1 Capacité commutée : simulation d’une résistance

DM 4 à rendre le jeudi 15 octobre

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1 Capacité commutée : simulation d’une résistance

Le principe présenté dans cet exercice a révolutionné la construction des filtres actifs utilisés en électrocinétique en permettant de faire varier la valeur des résistances avec la période du signal de commande.

On considère le dispositif ci-dessous. Les deux interrup- teurs présentent une résistance r lorsqu’ils sont fermés, infinie lorsqu’ils sont ouverts.

Les interrupteurs sont commandés en ouverture/fermeture selon une loi périodique de période T :

• sinT<t<n+¹₂T, l’interrupteurK1est fermé tandis queK2

est ouvert (n est entier relatif ).

• si n+2T <t <(n+1)T, l’interrupteurK1est ouvert tandis queK2est fermé.

Le dispositif fonctionne depuis suffisamment longtemps pour que l’évolution de la charge du condensateur soit elle aussi périodique de périodeT. On pose que l’instantt=0 coïncide avec la fermeture deK₁et l’ouverture de K2. On noteraQ0la valeur de la charge du condensateur à l’instantt=0⁺.

On rappelle l’expression de la valeur moyenne d’une fonction g(t) de période T :

<g(t)>= 1 T

wT 0 g(t)dt Données :T=10µs,r=100Ω,C=10 nF,E1=5 V etE2=1 V.

1.1 Pourt∈[0,T/2[,K₁fermé etK₂ouvert

E1 C E2

r

i i1 i2

uc

D’après la loi des mailles

E1=ur+uc

D’après la loi caractéristique du condensateur (CR) q=Cuc

D’après la loi d’Ohm (CR)

ur=r i Par définition du courant

i=d q d t D’où

d q d t + 1

r Cq=E₁ r

En posantτ=r Cle temps caractéristique de charge du condensateur d q

d t +1

τq=C E₁

τ (E1)

1.2 Les solutions de l’équation différentielle (E1) avec second membre sont la somme

• des solutions de l’équation différentielle homogène associée q_H(t)=Aexp

µ

−t τ

¶ , A∈R

• et de la solution particulière de (E1)

qP(t)=C E1 #Homogène à une charge électrique Donc

q(t)=Aexp µ

−t τ

¶ +C E1

Àt=0⁺,q(0⁺)=Q0 ⇔ A+C E1=Q0

⇔ A=Q₀−C E₁

Finalement

q(t)=(Q₀−C E₁) exp µ

−t τ

¶ +C E₁

1.3 Àt=^T₂, q(T/2)=(Q0−C E1) exp







− T 2τ

|{z}a







+C E1 .

0

e=C E1−Q⁰₀

C E₁ = C E1−Q0

C E₁ exp(−a)

= µ

1−C E1

Q₀

¶

exp(−a)

#On remarque que l’écart tend vers 0 si T Àτou si la charge initiale Q0tend vers la charge finale C E1. Dans la suite on prendreQ⁰₀≈C E1. DoncaÀ1 etq(t)=¡

Q0−Q₀⁰¢ exp¡

−_τ^t¢ +Q₀⁰ 1.4 Pourt∈[T/2,T[,K₁ouvert etK₂fermé

E1 C E2

r

i i1 i2

uc

D’après la loi des mailles

E₂=u_r+u_c

D’après la loi caractéristique du condensateur (CR) q=Cuc

D’après la loi d’Ohm (CR)

ur=r i Par définition du courant

i=d q d t D’où

d q d t + 1

r Cq=E2

r

En posantτ=r Cle temps caractéristique de charge du condensateur d q

d t +1

τq=C E2

τ (E1)

1.5 Les solutions de l’équation différentielle (E1) avec second membre sont la somme

• des solutions de l’équation différentielle homogène associée qH(t)=Aexp

µ

−t−T/2 τ

¶ , A∈R

• et de la solution particulière de (E1)

qP(t)=C E2 #Homogène à une charge électrique

Donc

q(t)=Aexp µ

−t−T/2 τ

¶ +C E2

Àt=0⁺,q(T/2)=Q₀⁰ ⇔ A+C E2=Q⁰₀

⇔ A=Q⁰₀−C E2

Finalement

q(t)=¡

Q₀⁰−C E2¢ exp

µ

−t−T/2 τ

¶ +C E2

1.6 Àt=T,q(T)=¡

Q⁰₀−C E2¢ exp







− T τ

|{z}

2a







+C E2. En supposantaÀ1, exp(−2a)≈0. Donc Q⁰₀≈C E2

Pour résumé

q(t)=







¡Q₀−Q₀⁰¢ exp³

−^t−kT_τ ´

+Q⁰₀ pourt ∈ [kT,kT+T/2[,k ∈ Z

¡Q₀⁰−Q0¢ exp³

−^t−kT−T/2_τ ´

+Q0 pourt ∈ [kT+T/2, (k+1)T[,k ∈ Z 1.7 Évolution de la chargeqau cours du temps

t q(t)

Q0

Q⁰₀

T

2 T

τ ^T

2+τ

1.8 Par définition du courant traversant le condensateur

i(t)=d q d t =







Q⁰₀−Q0

τ exp³

−^t−kT_τ ´

=i1(t) pourt ∈ [kT,kT+T/2[,k ∈ Z

Q0−Q⁰₀ τ exp³

−^t−kT−T/2_τ ´

=i₂(t) pourt ∈ [kT+T/2, (k+1)T[,k ∈ Z Par définition de la valeur moyenne dei(t)

<i(t)>= 1 T

wT

0 i(t)dt = 1 T

w^T

2

0 i1(t)dt+1 T

wT

T 2

i2(t)dt

= 1 T

£q(t)¤^T₂

0 + 1 T

£q(t)¤T

T

Le courant moyen traversant le condensateur est nulle. Les charges ne s’y accumulent pas. Elles sont trans- férées de la source 1 à la source 2.

Par définition de la valeur moyenne dei2(t)

<i1(t)>= 1 T

wT

0 i1(t)dt = 1 T

w^T₂

0 i1(t)dt+ 0

|{z}

K1ouvert

= 1 T

£q(t)¤^T₂

0

= Q₀−Q⁰₀ T

= C

T

|{z}

1 R

(E1−E2) ^A.N.= E2−E1

1, 0 · 10³=4, 0 · 10⁻³A

# courant habituelle, en TP par exemple.

Par définition de la valeur moyenne dei2(t)

<i2(t)>= 1 T

wT

0 i1(t)dt = 0

|{z}

K2ouvert

+1 T

w _T 2

T

i1(t)dt

= 1 T

£q(t)¤T

T 2

= Q⁰₀−Q₀ T

= CE2−E1

T = − <i1(t)>

1.9 Il faudrait placer une résistanceR=^C_T =1, 0 kΩÀr pour obtenir le même courant entre les deux sources.

R>r donc on dissipe moins d’énergie par effet Joule (et on obtient une résistance réglable en faisant varier T.)

E1 E2

i₁ R

2 Utilisation d’un circuit du second ordre

Données :R1=5, 0 · 10²ΩetR2=10, 4 kΩ.

2.1 En régime continue (état final), le condensateur se comporte comme un circuit ouvert (donc i_∞=0 ), et la bobine comme un fil. Donc, d’après la loi du diviseur de tension

u_∞= R1

R₂+R₂E2

e C

R1

R2

L i₁ i

i2

u −→

t→∞ e

R1

R2

i₁ i

i2

u_∞

2.2 D’après la loi des mailles

e=uL+u1+u

D’après la loi des noeuds

i1=i2+i

D’après la loi d’Ohm (CR)

u=R₂i₂ et u₁=R₁i₁ D’après la loi caractéristique de la bobine (CR)

u_L=Ld i₁ d t D’après la loi caractéristique du condensateur (CR)

i=Cd u d t D’où

e= uL

z }| {

L d i d t z }| { Cd²u

d t²

+L d i2

d t z }| {

1 R₂

d u d t

+ u1

z }| {

R1( i z }| { Cd u d t

+ i2

z}|{u R2

)

+u ⇔ e=LCd²u d t² +

µ L R₂+R1C

¶d u

d t +R1+R2

R₂ u

⇔ d²u d t² +

µ 1 R2C +R₁

L

¶

| {z }

ω0 Q

d u

d t +R₁+R₂ R2LC

| {z }

ω²0

= e LC

On poseω0=

sR1+R2

R₂LC la pulsation propre, etQ=

pR2LC(R1+R2)

L+R₁R₂C . On obtient l’équation différentielle linéairesous forme canonique

d²u ω0d u

ω² ω² R1

#Le facteur de qualité à une sale tête. Il est sans dimension. En effet R₁R₂C est homogène à un temps multiplié par une résistance, de même que L (cf temps caractéristique d’un circuit RL). Le numérateur est également homogène à une résistance multiplié par un temps.

Pour se rapprocher de l’oscillateur harmonique (Q→ ∞), il faut faire tendre R1vers0et R2vers l’infini (circuit LC ). Si R1tend vers0, Q tend vers R2

qC

L. Et si R2 tend vers l’infini, Q → ∞. Ce qui est le comportement attendu.

2.3 La pseudo-période s’étale sur 3 division, doncT=0, 6 ms.

Par définition du décrément logarithmique δ=ln

µu(0, 8)−E u(1, 6)−E

¶

=ln µ 2

0, 5

¶

=1, 4

E

u(t)−E T

u(t+T)−E

2.4 Les solutions de l’EDL avec second membre sont la somme

• des solutions de l’EDL homogène associée

uH(t)=(Acos (Ωt)+Bsin (Ωt)) exp µ

−t τ

¶

, (A,B)∈R²

avec Ω=ω0

s 1− 1

4Q² la pseudo-pulsation et τ=2Q ω0

le temps caractéristique d’amortissement ;

• d’une solution particulière de l’EDL avec second membre u_P=E Donc

u(t)=(Acos (Ωt)+Bsin (Ωt)) exp µ

−t τ

¶

+E (A,B)∈R² avec Ω=ω0

s 1− 1

4Q² et τ=2Q ω0

2.5 Par définition du temps caractéristique d’amortissement τ=ˆ2Q

w0

Or, par définition du décrément logarithmique δ=lnˆ

µu(t)−E u(t)−E

¶

=ln µuH(t)

uH(t)

¶

=T τ Donc

τ=T

δ =4, 3 ms 2.6 Par définition du temps caractéristique d’amortissement

τ=2Q ω0

Par identification avec le coefficient du terme d’ordre 1 dans l’EDL w0

Q = 1 R₂C+R1

L ⇔ 2δ T = 1

R₂C +R1

L

Par définition de la pulsation propre

LC= 1 w²₀ =

1−_4Q¹2

Ω = 1−_4Q¹2

2π T Or, le décrément permet d’obtenirQ

δ=T

τ = π

pQ²−1/4⇔Q²=π² δ²+1

4 Donc

LC= 2π 4π²+δ²T