Second principe
Compressions réversibles ou irréversibles
Un système de n = 3,0 mol de gaz parfait monoatomique 5 3
est dans l'état initial (p0 = 100 kPa, VO = 74,8 L, T0 = 300 K).
1. Il subit une compression adiabatique réversible jusqu'à l'état final (p1 = 150 kPa, V1, T1). Calculer V1 et T1. Montrer, en utilisant le deuxième principe, puis en utilisant l'expression de l'entropie, que cette compression est isentropique.
L’entropie échangée est nulle puisque la compression est adiabatique, l’entropie créée est nulle car elle est réversible.
1
1 1
0 0
ln 0
1
T p S nR
T p
, d’après la loi de Laplace.
2. Il subit une compression adiabatique jusqu'à l'état final (p1 = 150 kPa, V1, T1 = 359 K). Calculer V1. La transformation est- elle réversible ?
On applique la loi des gaz parfaits : 0 0 1 1 1 0 0 1
0 1 1 0
59,7 L p V p V V V p T
T T p T .
1
0 0 1 1 1
0 0 0
ln 0,74 J.K
1
p V T p
S T T p
: cette
variation d’entropie correspond à de l’entropie créée, puisque la transformation est adiabatique, elle n’est donc pas réversible 3. Il subit une compression isotherme jusqu'à l'état final (p1 = 150 kPa, V1, T1). Calculer V1 et T1. Calculer la variation d'entropie.
Commenter le signe du résultat obtenu.
0
0 0 1 1 1 0
1
49,9 L p V p V V V p
p ; T1 = T0 = 300 K.
1
0 0 1 0 0 1 1
0 0 0 0
ln ln 10,1 J.K
1
p V p p V p
S T p T p
. On peut
calculer l’entropie reçue : 0 0 1
0 0 0 0
reçue ln
p V p
Q W
S T T T p
. La transformation est donc réversible, le signe négatif n’a pas de signification, le système n’étant pas isolé.
Dans une enceinte adiabatique, on place un vase de verre de capacité thermique C = 100 J.K1 à la température initiale T1 = 280 K dans lequel on verse une masse m = 0,100 kg d'eau liquide de température initiale T2 = 320 K, de capacité thermique massique ceau = 4,18 kJ.K1.kg1. Calculer la variation d'entropie de la transformation. Est-elle réversible ?
Il faut déjà trouver la température d’équilibre Tf : pour le système global qui est isolé, la variation d’énergie interne est nulle
donc on obtient 0
f 1
eau
f 2
f 1 eau 2 312 Keau
CT mc T
U C T T mc T T T
C mc
. L’entropie étant une grandeur extensive, la variation d’entropie du système est la somme des variations d’entropie de ce qui le constitue :
1
1 2
ln ln 0, 24 J.K
verre eau
f f
eau
S S
T T
S C mc
T T
. Comme on s’y attendait cette transformation étant irréversible on trouve une création
d’entropie.
Mise à l'équilibre
Une enceinte indéformable aux parois calorifugées est séparée en deux compartiments par une cloison étanche de surface S, mobile et diathermane. Les deux compartiments contiennent chacun un gaz parfait. Dans l'état initial, le gaz du compartiment 1 est dans l'état (T = 300 K, p1 = 1 bar, V = 1 L), le gaz du compartiment 2 dans l'état (T, 2p1, V), une cale bloque la cloison mobile. On enlève la cale et on laisse le système atteindre un état d'équilibre.
1. Déterminer l'état final.
La paroi est diathermane donc les deux compartiments auront même température dans l’état
final ; la pression sera également identique dans chaque compartiment pour assurer l’équilibre du piston. Par ailleurs, le système des deux compartiments est isolé donc sa variation d’énergie interne est nulle et, étant donné qu’il s’agit de gaz parfaits, la variation de température est donc nulle (moyennant bien sûr la première remarque). Le nombre de mole est inchangé pour chaque compartiment et l’enceinte étant indéformable V1 + V2 = 2V, on écrit la loi des gaz parfaits pour chaque compartiment :
1 1 2 1
2 1
1
1 2
2 4 2 3
2 32
f f
f
p V p V V V V p V p V
p p
V V V
2. Calculer l'entropie créée.
Le système des deux compartiments étant isolé, la variation d’entropie de l’ensemble correspond à de l’entropie créée :
1 1 2
2 1
1 1 2 2 1 1 1 2 1
1 1
2 2 4
ln ln ln ln ln 5,7 10 J.K
1 1 3 3
créée
n R TV n R TV p V V p V V p V
S S
T V T V T
TV TV
Justifier que la détente de Joule Gay-Lussac (détente adiabatique dans le vide), dont on a démontré au chapitre III qu'elle est isoénergétique, n'est pas isentropique. Préciser si la variation d'entropie est de l'entropie échangée, de l'entropie créée ou une somme des deux.
On peut reprendre le calcul précédent, l’un des deux compartiments étant vide :
1
ln 1 ln 0
1
f f f
créée
i i i
T V V
S S nR nR
TV V
.
On plonge une brique solide de capacité thermique C = 1,00 kJ.K1à la température initiale T0 = 450 K dans l'eau d'un lac assimilée à un thermostat à la température Tth = 280 K. On suppose que l'ensemble {brique, lac} est isolé.
1.Quelle est la température finale de la brique ? Quelle est la température d'échange de la brique ? Quelle est la température d'échange du lac ?
La brique se met en équilibre thermique avec l’eau du lac, elle sera finalement Tth qui constitue la température d’échange de la brique ; c’est également celle du thermostat par définition.
2. Quelle est l'énergie thermique reçue par le lac ? Quelle est l'énergie thermique reçue par la brique ? L’énergie thermique reçue par le lac est l’opposée de celle reçue par la brique : Qbrique = C(Tth – T0) 3. Calculer la variation d'entropie de la brique, son entropie échangée et son entropie créée.
La brique est un solide
0
lnTth S C T
; son entropie reçue est
th 0
reçue
th
C T T
S T
et l’entropie créée est la différence des deux :
0
0 00
ln th th 1 ln 0
créée reçue
th th th
C T T
T T T
S S S C C
T T T T
4. Mêmes questions pour le lac. Mêmes questions pour l'ensemble.
Le lac est un thermostat, son entropie reçue est l’opposée de l’entropie reçue de la brique et il n’y a pas d’entropie créée pour le lac. Pour l’ensemble, l’entropie étant une grandeur extensive, on additionne les deux variations d’entropie, il ne reste donc que l’entropie créée.
5. La transformation est-elle réversible ? Elle est évidemment irréversible.
Bilan d'entropie de l'effet Joule
On considère une masse de 100 g d'eau dans laquelle plonge un conducteur de résistance R = 20 . Cette dernière est parcourue par un courant de 10 A pendant 1 s. On note le système formé de l'eau et de la résistance.
On donne :
• masse du conducteur : mc = 19 g ;
• capacité thermique massique du conducteur : cc = 0,42 J.g1.K1 ;
• capacité thermique massique de l'eau : ceau = 4,18 J.g1.K1.
1. La température de l'ensemble est maintenue constante et égale à 20°C. Quelle est la variation d'entropie de ? Quelle est l'entropie créée ? Quelle est la cause de la création d'entropie ?
Pour que la température soit maintenue constante, il faut que échange avec un thermostat à 20°C (T0 = 293 K). La variation d’énergie interne de est nulle, ni l’eau, ni la résistance ne change d’état : 2 2
0 0
0 reçue Q RI t
U RI t Q S
T T
.
Pour la même raison, la variation d’entropie de est nulle donc 2
0 créée reçue 0
RI t
S S
T
. La création d’entropie est liée au
caractère irréversible de l’effet Joule.
2. Le même courant passe dans le conducteur pendant la même durée mais maintenant est isolé thermiquement. Calculer la variation d'entropie de et l'entropie créée. Quelle est la cause de la création d'entropie ?
La variation d’énergie interne s’écrit :
c c eau eau f 0
2 f 0 2
c c eau eau
RI t
U m c m c T T RI t T T
m c m c
, avec t = 1 s. La
variation d’entropie est alors
0
ln f 0
créée c c eau eau
S S m c m c T
T . La cause de la création d’entropie est la même que dans le premier cas.
Onde sonore
La propagation du son consiste en une onde de compression du milieu, qui progresse de proche en proche. Lors de la propagation d'un son dans le domaine audible, doit-on considérer la compression des petits volumes d'air isotherme ou adiabatique ? Qu'en est-il de la réversibilité ?
Les fréquences audibles sont supérieures à 20 Hz ce qui suppose des évolutions rapides et donc adiabatiques. Ce n’est évidemment pas réversible, les mouvements des molécules d’air constituent de l’énergie cinétique microscopique et conduisent à une élévation (très minime !) de la température.
Exemple de calcul de variation d’entropie du gaz parfait sans faire appel aux identités thermodynamique
Faire un choix de variables consiste à supposer implicitement que l'on calcule la variation d'entropie du gaz sur un chemin réversible particulier : par exemple, il revient au même de faire le choix des variables (p, V) ou de considérer un chemin constitué d'une isobare puis d'une isochore (ou inversement) :
Sur l’isobare à p1 : 2 2
1 1
ln ln ln
1 1 1
p f
p isop
i
C dT nR T nR V nR V
Q C dT dS S
T T V V
;
Sur l’isochore à V2 : 2
1
ln ' ln
1 ' 1
V f
V isoV
i
C dT nR T nR p
Q C dT dS S
T T p
.
Globalement, pour passer de l’état (p1, V1) à l’état (p2, V2) : 12 2 2
1 1
1ln p V S dS nR
p V
