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Exercice 1 : Principe de la pince optique

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Les sacs seront laissés devant le tableau. Conservez seulement de quoi écrire et une calculatrice : pas de téléphone !

Si vous ne comprenez pas une notation, une question, ou si vous pensez avoir découvert une erreur d’énoncé, signalez-le immédiatement.

Exercice 1 : Principe de la pince optique

Le prix Nobel de physique 2018 a en partie attribué à A. Ashkin pour ses travaux sur les « pinces optique ».

Il s’agit de faisceaux lasers très focalisés qui permettent d’exercer des forces sur des objets microscopiques de manière à les déplacer sans contact mécanique. On en présente une modélisation très simplifiée.

L’objet qu’on cherche à manipuler est un cône de hauteurH, et de base de rayonRtaillé dans un matériau d’indice optiquen(proche de celui d’une cellule biologique). Il est plongé dans l’eau, d’indicene. On considère un rayon lumineux de longueur d’ondeλparvenant en incidence normale sur la base plane de rayonRdu cône.

Données :

• constante de Planckh=6,626 06·10−34J·s ; vitesse de la lumièrec= 299 792 458 m·s−1; accélération de la pesanteurg=9,8 m·s−2.

• longueur d’onde du laserλ=670 nm ; rayon de la base du côneR= 1 µm, masse volumique du côneρ=1·103kg·m3; indice du cône n=1,44 ; indice de l’eaune=1,33.

O A

B

2R H

n ne

M

1. (a) Déterminer son trajet dans le cône ainsi que sa direction quand il en émerge : on fera absolument un schéma. On admet qu’un rayon peut émerger par le segmentOA.

(b) En déduire la variation du vecteur quantité de mouvement d’un photon du faisceau laser à la traversée du cône qu’on note# »

∆p.

(c) Justifier brièvement que pour chaque photon qui voit sa quantité de mouvement varier de∆p,# » celle du cône varie de−∆p.# »

2. (a) Le faisceau laser illumine uniformément la base du cône et on notePla puissance reçue par le cône. Déterminer l’expression de la force (en direction et en intensité) subie par le cône.

(b) Le faisceau laser n’illumine plus que la moitié (un demi-disque) de la base du cône. Déterminer la nouvelle expression de la force (en direction et en intensité) subie par ce dernier.

(c) En déduire qu’on peut ainsi espérer déplacer le cône en déplaçant le faisceau laser.

(d) Calculer la puissancePnécessaire pour exercer sur un cône illuminé uniquement sur la moitié de sa base une force selone#»yd’intensité comparable à son poids. On rappelle le volume d’un cône : V =πR2H/3et on prendraH=Rpour cette question.

Exercice 2 : Transitions dans un laser à puits quantique

On présente le principe des transitions électroniques responsables de l’émission du rayonnement dans les lasers dits « à puits quantique ».

Données : constante de Planckh=6,626 06·1034J·s ; vitesse de la lumièrec=299 792 458 m·s1; masse de l’électronme=9,11·10−31kg ; charge de l’électrone=1,602 17 C.

1. On considère une particule de massemconfinée dans une boite de largeur notéeLzselon la direction z. Établir l’expression de l’énergie des différents états stationnaires. On les noteraEn(m , Lz), avec n∈N?.

2. Dans les hétérostructures considérées, l’interaction entre l’électron et le réseau cristallin peut être prise en compte en remplaçant dans l’expression précédente la massemede l’électron par une masse effective notéem?.

La structure des niveaux d’énergie est par ailleurs plus complexe.

Il existe deux groupes (dites « bandes ») de niveaux d’énergie ré- partis d’une bande (nommée ”gap” en anglais, de largeur en éner- gie notéeEg) dans laquelle aucun niveau d’énergie n’existe. Dans chacune de ces bandes la masse effective à prendre en compte est différente, on les notem?1etm?2.

Les expressions des énergies des états stationnaires sont alors :

zone1: E=Eg+En(m?1, Lz) zone2:E=−En(m?2, Lz)

zone2 zone1 En(m?1, Lz)

−En(m?2, Lz)

Eg ”gap”

(a) Déterminer l’expression de l’énergie du photon émis lors de la transition d’un électron du niveau n1de la zone1vers le niveaun2de la zone2.

(b) Les courbes de la figure 1 présentent l’énergie du rayonnement absorbé lors de la montée d’un électron de la zone2vers un niveau de la zone1.

Vérifier qualitativement que les pics observés sur les courbes pourLz=140 Å etLz =210 Å de la figure 1a sont en accord avec le modèle proposé en admettant que les transitions se font entre des niveaux de même rangn. On étudiera en particulier :

• les variations des abscisses des pics avecn;

• les variations des abscisses des pics avecLz; On ne cherchera pas à vérifier les valeurs numériques.

À quel type de rayonnement correspondent ces transitions ?

(c) Les points expérimentaux de la courbe 1b correspondant àLz= 420 Å ont pour abscisses respectives les valeurs ci-contre. En dé- duire les valeurs de1/m?1+ 1/m?2et deEg.

n E(eV) 1 1,514 2 1,525 3 1,542 4 1,565 5 1,595 6 1,633 7 1,674

.

(2)

(a) Absorbance en fonction de l’énergie du rayonne- ment absorbé.

(b)Lzen fonction de l’énergie du rayonnement absor- bé pour différentes valeurs den.

Fig. 1 : Mesure expérimentale des transitions énergétiques entre les niveau de même rangndes zones1et 2pour différentes valeurs deLz.

Les données expérimentales sont issues de l’article « Quantum states of confined carriers in very thin AlxGa1–xAs-GaAs-AlxGa1–x-As » de Dingle, R., Wiegmann, W., & Henry, C. H., in Physical Review Letters, 33(14), 827–830 (1974).

Problème 1 : Ondes de matières de Buckminsterfullerène

On étudie les interférences des ondes de matière d’une grosse molécule for- mée de 60 atomes de carbone présentant la même structure qu’un ballon de football. On la désignera par C60dans toute la suite.

Données : masse molaire du carboneM(C = 12 g·mol−1); longueur caractéristique d’une liaison C CdC C =150 pm =1,50·10−10m ; masse molaire du néonM(Ne =20,2 g·mol−1); constante de Planckh = 6,63·10−34J·s ; constante de Boltzmann 1,38·10−23J·K−1; constante d’Avogadro :NA = 6,02·1023mol−1.

I Caractéristiques de l’onde de matière

On produit une vapeur de C60dans un four à une température notéeT.

I.1. (a) La vitesse caractéristique des molécules est notéev, de l’ordre dev=1·102m·s−1. Calculer la valeur de la longueur d’onde de de Broglie correspondante, notéeλdB.

(b) Estimer un ordre de grandeur du diamètre de la molécule C60en fonction de la distancedC C entre deux atomes de carbone et commenter.

(c) Proposer par analyse dimensionnelle une expression de la vitesse typique de particules de masse m dans un gaz à la température T. On utilisera la constante de Boltzmann kB = 1,38·10−23J·K−1. En déduire un ordre de grandeur de la température du gaz de C60dans l’ex- périence considérée.

I.2. Dans une expérience historique, Shimizu et Shimizu ont utilisé des atomes de Ne métastables à une température deT =2,5 mK. Calculer un ordre de grandeur de la longueur d’onde de Broglie corres- pondante et comparer au cas des C60. Lequel de ces deux dispositifs permet d’observer le plus facile- ment des interférences d’ondes de matière ?

II Diffraction par un réseau de fentes

Les molécules de C60sont envoyées sur un réseau plan de fentes orthogonal à la direction du jet molécu- laire. Les fentes ont pour largeur 50 nm et sont deux à deux distantes ded=100 nm.

II.1. On étudie le cas de deux fentes adjacentes. On observe la figure d’interférence à une distanceDgrande devantd. On noteλdBla longueur de de Broglie de l’onde de matière.

(a) Déterminer la différence de phase entre une onde de matière atteignant le pointMen étant passée par la sourceS1et une autre étant passée par la sourceS2. On simplifiera l’expression en utilisant le fait queDdetDx.

(b) On noteαl’angle défini par tan(α) =x/D 'α. En déduire qu’à grande distance, les interférences sont constructives dans certaines directionsαdont on précisera l’expression en fonc-

tion dedetλdB.

S

1

S

2

d D

M x

II.2. On étudie les interférences pour un nombreN >2de fentes parallèles, toujours dans le casDd.

(a) Déduire de la questionII.1bque les interférences entre les ondes de matière issues des différentes fentes seront constructives dans les directions α1vérifiant :

dα=pλdB avecp∈Z. (1) (b) En déduire l’expression de l’interfrange, notéi, entre deux abscissesxcorrespondant à des inter- férences constructives, quand on détecte les mo- lécules à une grande distanceDd.

θ

a

(c) Déterminer dans les casN= 3etN= 5la plus petite valeur deαpour laquelle les interférences sont destructives. On pourra s’aider d’une construction de Fresnel.

(3)

(d) En déduire l’intérêt présenté par l’utilisation d’un grand nombreNde fentes.

II.3. La figure ci-contre représente les impacts de molé- cules (en unités arbitraires) pour une observation à une distanceD=1,25 m. L’abscisse est la position sur l’écran, la distance entre deux graduations est de 25µm.

(a) Déduire de cette courbe la valeur de la vitesse vdes molécules.

(b) Déterminer comment changerait la position des pics pour des molécules de C70issues d’un four à la même température.

(c) On considère que les vitesses varient dans l’in- tervallev±∆v, avec∆vv. Déterminer un ordre de grandeur de la valeur de∆vau delà de laquelle le brouillage sera tel qu’on ne pour- ra plus observer d’interférences.

Les paramètres sont ceux de l’expérience de l’équipe de A. Zeilinger en 1999 :« Wave–particle duality of C60 molecules », Arndt et al., Nature401,680,1999.

(4)

Correction de l’exercice 1

1. (a) Le rayon parvient en incidence normale au pointM, il n’y est pas dévié.

À la traversée de la face de sortie, il émerge en s’éloignant de la normale puisque l’extérieur est moins réfringent que l’intérieur. On a :

nsin(i) =nesin(t).

(b) En admettant que la diffusion du photon est élas- tique la longueur d’onde n’est pas changée et le modulep = h/λest conservé. La variation de quantité de mouvement s’exprimer à l’aide de l’angle de déviationD=t−i

∆#»p =#»pf−#»pi=p((cos(D)−1)e# »x−sin(D)e#»y).

O A

B

2R H

n

n

e

M i t

#» p

i

#» p

f

e #»

x

e #»

y

On peut de plus remarquer que les indices étant très proches, l’angletsera peu différent de l’angle iet l’angleDsera faible. On pourra donc négliger le terme en cos(D)−1(dont le terme dominant du DL pourDfaible enD2) et approximer le terme en sin(D)parD. Soit cette approximation, l’équation de Snell et Descartes s’écrit :

nsin(i) =nesin(t)'ne(sin(i) +Dcos(i))→D'(n−ne) ne tan(i).

Et on déduit :

∆#»p ' −Dpe#»y=−(n−ne)p ne

tan(i)e#»y

(c) La conservation de la quantité de mouvement totale photon+cône assure que la quantité de mou- vement perdue par le photon est gagnée par le cône.

2. (a) La puissance permet de calculer le nombre de photons parvenant à la base du cône par unité de temps, qu’on notedN

dt. L’énergie d’un photon étant}ω, on a : P=dN

dt}ω.

Ensuite, chaque photon fournit la quantité de mouvement

−∆#»p =p((1−cos(D))e# »x+sin(D)e#»y)

Des photons frappant le cône en des points symétriques par rapport à son axe de symétrie au- ront des variations de quantité de mouvement opposées selone#»yet seule la composante selone# »x

demeure. La perte de quantité de mouvement des photons par unité de temps est donc : Pp

}ω(1−cos(D))e# »x=P}k

}ω (1−cos(D))e# »x=P

c (1−cos(D))e# »x≡F .#»

La loi de la quantité de mouvement assure en effet qu’il s’agit de la force subie par le cône puisque F#»=d#»p

dt.

(b) La composante de la force sure# »xn’est pas changée. En revanche on n’a plus compensation totale de la composante sure#»y. Néanmoins les vecteurs∆#»p ne sont pas selone#»yen tous les points de la surface en raison de la rotation autour de l’axeOx.

En supposant que le demi-cône est contenu dans le demi-espacey>0, il y a compensation totale des composantes selone#»zet compensation partielle des composantes selone#»y: la somme des com- posantes sure#»ydes vecteurs∆#»pest inférieure àPsin(D)/d. Plus précisément, on peut montrer qu’elle s’obtient en calculant la moyenne de cos(ϕ)pourϕ∈[−π/2 ;π/2], soit2/π.

F#»= P c

(1−cos(D))e# »x+2

πsin(D)e#»y

.

Dans cette expressionPdésigne la puissance totale atteignant le cône, soit la moitié de celle du cas précédent.

Avec l’approximationD1, on a : F#»'2P

cπ n−ne

ne

tan(i)e#»y=2PH πcR

n−ne

ne

e#»y,

car tan(i) =H/R.

(c) La forceF#»pousse toujours le cône selone# »xquel que soit l’illumination de la base du cône mais si celle-ci n’est pas uniforme on constate qu’il qu’elle a une composante dirigée vers la zone où le laser est le plus intense : le cône aura tendance à suivre les zones de grande intensité, soit le centre du faisceau laser.

(d) On veut :

F=mg=πR2Hρg 3 =2PH

πcR n−ne

ne

→ P= cR3neρg

6(n−ne) =6,0·10−6W.

Correction de l’exercice 2

1. L’annulation de la fonction d’onde enz= 0etx=Lzassure que le vecteur d’onde ne peut prendre que les valeurs :kn=nπ/Lz, avecn∈N?. L’énergie cinétique est alors :

En(m, Lz) = }2kn2 2m = n2h2

8mL2z. 2. (a) On exprime :

∆E=Eg+En1(m?1, Lz) +En2(m?2, Lz) =Eg+ h2 8L2z

n21 m?1 + n22

m?2

(5)

(b) En considérant que les transitions se font entre des états de mêmen(pour des raisons de symétrie des fonctions d’ondes), l’expression devient :

∆E=Eg+n2h2 8L2z

1 m?1 + 1

m?2

On vérifie bien que :

• àLzconstant (sur les deux courbes) : l’énergie des pics est croissante avecn, l’écart entre les picsnetn+ 1croissant avecnce qui est compatible avec une dépendance enn2;

• ànconstant (sur la courbe 1b) : l’énergie est croissante quand la longueurLzdécroît, d’autant plus rapidement queLzdécroît, ce qui est compatible avec une courbe en1/L2z.

(c) On peut calculer les écarts :

8(∆En+1−∆En)L2z h2(n+ 1)2−n2 =

1 m?1 + 1

m?2

en s’assurant que leurs valeurs sont proches et en déduireEg. On peut également tracer la courbe

∆Een fonction den2, dont on mesure la pentep = 3,3(1)·10−3eV et l’ordonnée à l’origine 1,511(3)eV.

On en déduiti: 1 m?1 + 1

m?2 =8L2zp

h2 =1,7·1031kg−1 et:Eg=1,51 eV.

La valeur de1/m?1+ 1/m?2est compatible avec les données de l’article, qui citem?1 =0,0665× meetm?2 =0,45×me, avecme =9,1·10−31kg la masse de l’électron, soit1/m?1+ 1/m?2 = 1,4·1031kg−1.

Correction du problème 1

I Caractéristiques de l’onde de matière

I.1. (a) On calcule :

λdB= h

mv =5,54·10−12m.

(b) D’après le schéma de la molécule, son diamètre est de l’ordre de4dC-C '6 Å soit environ100 fois supérieure. On peut a priori douter qu’il soit possible de réaliser des interférences dans ces conditions bien que fondamentalement rien n’impose de condition sur ces grandeurs.

(c) La grandeurkBT a la dimension d’une énergie, tout commemv2. On aura doncv∝p kBT/m, soit ici :

T ∝mv2 kB

=870 K.

i. Une erreur de l’énoncé qui donnait la longueur en nm au lieu de Å conduit à une valeur 100 fois supérieure.

I.2. Pour le néon, on aM(Ne) =20 g·mol−1, soit :

λdB= h

mv = h

√mkBT =2,0·10−8m.

Dans le cas du néon, la longueur d’onde est considérablement plus grande et donc les angles caracté- risant la figure d’interférence seront, pour une même distance entre les fentes, beaucoup plus grands : les interférences s’observeront plus facilement.

II Diffraction par un réseau de fentes

II.1. (a) On calcule le déphasage :

S1M−S2M=S1M2−S2M2

S1M+S2M 'S1M2−S2M2 2D =2xd

2D =xd

D →Φ1−Φ2= 2πxd DλdB. (2) (b) Les directions d’interférences constructives sont caractérisées par l’angleαtel que :

2παd λdB

= 0 mod [2π] ie:α= 0 mod λdB

d

.

II.2. (a) Pour que les interférences entre toutes les fentes soient constructives, il est nécessaire que les in- terférences entre deux fentes adjacentes soient constructives, soit si :

α= 0 mod λdB

d

.

À l’inverse, si les ondes issues de deux fentes adjacentes ne sont pas en phase, le déphasage s’ac- croît à chaque nouvelle fente et si on a suffisamment de fentes, leur grande majorité peut être groupée par paires de fentes donnant des ondes en interférence destructive donnant au total une onde de faible amplitude.

(b) L’expression (2) donne des interférences constructives quand : 2πxd

dB

= 0 mod [2π]→x=pDλdB

d pourp∈Z. L’interfrange est donc :i=DλdB/d.

(c) Les constructions de la figure ci-contre illustrent que les déphasages∆Φ3= 2π/3et∆Φ5= 2π/5 conduisent respectivement dans les casN = 3 etN = 5à des interférences destructives àN ondes.

∆Φ

3

∆Φ

5

Comme par ailleurs∆Φ = (2πxd)/(DλdB) ' 2παd/λdB, les angles géométriquesα3 etα5

vérifient :

α3dB

3d α5dB 5d .

(6)

(d) Dans les deux cas précédents l’amplitude de la somme des ondes transmises par lesNondes est constructive quand elles sont deux à deux en phase mais s’annule vite quand elles sont légèrement déphasées et d’autant plus vite avec ce déphasage que le nombreNest élevé puisqu’il suffit d’un déphasage de2π/5dans le casN= 5et2π/3pourN= 3.

II.3. (a) De part et d’autre du pic central, on observe des pics secondaires. La distance entre les deux pics secondaires étant d’environ2∆i=60 nm, on calcule :

v= h mλdB

= hD

mid =230 m·s−1.

(b) Une masse plus élevée jouera à la fois sur la vitesse mais également sur le lien entre vitesse etλdB. Plus précisément, on a :

v=p

kBT/m→λdB= h

mv = h

√kBmT : la longueur d’onde de de Broglie décroît donc comme1/√

mquand la masse croît. Pour des molécules de C70, la longueur d’ondeλdB sera donc plus faible, tout commei, d’un facteur p60/70 =0,92 : les pics seront donc distants dei=28 nm. La résolution du signal ne permettra donc pas de les distinguer.

(c) Une molécule animée d’une vitesse plus élevée aura une longueur d’ondeλdBplus faible et donc un interfrange plus petit. Si celui-ci devient de l’ordre de la largeur du pic central, on ne pourra plus distinguer de minimum local marqué. Ce minimum est atteint pour environxm=20 µm et sera donc brouillé pourvmaxtelle que :

λdB(vmax) = dxm

D →vmax= hD

mxmd'150 m·s−1,

ce qui est quand même assez différent dev. On peut donc avoir une assez grande dispersion des vitesses et conserver un contraste observable.

Remarque : Dans l’article, la dispersion en vitesses est mesurée à une valeur de l’ordre de 100 m·s1, ce qui est attendu pour un gaz à une température aussi élevée.

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