condensateur retrouve sa charge initiale et une charge Q a transité du générateur E1 vers le générateur E2 pendant la durée T. Un intensité moyenne Im correspond alors à ce transfert de charge entre les deux générateurs :
m o
Q U U
I C
T T
9
Quand on se place dans le cas où a 1, soit T , le condensateur, sur la première demi-période, a le temps de se charger quasi complètement et la tension à ses bornes d’atteindre
U E
1.Sur la seconde partie de la période, il a le temps de se décharger pour que la tension à ses bornes prenne la valeur
U
o E
2.L’intensité moyenne s’écrit alors : Uo
U
E2 E1
u(t)
0 t
T/ 2 T
m
E E
I C
T
1 2 10
4. Résistance R.
La loi d’additivité des tensions s’écrit ici :
E
1RI
mE
2 0m
E E
R I
R T C
1 2
R est appelée résistance équivalente de la commutation parallèle du condensateur.
Pour un condensateur de capacité C, la résistance R est proportionnelle à la période de commutation des interrupteurs. Ce résultat est cohérent avec le fait que si T , le condensateur C a le temps de se charger sous l’effet de la tension E1 et se décharger de manière quasi complète dans le générateur E2, ainsi la charge transférée à chaque période ne dépend plus de la période T de commutation et le courant Im est alors inversement proportionnel à T et on a donc alors R proportionnel à T.
La valeur de la résistance R est donc réglable par modification de la fréquence f
T1 de commutation.
On peut remarquer que le comportement du système ne dépend pas des valeurs de E1 et de E2. Le dispositif de capacité commutée est utilisé pour réaliser une résistance réglable entre deux dipôles.
E3.B12. Transfert de charge entre deux condensateurs.
On considère le dispositif suivant où un condensateur C1 est mis en contact à la date t = 0 avec un condensateur C2, en série avec une résistance R. C1 porte initialement la charge q1 0, , C2 est déchargé. On note i le courant dans le circuit.
1. Déterminer l'équation différentielle régissant l'évolution de l'intensité i(t).
En déduire i(t).
2. Etablir les expressions des charges q t1
et q t2
des deux condensateurs.Vérifier la conservation de la charge : q t1
q t2
cte t .3. En déduire les valeurs finales q1,et q2, des charges acquises par les condensateurs au bout d’un temps infini.
4. Déterminer l’énergie dissipée par effet Joule pendant l’évolution de ce dispositif.
Corrigé
E3.B13. Evolution de la charge de deux condensateurs.
On considère le dispositif suivant :
1. A t 0, le circuit est en régime permanent et l’interrupteur K est ouvert. Déterminer la charge des condensateurs à cette date sachant qu’au montage du circuit les deux condensateurs sont déchargés.
2. L’interrupteur K est fermé à la date t = 0.
Déterminer les courants i∞, i1,∞, i2,∞ ainsi que les charges q1,et q2,au bout d’un temps infini qui caractérise un nouvel état d’équilibre du montage.
3. Déterminer i1(t), i2(t) et i(t) après la fermeture de l’interrupteur K.
4. Calculer l’énergie fournie par les deux générateurs à partir de la date t = 0.
Calculer l’énergie reçue par les récepteurs à partir de la date t = 0. Conclure.
Corrigé
E3.B14. Amélioration du rendement de puissance d’une alimentation continue.
Dans cette étude, on désire transférer de la puissance électrique d’une source de tension de force électromotrice E et de résistance interne r vers un conducteur ohmique de résistance R avec le meilleur rendement possible.
Pour cela on étudie successivement trois dispositifs dont les montages sont donnés ci-dessous.
Etude du premier montage.
1. Déterminer l’expression de la tension U aux bornes du résistor de résistance R.
2. Définir puis calculer le rendement 1 en puissance de ce premier dispositif.
Etude du second montage.
Dans cette deuxième version, on utilise un interrupteur K dont la séquence de commande périodique de période T est la suivante avec n et 01
nT t nT
T
K fermé
nT T t n1T K ouvert
3. Déterminer l’expression de la tension moyenne Um aux bornes du résistor de résistance R.
4. Calculer le rendement 2 en puissance de ce second dispositif. Conclure.
Etude du troisième montage.
La séquence de commande de l’interrupteur est identique à celle donnée précédemment. On pose que le dispositif fonctionne depuis suffisamment longtemps pour que toutes les grandeurs électrocinétiques évoluent à la période T.
On se place dans le cas où rC >> T et RC >> T.
5. Déterminer les constantes caractéristiques de temps f et o d’évolution du dispositif lorsque l’interrupteur K est fermé puis ouvert.
Que peut-on en conclure sur l’évolution temporelle de la tension v(t) aux bornes du condensateur dans ces conditions ?
6. Déterminer les expressions des valeurs moyennes des courants i et iR en utilisant le résultat de la question 5.
7. En vous appuyant sur la périodicité temporelle de v(t), déterminer la valeur moyenne temporelle de iC.
En déduire la valeur moyenne Vm de la tension v aux bornes du condensateur.
8. Déterminer le rendement 3 en puissance de ce nouveau dispositif. Commenter le résultat.
Corrigé
E3.C. Circuits RL du premier ordre.
E3.C1. Réponse en courant d’un circuit RL.
On étudie le circuit constitué d’un générateur de courant idéal de courant électromoteur I et de résistance interne r qui à la date t = 0, après la fermeture de l’interrupteur K, est branché sur un circuit série constitué d’un conducteur ohmique de résistance R et d’une bobine d’inductance L.
1. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par i(t) pour
t
0 et déterminer i(t).2. Déterminer, sans calcul, l’expression de l’intensité i en régime permanent.
3. Tracer la courbe de l’évolution temporelle de i(t).
4. Dans le cas où r << R, déterminer l’expression approchée de i(t).
5. Reprendre les questions précédentes dans le cas où le générateur de courant I est remplacé par une source de tension idéale E.
Corrigé
E3.C2. Circuit RL. Visualisation à l’oscilloscope.
On étudie le circuit ci-dessous qui est alimenté par un générateur idéal de tension continue, de force électromotrice E.
Pour t < 0, on pose que toutes les intensités dans le circuit sont nulles.
A l'instant t = 0, l'interrupteur K est fermé.
1. Déterminer l’expression de s(t) a t = 0+.
2. Déterminer également le comportement asymptotique de s(t) lorsquet .
3. Etablir l'équation différentielle vérifiée par s(t). On introduira la constante caractéristique d’évolution du circuit.
Déterminer s(t). Tracer l'allure de s(t).
4. Exprimer, en fonction de L et de R, le temps to au bout duquel
o
s t s t
0
10 . On mesure expérimentalement to = 3,0 μs. On donne R = 1,0 kΩ, en déduire L.
5. On remplace le générateur continu par un générateur délivrant un signal périodique en créneaux.
Quel doit être l'ordre de grandeur de la fréquence du générateur pour qu'on puisse effectivement mesurer to à l'oscilloscope.
Corrigé
E3.C3. Etincelle de rupture.
Une bobine d'inductance L = 40 mH et de résistance r = 10 est alimentée par un générateur idéal de tension continue E = 15 V. Un interrupteur K fermé depuis très longtemps est placé en série.
Le conducteur ohmique R placé en parallèle aux bornes de l'interrupteur modélise la résistance de l'air, qui est très grande, et n'intervient que lorsque l'interrupteur est ouvert.
On appelle u(t) la tension aux bornes de l'interrupteur.
1. Quelle est l'intensité io dans le circuit, sachant que le courant est établi depuis longtemps ? Application numérique.
2. A l'instant t = 0, on ouvre l'interrupteur. Déterminer la loi de variation de l'intensité i(t) dans le circuit.
Examiner le cas où R >> r.
3. Déterminer la loi u(t). Calculer u(0+) et
u
, oùu
est la limite de u(t) lorsque t tend vers l'infini.Examiner le comportement limite de ces deux tensions lorsque R tend vers l'infini, et comparer à E.
Application numérique pour R = 30 k.
Que risque-t-on d'observer au niveau de l'interrupteur ?
