Mouvement d’un plongeur
I. Problématique :
Un plongeur de masse m = 70,0kg s’élance avec une vitesse v0 = 4,0m.s-1 du haut de son plongeoir. On cherche à déterminer la vitesse vf avec laquelle le plongeur pénètre dans l’eau.
On néglige l’action de l’air sur le plongeur au cours de son mouvement et on admet que lors du saut, les mouvements de rotation du plongeur ne perturbent pas le mouvement de son centre d’inertie G.
On note y0 l’ordonnée du centre d’inertie du plongeur juste avant le saut et v0 sa vitesse initiale (élan).
On donne v0 = 4,0 m.s –1 et y0 = 4,0 m et y1 = 1,0 m II. Stratégie
On étudie l’évolution des énergies cinétique, potentielle et mécanique du système {balle – Terre} au cours du mouvement parabolique d’un projectile (balle), préalablement filmé et enregistré, au moyen d’un logiciel de pointage et d’un tableur-grapheur.
III. Documents : le vecteur vitesse :
La vitesse d’un projectile peut être représentée à un instant donnée par un vecteur qu’on appelle « vecteur-vitesse » : en effet, à cet instant, la vitesse possède :
- une certaine direction : tangente à la trajectoire - un sens : celui du mouvement
- une valeur V : représentée par la longueur du vecteur
A chaque instant, on peut donc donner les composantes du vecteur vitesse en fonction de sa longueur (valeur) et de l’angle qu’il fait avec un des angles du repère (sur le schéma α avec l’axe Ox)
Les coordonnées du vecteur sont alors :
sin cos
V V
V VV
y x
La valeur de la vitesse peut être calculée à partir de ses coordonnées en utilisant le théorème de Pythagore :
V2 = Vx2
+ Vy2
Vx
Vy
V
α y
x O
IV. Travail à effectuer :
1. Acquisition des données à partir de la vidéo
À partir du module vidéo du logiciel Latispro, ouvrir le fichier « Parabole» sur le bureau.
Étalonner très soigneusement l’écran au moyen de la toise (même échelle pour les deux directions).
Faire défiler les images pour repérer la première image qui montre la balle complètement visible et libérée de l’action de la main du lanceur.
Sur cette première image, choisir le centre d’inertie de la balle comme origine O des axes, l’axe x’x étant horizontal et orienté vers la droite et l’axe y’y vertical et orienté vers le haut.
L’origine des dates (t= 0 s) sera associée à cette image.
Pointer les images jusqu’à la fin du mouvement dans l’air.
2. Equations horaires x(t) et y(t) :
Renommer les grandeurs acquises XA et YA Afficher XA et YA en fonction du temps
Modéliser chacune des courbes en choisissant convenablement le modèle.
Écrire les équations numériques des modèles mathématiques retenus et déterminer les valeurs de v0x et v0y en comparant aux équations horaires théoriques.
En déduire les valeurs de V0, la vitesse initiale et de α l’angle de cette vitesse par rapport à l’horizontale.
3. Etude énergétique : Dans le tableur :
Créer la colonne Vx correspondant à la vitesse suivant x Créer la colonne Vy correspondant à la vitesse suivant y Reporter la valeur v0x et v0y dans le tableau
Dans la feuille de calcul :
Dans le menu « Traitement », ouvrir l’option « Feuille de calculs » On cherche à créer les grandeurs V2 (qu’on nommera V2) :
Taper « V2= » suivi de l’expression qui convient ! Remarque : V2 s’écrit V^2
le signe « » s’écrit « * »
Pour valider l’expression, appuyer sur la touche F2 du clavier ; si l’expression est comprise par l’ordinateur, celui-ci indique dans la partie gauche de la fenêtre le nombre de calculs effectivement réalisés (entre crochets)
Créer la grandeur Ec correspondant à l’énergie cinétique de la bille
On prendra comme référence des énergies potentielles, énergie potentielle nulle lorsque la bille est à l’altitude y=0 (Ep(0)=0). En déduire l’expression des énergies potentielles de la bille en fonction de YA.
Créer la grandeur Ep correspondant à l’énergie potentielle Créer la grandeur E, énergie mécanique du système {balle – Terre}
Dans une nouvelle fenêtre, afficher Ec, Ep et E.
V. Résultats et interprétation : Commenter l’allure des courbes obtenues.
Pourquoi peut-on annoncer qu’au cours du mouvement étudié, l’énergie mécanique s’est conservée.
VI. Réponse au problème posé :
1. Choix de la référence de l’énergie potentielle : On choisit la référence de l’énergie potentielle Ep est prise au niveau de la surface de l’eau. En déduire l’expression de l’énergie potentielle Ep en fonction de y.
2. Exprimer en fonction de m, v0, y0 et g les énergies potentielles et cinétiques au début du plongeon.
3. Exprimer en fonction de m, vf, y1 et g les énergies potentielles et cinétiques lorsque le plongeur touche l’eau.
4. En utilisant la conservation de l’énergie mécanique, exprimer vf en fonction de m, y0, y1 , g et v0. Calculer cette vitesse.
5. Au sommet de la trajectoire, la vitesse du plongeur est vs = 2,5m.s-1 (le vecteur vitesse est alors horizontal ; il n’y a pas de vitesse « verticale » qui entrainerait le plongeur plus haut). Calculer l’altitude maximale zS
atteinte au cours du plongeon (« sommet de la trajectoire »). Détailler la méthode.
VII. Application 1 : Conservation d’énergie ; méthode de résolution
Un skieur de masse m=80kg dévale une piste verglacée inclinée d’un angle α=30°. La vitesse au début de la plaque de verglas est de v0=7,0m.s-1. La plaque est longue de L=15m. On appelle vf la vitesse atteinte au bas de la plaque. On considère que l’énergie du système se conserve.
1. Compléter le schéma ci-contre en reportant les grandeurs mentionnées dans le texte
z=0 z
2. Choix des origines de l’altitude et d’énergie potentielle. On choisit z=0 au bas de la piste et Ep = 0 quand z=0.
En déduire l’expression de Ep en fonction de m, g et z.
3. Exprimer les énergies cinétique, potentielle et mécanique du skieur au haut de la plaque de verglas (état initial) en fonction des grandeurs adéquates.
4. Exprimer ces mêmes énergies au bas de la plaque de verglas (état final).
5. En utilisant le principe de conservation de l’énergie, déduire l’expression de vf en fonction de v0, m, L et α.
Calculer vf.
VIII. Application 2 : rebond d’une balle :
Ci-dessous sont données différentes courbes relatives au mouvement d’une balle. A partir des documents, répondre aux questions suivantes :
1. De quelle hauteur est lâchée la balle.
2. Sur chacun des graphiques, indiquer le rebond.
3. Comment évoluent les énergies cinétiques et potentielles avant le premier rebond ? A quelle énergie correspond chacune des courbes représentées sur le troisième graphique.
4. Pour le calcul de l’énergie potentielle, où a-t-on choisi l’origine des énergies potentielles de pesanteur ? Justifiez.
5. A partir de la courbe donnant l’évolution de l’énergie potentielle de pesanteur, calculer la masse de la balle.
6. La balle possède-t-elle une vitesse initiale ? Si oui, définir sa direction et son intensité.
7. Que peut-on dire de l’énergie mécanique de la balle avant le premier rebond ?
8. Calculer le pourcentage d’énergie perdue au moment du rebond. Que devient cette énergie ?
9. Calculer la hauteur maximale atteinte par la balle au rebond suivant, si on considère que le pourcentage d’énergie perdue reste le même.
IX. Application 3 : Balançoire
Un enfant se balance sur une balançoire. L’ensemble {balançoire + enfant} est assimilable à un pendule de longueur IG=L=3m, dont la masse totale est m. On considère que l’énergie se conserve au cours du balancement. Lorsque l’enfant est au sommet de sa trajectoire, l’angle θ à la valeur θmax=50°.
1. Montrer que hL
1cos
2. Exprimer l’énergie mécanique de l’enfant au sommet de la trajectoire en fonction de m, L et θmax.
On choisit Ep=0 pour la position représentée en pointillé.
3. Exprimer l’énergie mécanique de l’enfant au passage à la position en pointillé ; on notera sa vitesse vv.
4. Exprimer puis calculer la vitesse vv
X. Application 4 : Lancer de poids :
Au cours d’un lancer de poids, un athlète a effectué un jet de 19,6m. La vitesse initiale de lancement est v0=18m.s-1, lorsque le boulet quitte sa main à une hauteur h0=2,0m. La boule de fonte décrit une trajectoire parabolique ; elle atteint une hauteur maximale hmax=8,0m. On néglige les frottements de l’air lors de la trajectoire parabolique de la boule.
Données : masse de la boule m=7,257kg ; intensité de la pesanteur g=9,8m.s-2. Calculer la valeur de la vitesse de la boule :
1. Au sommet de la trajectoire 2. Lorsqu’elle retombe au sol XI. Application 5 : Plan incliné :
Un mobile de masse m=20kg, lancé avec une vitesse initiale v0=4,0m.s-1, monte avec un mouvement de translation rectiligne le long d’une ligne de plus grande pente d’un plan incliné d’angle =20° par rapport à l’horizontale. Les forces de frottement sont négligées au cours du mouvement.
Déterminer la distance parcourue par le solide avant qu’il ne s’arrête.
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ G
θ G θ G θ G θ G θ G θ G θ G θ G θ G θ G
I θ O θ O θ O θ I θ O θ O θ O θ I θ O θ O θ O θ O θ G θ G θ G θ O θ G θ G θ G θ O θ G
z
z
z
h
Z0
Z0
Z0 L
IG
IG
IG
