Ensembles : une approche fonctionnelle INFO1 - Semaine 37 Guillaume CONNAN

(1)

Ensembles : une approche fonctionnelle

INFO1 - Semaine 37

Guillaume CONNAN

IUT de Nantes - Dpt d'informatique

Dernière mise à jour : 2 septembre 2012

(2)

Sommaire

1 Dénition

2 Propriétés et notations 3 Extension - compréhension 4 Inclusion

5 Parties d'un ensemble

6 Opérations

7 Partition d'un ensemble 8 Fonction caractéristique 9 Produit cartésien 10 Notion de cardinal

(3)

Dénition

Sommaire

1 Dénition

6 Opérations

(4)

Dénition Dénition récursive

Dénition 1

Un ensemble d'éléments est :

soit l'ensemble vide, noté ^©ª (ou bien ; ) ;

soit construit en ajoutant un élément x à un ensemble E. On

notera alors cette opération x ⊕ E.

(5)

Dénition 1

Un ensemble d'éléments est :

soit l'ensemble vide, noté ^©ª (ou bien ; ) ;

soit construit en ajoutant un élément x à un ensemble E. On

notera alors cette opération x ⊕ E.

(6)

Dénition 1

Un ensemble d'éléments est :

soit l'ensemble vide, noté ^©ª (ou bien ; ) ;

soit construit en ajoutant un élément x à un ensemble E. On

notera alors cette opération x ⊕ E.

(7)

type ^{’a ens =}

| Vide

| Ens of (’a * ’a ens) ;;

(8)

# Ens(1,Vide) ;;

- : int ens = Ens (1, Vide)

# Ens(3,Ens(2,Ens(1,Vide))) ;;

- : int ens = Ens (3, Ens (2, Ens (1, Vide)))

# let e = Ens(3,Ens(2,Ens(1,Vide))) ;;

val ^{e :} int ens = Ens (3, Ens (2, Ens (1, Vide)))

# ^Ens(4,e) ;;

- : int ens = Ens (4, Ens (3, Ens (2, Ens (1, Vide))))

(9)

Propriétés et notations

Sommaire

1 Dénition

6 Opérations

(10)

Dénition 2 (Axiome d'extensionnalité)

Deux ensembles A et B sont égaux si, et seulement si, ils contiennent les

mêmes éléments. On écrit alors A = B.

(11)

x ⊕ ¡ y ⊕ ©ª¢

= x ⊕ © y ^ª = ©

x , y ^ª

(12)

Exercice 1

On considère les ensembles : E

1

= ©

a ^, b ^, c ^ª , E

2

= ©

b ^, c ^, a ^ª , E

3

= ©

b ^, a ^, a ^, c ^, b ^ª , E

4

= ©

c ^, c ^, c ^, a ^, b ^, a ^, c ^, b ^, b ^, b ^ª , E

₅

= c ⊕ E

₂

.

Quels sont, parmi ces ensembles, ceux qui sont égaux ?

(13)

Extension - compréhension

Sommaire

1 Dénition

6 Opérations

(14)

Extension - compréhension Dénition par extension

A = ©

1 , 3 , 5 , 7 , 9 ^ª

(15)

Extension - compréhension Un très rapide survol de la logique

B

₂

= © VRAI , FAUX ^ª Prédicat

P(x) = (x

²

= 2)

∀ R(x) = (x

²

= 4)

∃

(16)

B

₂

= © VRAI , FAUX ^ª Prédicat

P(x) = (x

²

= 2)

∀ R(x) = (x

²

= 4)

∃

(17)

B

₂

= © VRAI , FAUX ^ª Prédicat

P(x) = (x

²

= 2)

∀ R(x) = (x

²

= 4)

∃

(18)

B

₂

= © VRAI , FAUX ^ª Prédicat

P(x) = (x

²

= 2)

∀ R(x) = (x

²

= 4)

∃

(19)

B

₂

= © VRAI , FAUX ^ª Prédicat

P(x) = (x

²

= 2)

∀ R(x) = (x

²

= 4)

∃

(20)

B

₂

= © VRAI , FAUX ^ª Prédicat

P(x) = (x

²

= 2)

∀ R(x) = (x

²

= 4)

∃

(21)

Extension - compréhension Dénition par compréhension

Entiers impairs ?

(22)

Extension - compréhension Dénition par compréhension

Exercice 2 On note E = ©

x | x ∈ Z ET x

²

= 1 ^ª et F = ©

x | x ∈ R ET | x | = 1 ^ª .

Que pouvez-vous dire de E par rapport à F ?

(23)

Extension - compréhension Dénition récursive

Entiers impairs ?

(24)

Inclusion

Sommaire

1 Dénition

6 Opérations

(25)

Inclusion

A

A ⊆ B

(26)

Parties d'un ensemble

Sommaire

1 Dénition

6 Opérations

(27)

Parties d'un ensemble Dénition

X ∈ P (E) si, et seulement si, X ⊆ E

(28)

Parties d'un ensemble Construction récursive

Il sut de remarquer que si E = ©ª

, alors P(E) = n ©ª o .

Sinon, on peut écrire E sous la forme x ⊕ F avec x un élément quelconque de E.

P(E) est alors l'union de P(F ) et des éléments de P(F ) auxquels on a

ajouté x...

(29)

Il sut de remarquer que si E = ©ª

, alors P(E) = n ©ª o .

Sinon, on peut écrire E sous la forme x ⊕ F avec x un élément quelconque de E.

P(E) est alors l'union de P(F ) et des éléments de P(F ) auxquels on a

ajouté x...

(30)

Il sut de remarquer que si E = ©ª

, alors P(E) = n ©ª o .

Sinon, on peut écrire E sous la forme x ⊕ F avec x un élément quelconque de E.

P(E) est alors l'union de P(F ) et des éléments de P(F ) auxquels on a

ajouté x...

(31)

Opérations

Sommaire

1 Dénition

6 Opérations

(32)

Opérations Intersection

A

B

A ∩ B

(33)

Opérations Union

A B

A ∪ B

(34)

Opérations Diérence

A B

A \ B

(35)

Opérations Diérence symétrique

Dénition 3

La diérence symétrique des ensembles A et B est l'ensemble :

A 4 B =

n x ∈ E | x ∈ A ^\ B ou x ∈ B ^\ A ^o = (A ^\ B) ∪ (B ^\ A) A 4 B = n

x ∈ E | x ∈ A ∪ B et x ∉ A ∩ B ^o = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

A B

A 4 B

(36)

Dénition 3

La diérence symétrique des ensembles A et B est l'ensemble :

A 4 B =

n x ∈ E | x ∈ A ^\ B ou x ∈ B ^\ A ^o = (A ^\ B) ∪ (B ^\ A) A 4 B = n

x ∈ E | x ∈ A ∪ B et x ∉ A ∩ B ^o = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

A B

A 4 B

(37)

Dénition 3

La diérence symétrique des ensembles A et B est l'ensemble :

A 4 B =

n x ∈ E | x ∈ A ^\ B ou x ∈ B ^\ A ^o = (A ^\ B) ∪ (B ^\ A) A 4 B = n

x ∈ E | x ∈ A ∪ B et x ∉ A ∩ B ^o = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

A B

A 4 B

(38)

Opérations Complémentaire

A

Ù

_E

A

(39)

Opérations Lois de De Morgan

Théorème 4 (Lois de De Morgan ) µ

_n

[

i=1

A

i

¶

=

\

n

i=1

A

i

et ^µ ^\

ⁿ

i=1

A

i

¶

=

[

n i=1

A

i

(40)

Opérations Dualité

Idempotence A ∪ A = A A ∩ A = A

Associativité (A ∪ B) ∪ C =

A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∪ (B ∩ C) Commutativité A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

Distributivité A ∪ (B ∩ C) =

(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

= A A ∩ E = A

Involution A = A

E = ©ª ©ª

= E

De Morgan A ∪ B = A ∩ B A ∩ B = A ∪ B

(41)

Partition d'un ensemble

Sommaire

1 Dénition

6 Opérations

(42)

(43)

Exercice 3

Ce qui va nous intéresser informatiquement, c'est une fonction qui crée une partition d'un ensemble selon une propriété, par exemple pour regrouper les entiers pairs parmi les entiers de 0 à 10 dans un ensemble et les autres entiers dans un deuxième ensemble.

À vous de l'imaginer, récursivement bien sûr !

(44)

Fonction caractéristique

Sommaire

1 Dénition

6 Opérations

(45)

Fonction caractéristique

Dénition 5

Soit E un ensemble. Pour toute partie A de E on dénit la fonction caractéristique 1

_A

de A dans E par :

1

_A

:



 

 

1 si x ∈ A

0 si x 6∈ A

(46)

Produit cartésien

Sommaire

1 Dénition

6 Opérations

(47)

Produit cartésien

l'ensemble des entrées :

P = ©

Turbot à l'huile de ricin ^, Chien à l'andalouse ^, Soupe d'orties ^ª l'ensemble des desserts :

(48)

Produit cartésien

l'ensemble des entrées :

P = ©

Turbot à l'huile de ricin ^, Chien à l'andalouse ^, Soupe d'orties ^ª l'ensemble des desserts :

(49)

Produit cartésien

l'ensemble des entrées :

P = ©

Turbot à l'huile de ricin ^, Chien à l'andalouse ^, Soupe d'orties ^ª l'ensemble des desserts :

(50)

Produit cartésien

Menus

Cuisses

Turbot

P B N Chien

P B N Soupe

P B N

×uf

Turbot

P B N Chien

P B N Soupe

P B N

Huîtres

Turbot

P B N Chien

P B N Soupe

P B N

(51)

Produit cartésien

Exercice 4

Comment dénir récursivement le produit cartésien de deux ensembles E

₁

et E

₂

? Cela nous sera utile pour programmer en Caml...

(52)

Notion de cardinal

Sommaire

1 Dénition

6 Opérations

(53)

Notion de cardinal

Ensembles : une approche fonctionnelle INFO1 - Semaine 37 Guillaume CONNAN