DM 4 Régimes transitoires des circuits d’ordres 1 et 2
à rendre le jeudi 15 octobre
AMéthode : Comment chercher un devoir maison ?
• Commencer à chercher le devoirdès le soir de la distribution.
• S’aider ducourset desexercices.
• Chercher en groupe. La rédaction sera cependant personnelle.
• Si vous êtes bloqué,posez des questions.
• Un soin particulier sera accordé à la rédaction. Les réponses devront contenir : - desschémas;
- desphrasespour expliquer votre raisonnement ;
- desexpressions littérales homogènes et encadrées, avec les grandeurs littérales de l’énoncé ou introduite par vous ;
- desapplications numériques soulignées, cohérentes, avec des unités.
• Après avoir reçu la correction, reprendre votre copie et le corrigé pour comprendre les erreurs, lire les conseils...
1 Capacité commutée : simulation d’une résistance
Le principe présenté dans cet exercice a révolutionné la construction des filtres actifs utilisés en électrocinétique en permettant de faire varier la valeur des résistances avec la période du signal de commande.
On considère le dispositif ci-dessous. Les deux interrup- teurs présentent une résistance r lorsqu’ils sont fermés, infinie lorsqu’ils sont ouverts.
Les interrupteurs sont commandés en ouverture/fermeture selon une loi périodique de période T :
• sinT<t<n+12T, l’interrupteurK1est fermé tandis queK2 est ouvert (n est entier relatif ).
• si n+2T <t <(n+1)T, l’interrupteurK1est ouvert tandis queK2est fermé.
Le dispositif fonctionne depuis suffisamment longtemps pour que l’évolution de la charge du condensateur soit elle aussi périodique de périodeT. On pose que l’instantt=0 coïncide avec la fermeture deK1et l’ouverture de K2. On noteraQ0la valeur de la charge du condensateur à l’instantt=0+.
On rappelle l’expression de la valeur moyenne d’une fonction g(t) de période T :
<g(t)>= 1 T
wT 0 g(t)dt Données :T=10µs,R=100Ω,C=10 nF,E1=5 V etE2=1 V.
1.1 Établir l’équation différentielle vérifiée par la charge q du condensateur entret=0 ett=T/2 (K1fermé et K2ouvert).
1.2 Déterminerq(t) en fonction des données et deQ0sur cette première demi-période.
1.3 Exprimer la chargeQ00à la datet=T/2. On poseraa=2r CT .
Quel est l’écart relatif entre Q 0 et le régime permanent de l’équation différentielle, en pourcentage ? Dans la suite on approximeraQ00à ce régime permanent.
MPSI Devoir maison 4 - Régimes transitoires des circuits d’ordres 1 et 2 2020-2021 1.4 Donner l’équation différentielle de la chargeqdu condensateur entret=T/2 ett=T.
1.5 Déterminer la solutionq(t) sur cette deuxième demi-période, en fonction des données.
1.6 En déduire l’expression de la chargeQ0en fonction des données. On pourra faire la même approximation qu’au 1.3.
1.7 Représenter l’allure du graphe de q(t) sur une période.
1.8 Établir l’expression des valeurs moyennes des intensités du courant parcourant le condensateur (<i(t)>), et les deux interrupteurs (<i1(t)>et<i2(t)>).
1.9 Quelle résistanceRfaudrait-il placer entre les deux sources de tension pour obtenir le même courant moyen
? Faire l’application numérique
2 Utilisation d’un circuit du second ordre
On étudie la réponseu(t) à un échelon de tensione(t) produit à l’aide d’un signal créneau d’amplitudeE2 = 2, 1 V dans le circuit ci-dessous.
Données :R1=5, 0 · 102ΩetR2=10, 4 kΩ.
2.1 Déterminer l’expression puis la valeur numérique deu∞vers laquelle tendu(t) lorsque la valeur dee(t) est E2, en dessinant un schéma en régime permanent stationnaire. Que vaut alors le couranti∞qui traverse le condensateur ?
2.2 Établir l’équation différentielle régissant l’évolution de la tensionu(t) aux bornes du condensateur. On la mettra sous forme canonique et on donnera l’expression de sa pulsation propreω0, de son facteur de qualitéQ.
2.3 On observe sur un oscilloscope la courbeu(t) qui précède. Déterminer la valeur numérique de la pseudo- périodeT, ainsi que celle du décrément logarithmiqueδ. Préciser dans chaque cas la méthode utilisée.
2.4 Exprimer la forme mathématique deu(t) en fonction deQ,ω0,u∞ett. On ne cherchera pas dans l’immédiat à déterminer les constantes d’intégration.
2.5 Définir le temps caractéristique d’amortissementτdu régime transitoire, puis déterminer sa valeur numérique.
2.6 Établir le système de deux équations qui permet de trouver les valeurs deLetC, en fonction deR1,R2,T et δ. Ce système aboutit à une équation du second ordre pourCouL. On ne cherchera pas à le résoudre.
2/2 October 5, 2020
