Écoulements et viscosité

BLAISE PASCAL PT 2020-2021

DM 3 – à rendre lundi 21 septembre Correction

Écoulements et viscosité

Suspension de VTT

1 Le piston évolue à vitesse constante sous l’effet de la force F#”et des deux forces pressantes sur chacune de ses faces. D’après le théorème de la résultante cinétique,

mdv

dt =F#”+F#”_P,sup+F#”_P,sup d’où 0 =F−P₂πR²+P₁πR², et ainsi

∆P =P2−P1= F πR².

2 Le fluide étant visqueux, la vitesse d’écoulement doit être nulle enr=R+eet enr=Rcar on supposev₀= 0.

On a donc

K1=R et K2=R+e .

PourR≤r≤R+e, le profil est de type parabolique dont on comprend intuitivement qu’il est maximal enr=R+e/2 (ce que l’on peut vérifier par un calcul de dérivée). Comme le piston remonte, l’écoulement est dirigé du haut vers le bas, ce qui est cohérent avec le signe devz<0.

3 Calculons le débit volumique au travers de la couronne circonférencielle, orientée selon−#”e_zcar l’écoulement se fait du haut vers le bas.

D_V =

¨

section

#”v ·dS# ”

=

¨ ∆P

2ηL(r−R)(r−R+e)#”ez·rdrdθ(−#”ez)

=−∆P 2ηL ×

ˆ 2π 0

dθ× ˆ R+e

R

r(r−R)(r−R+e)dr

=−∆P

2ηL ×2π× 1

12[R−(R+e)]³(R+R+e)

=−π∆P

12ηL(−e)³(2R+e) D_V =π∆P e³

12ηL (2R+e)

4 Comme le piston avance à la vitessev0, alors il parcourt la distancev0dt pendant une durée dt. Le volume du compartiment supérieur diminue donc de

dV =πR²v0dt .

L’huile étant incompressible, ce volume de fluide est forcément égal à celui qui traverse la couronne circonférencielle pendant dt, et il est donc relié au débit volumique par

dV =D_V dt . Par identification de ces deux expressions,

DV =πR²v0.

1/2 Étienne Thibierge, 13 septembre 2020,www.etienne- thibierge.fr

Correction DM 3 : Écoulements et viscosité Blaise Pascal, PT 2020-2021 5 En identifiant les deux expressions du débit volumique, il vient

πR²v0=π∆P e³

12ηL (2R+e) R²v₀= e³

12ηL F

πR²(2R+e) v0= F e³

12πηLR⁴(2R+e) Numériquement,

v0= 0,11 m·s⁻¹,

ce qui semble un ordre de grandeur cohérent. Le nombre de Reynolds de l’écoulement vaut Re = v₀e ρ

η = 0,1510³, ce qui confirme que l’écoulement est nettement de type laminaire.

6 La force de viscosité subie par le piston est exercée sur les parois latérales, de normale #”er. Comme le piston se déplace dans le sens desz croissants, elle est dirigée selon−#”ez. Elle a pour norme

Fvisq=η×

dvz

dr (r=R)

×2πRL . En écrivant le champ des vitesses sous la forme

vz(r) =−∆P 2ηL

−r²+ (2R+e)r−R(R+e) on obtient la dérivée

dvz

dr =−∆P

2ηL(−2r+ 2R+e) d’où on déduit

F_visq=η× ∆P

2ηLe×2πRL=πRe∆P =πRe F πR². en remplaçant la différence pression par son expression. On retrouve donc bien

F#”_visq=−e R

#”e_z.

Comme e R, il était donc bien légitime de négliger cette force visqueuse devant les autres forces subies par le piston.

7 D’après le principe des actions réciproques, le piston exerce sur la roue de VTT la force #”

F⁰=−#”

F. En reprenant la question 5,

F#”⁰ =− 12πηLR⁴ (2R+e)e³

#”v₀.

On retrouve la forme classique d’une force d’amortissement linéaire et de sens opposée à la vitesse de compression de l’amortisseur.

2/2 Étienne Thibierge, 13 septembre 2020,www.etienne- thibierge.fr