Relations INFO1 - Semaines 41 & 42 Guillaume CONNAN

(1)

Relations

INFO1 - Semaines 41 & 42

Guillaume CONNAN

IUT de Nantes - Dpt d'informatique

Dernière mise à jour : 7 octobre 2012

(2)

Sommaire

1 Préliminaires...

2 Relations binaires

3 Fonctions

4 Relations binaires sur un ensemble

(3)

Préliminaires...

Sommaire

1 Préliminaires...

3 Fonctions

(4)

Préliminaires... Un peu de calcul matriciel

c

_ij

=

X

n k=1

a

_ik

b

_kj

(5)

Préliminaires... Calcul booléen

Soit

A =







0 1 1 1 1 0 0 0 1





 et B =







1 1 0 1 0 1 0 1 1







Calculer A ⊕ B (somme booléenne terme à terme), A ⊕ Attila(3 ^, 3) et AZB

(produit matriciel en utilisant le produit booléen Z pour le produit des

termes et ⊕ pour leur somme).

(6)

Relations binaires

Sommaire

1 Préliminaires...

3 Fonctions

(7)

Relations binaires À l'IUT

Dénition 1

Une relation binaire entre deux ensemble E et F est la donnée de E, F et d'un sous-ensemble du produit cartésien E × F .

Une relation n-aire entre n ensembles E

₁

, E

₂

,...,E

_n

est la donnée de ces

ensembles et d'un sous-ensemble du produit cartésien E

1

× E

2

× · · · E

n

.

(8)

Relations binaires Au CE1

(9)

Relations binaires Généalogie

Marcel & Gisèle

Berthe Kurt

Günter & Gertrude

Tatiana Georgina Barbarella

&

Clovis Dagobert Mathémator

Formez les couples (x ^, y) tels que x soit le grand-père de y.

Formez les couples (x , y) tels que x soit le frère de y.

(10)

Relations binaires Généalogie

Marcel & Gisèle

Berthe Kurt

Günter & Gertrude

Tatiana Georgina Barbarella

&

Clovis Dagobert Mathémator

Formez les couples (x ^, y) tels que x soit le grand-père de y.

Formez les couples (x , y) tels que x soit le frère de y.

(11)

Relations binaires Représentation d'une relation

E = © a , b , c , d , e ^ª F = ©

α, β, γ, δ ª G

R

= © (a , γ ) , (b , β ) , (b , δ ) , (d , γ ) , (e , δ ) ^ª G

_R

= ©

a 7→ γ , b 7→ β , b 7→ δ , d 7→ γ , e 7→ δ ª

(12)

E = © a , b , c , d , e ^ª F = ©

α, β, γ, δ ª

G

R

= © (a , γ ) , (b , β ) , (b , δ ) , (d , γ ) , (e , δ ) ^ª G

_R

= ©

a 7→ γ , b 7→ β , b 7→ δ , d 7→ γ , e 7→ δ ª

(13)

E = © a , b , c , d , e ^ª F = ©

α, β, γ, δ ª

G

R

= © (a , γ ) , (b , β ) , (b , δ ) , (d , γ ) , (e , δ ) ^ª G

_R

= ©

a 7→ γ , b 7→ β , b 7→ δ , d 7→ γ , e 7→ δ ª

(14)

E F

a b d e

β γ δ

c

α

(15)

E F

a b d e

β γ δ

c

α

De Vers

a γ

b β , δ

d γ

e δ

(16)

æ α β γ δ

a 0 0 1 0

b 0 1 0 1

c 0 0 0 0

d 0 0 1 0

e 0 0 0 1

R =







0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1







(17)

type

(’a,’b) relation =

Rel

of

(’a * ’b ens) ens

;;

let

^{r = Rel(}

Ens((1, Ens (’a’, Ens (’b’, Vide))), Ens((2, Ens (’c’, Vide)),

Ens((3, Ens (’b’, Vide)), Ens((4, Vide),

Ens((5, Ens (’b’, Vide)), Vide)))))

)

;;

#

^r

;;

- : (

int

^,

char

^{) relation}

(18)

type

Rel

of

;;

let

^{r = Rel(}

)

;;

#

^r

;;

- : (

int

^,

char

^{) relation}

(19)

type

Rel

of

;;

let

^{r = Rel(}

)

;;

#

^r

;;

- : (

int

^,

char

^{) relation}

(20)

Relations binaires Relation transposée

Dénition 2

La relation transposée de la relation R = (E , F , G

_R

) est la relation notée

R

^∼

dénie par R

^∼

= (F , E , G

_R^∼

) avec G

_R^∼

= © (y , x) ∈ F × E | (x , y) ∈ G

_R

^ª ,

c'est-à-dire yR

^∼

x ⇔ xRy.

(21)

Exercice 1

Considérons les ensembles et la relation suivants : Étudiants = ©

Roger, Berthe, Jean-Pierre, Gudrun ^ª ; Chaînes = ©

TF1, Gulli, Zen TV ^ª ;

TV = © (Roger,Gulli),(Berthe,Gulli), (Jean-Pierre,Zen TV),(Gudrun,Gulli) ^ª .

Que pensez-vous de la relation transposée TV

^∼

?

(22)

Exercice 1

Considérons les ensembles et la relation suivants : Étudiants = ©

Roger, Berthe, Jean-Pierre, Gudrun ^ª ; Chaînes = ©

TF1, Gulli, Zen TV ^ª ;

TV = © (Roger,Gulli),(Berthe,Gulli), (Jean-Pierre,Zen TV),(Gudrun,Gulli) ^ª .

Que pensez-vous de la relation transposée TV

^∼

?

(23)

Exercice 1

Considérons les ensembles et la relation suivants : Étudiants = ©

Roger, Berthe, Jean-Pierre, Gudrun ^ª ; Chaînes = ©

TF1, Gulli, Zen TV ^ª ;

TV = © (Roger,Gulli),(Berthe,Gulli), (Jean-Pierre,Zen TV),(Gudrun,Gulli) ^ª .

Que pensez-vous de la relation transposée TV

^∼

?

(24)

Exercice 1

Considérons les ensembles et la relation suivants : Étudiants = ©

Roger, Berthe, Jean-Pierre, Gudrun ^ª ; Chaînes = ©

TF1, Gulli, Zen TV ^ª ;

TV = © (Roger,Gulli),(Berthe,Gulli), (Jean-Pierre,Zen TV),(Gudrun,Gulli) ^ª .

Que pensez-vous de la relation transposée TV

^∼

?

(25)

Exercice 1

Considérons les ensembles et la relation suivants : Étudiants = ©

Roger, Berthe, Jean-Pierre, Gudrun ^ª ; Chaînes = ©

TF1, Gulli, Zen TV ^ª ;

TV = © (Roger,Gulli),(Berthe,Gulli), (Jean-Pierre,Zen TV),(Gudrun,Gulli) ^ª .

Que pensez-vous de la relation transposée TV

^∼

?

(26)

Exercice 1

Considérons les ensembles et la relation suivants : Étudiants = ©

Roger, Berthe, Jean-Pierre, Gudrun ^ª ; Chaînes = ©

TF1, Gulli, Zen TV ^ª ;

TV = © (Roger,Gulli),(Berthe,Gulli), (Jean-Pierre,Zen TV),(Gudrun,Gulli) ^ª .

Que pensez-vous de la relation transposée TV

^∼

?

(27)

R =







0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1







t

R =







0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1







(28)

R =







0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1







t

R =







0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1







(29)

Image Contre-image

E F

a b d e

β γ δ

c

α

(30)

Égalité

E

1

= E

2

et F

1

= F

2

et G

R1

= G

R2

.

(31)

Inclusion

a b c d e

α β γ δ

R₁

a b c d e

α β γ δ

R₂ est une sous-relation de R₁

(32)

Inclusion

a b c d e

α β γ δ

R₁

a b c d e

α β γ δ

R₂ est une sous-relation de R₁

(33)

Réunion

a b c d e

α β γ δ

R₁

a b c d e

α β γ δ

R₂

(34)

Réunion

a b c d e

α β γ δ

R₁∪R₂

(35)

Intersection

a b c d e

α β γ δ

R₁

a b c d e

α β γ δ

R₂

(36)

Intersection

a b c d e

α β γ δ

R₁∩R₂

(37)

Composition

E F=U

a b c d e

α β γ δ

U=F V

1 2 3 4 5 α

β γ δ

E V

a b c d e

1 2 3 4 5

(38)

Composition

E F=U

a b c d e

α β γ δ

U=F V

1 2 3 4 5 α

β γ δ

E V

a b c d e

1 2 3 4 5

(39)

Composition

E F=U

a b c d e

α β γ δ

U=F V

1 2 3 4 5 α

β γ δ

E V

a b c d e

1 2 3 4 5

(40)

Composition

E F=U

a b c d e

α β γ δ

U=F V

1 2 3 4 5 α

β γ δ

E V

a b c d e

1 2 3 4 5

(41)

Composition

E F=U

a b c d e

α β γ δ

U=F V

1 2 3 4 5 α

β γ δ

E V

a b c d e

1 2 3 4 5

(42)

Composition

E F=U

a b c d e

α β γ δ

U=F V

1 2 3 4 5 α

β γ δ

E V

a b c d e

1 2 3 4 5

(43)

Exercice 2

Si R est la matrice de R et S la matrice de S alors quelle sera la matrice de R ; S ?

Exercice 3

Que pensez de R

^∼

◦ R ou de R ◦ R

^∼

? Regardez ce que cela donne avec la relation R introduite précédemment.

Quelle est la relation transposée de S ◦ R

(44)

Exercice 2

Si R est la matrice de R et S la matrice de S alors quelle sera la matrice de R ; S ?

Exercice 3

Que pensez de R

^∼

◦ R ou de R ◦ R

^∼

? Regardez ce que cela donne avec la relation R introduite précédemment.

Quelle est la relation transposée de S ◦ R

(45)

Exercice 2

Si R est la matrice de R et S la matrice de S alors quelle sera la matrice de R ; S ?

Exercice 3

Que pensez de R

^∼

◦ R ou de R ◦ R

^∼

? Regardez ce que cela donne avec la relation R introduite précédemment.

Quelle est la relation transposée de S ◦ R

(46)

Fonctions

Sommaire

1 Préliminaires...

3 Fonctions

(47)

Fonctions

fonction ?

a b c d e

α

β

γ

δ

(48)

Fonctions

fonction ?

a b c d e

α

β

γ

δ

(49)

Fonctions

fonction ?

a b c d e

α

β

γ

δ

(50)

Fonctions

Projection canonique

Dénition 3 (Projection canonique) La fonction totale

π

i

: E

¹

^× E

₂

× . . . × E

_n

→ E

_i

(x

₁

, x

₂

, . . . , x

_n

) 7→ x

_i

est appelée projection canonique de E

₁

× E

₂

× . . . × E

_n

sur E

_i

.

Si tous les E

i

sont égaux au même ensemble E, π

i

est appelée la i

^e

projection.

(51)

Fonctions

Loi de composition

Dénition 4 (Loi de composition)

On appelle loi de composition (ou opération) dans E toute fonction de A × E dans E.

Si A = E, on dit que la loi est une loi de composition interne, sinon on parle de loi de composition externe ou loi mixte.

Si f est une telle loi de composition et (a , x) ∈ A × E , on remplace souvent

la notation préxée f ((a ^, x)) par une notation inxée du style a }x ou

a ∗ x ou a x ou a x ou a + x ou...

(52)

Fonctions

fonction injective

a b c

α

β

γ

δ

(53)

Fonctions

fonction surjective

a b c d

α

β

γ

(54)

Fonctions

fonction bijective

a b c

α

β

γ

(55)

Fonctions

Méthode B

En méthode B on note :

D → p C : fonctions partielles de D vers C ;

D → C : fonctions totales de D vers C ;

D p C : injections partielles de D vers C ;

D C : injections totales de D vers C ;

D p C : surjections partielles de D vers C ;

D C : surjections totales de D vers C ;

D p C : bijections partielles de D sur C ;

D C : bijections totales de D sur C.

(56)

Fonctions

Méthode B

En méthode B on note :

D → p C : fonctions partielles de D vers C ;

D → C : fonctions totales de D vers C ;

D p C : injections partielles de D vers C ;

D C : injections totales de D vers C ;

D p C : surjections partielles de D vers C ;

D C : surjections totales de D vers C ;

D p C : bijections partielles de D sur C ;

D C : bijections totales de D sur C.

(57)

Fonctions

Méthode B

En méthode B on note :

D → p C : fonctions partielles de D vers C ;

D → C : fonctions totales de D vers C ;

D p C : injections partielles de D vers C ;

D C : injections totales de D vers C ;

D p C : surjections partielles de D vers C ;

D C : surjections totales de D vers C ;

D p C : bijections partielles de D sur C ;

D C : bijections totales de D sur C.

(58)

Fonctions

Méthode B

En méthode B on note :

D → p C : fonctions partielles de D vers C ;

D → C : fonctions totales de D vers C ;

D p C : injections partielles de D vers C ;

D C : injections totales de D vers C ;

D p C : surjections partielles de D vers C ;

D C : surjections totales de D vers C ;

D p C : bijections partielles de D sur C ;

D C : bijections totales de D sur C.

(59)

Fonctions

Méthode B

En méthode B on note :

D → p C : fonctions partielles de D vers C ;

D → C : fonctions totales de D vers C ;

D p C : injections partielles de D vers C ;

D C : injections totales de D vers C ;

D p C : surjections partielles de D vers C ;

D C : surjections totales de D vers C ;

D p C : bijections partielles de D sur C ;

D C : bijections totales de D sur C.

(60)

Fonctions

Méthode B

En méthode B on note :

D → p C : fonctions partielles de D vers C ;

D → C : fonctions totales de D vers C ;

D p C : injections partielles de D vers C ;

D C : injections totales de D vers C ;

D p C : surjections partielles de D vers C ;

D C : surjections totales de D vers C ;

D p C : bijections partielles de D sur C ;

D C : bijections totales de D sur C.

(61)

Fonctions

Méthode B

En méthode B on note :

D → p C : fonctions partielles de D vers C ;

D → C : fonctions totales de D vers C ;

D p C : injections partielles de D vers C ;

D C : injections totales de D vers C ;

D p C : surjections partielles de D vers C ;

D C : surjections totales de D vers C ;

D p C : bijections partielles de D sur C ;

D C : bijections totales de D sur C.

(62)

Fonctions

Méthode B

En méthode B on note :

D → p C : fonctions partielles de D vers C ;

D → C : fonctions totales de D vers C ;

D p C : injections partielles de D vers C ;

D C : injections totales de D vers C ;

D p C : surjections partielles de D vers C ;

D C : surjections totales de D vers C ;

D p C : bijections partielles de D sur C ;

D C : bijections totales de D sur C.

(63)

Relations binaires sur un ensemble

Sommaire

1 Préliminaires...

3 Fonctions

(64)

Relations binaires sur un ensemble Au CE1

Relations INFO1 - Semaines 41 & 42 Guillaume CONNAN

Relations

INFO1 - Semaines 41 & 42

Guillaume CONNAN

Dernière mise à jour : 7 octobre 2012

Sommaire

Sommaire

c

=

X

a

b

Soit

A =









0 1 1 1 1 0 0 0 1







 et B =









1 1 0 1 0 1 0 1 1









Calculer A ⊕ B (somme booléenne terme à terme), A ⊕ Attila(3 , 3) et AZB

(produit matriciel en utilisant le produit booléen Z pour le produit des

termes et ⊕ pour leur somme).

Sommaire

Dénition 1

Une relation binaire entre deux ensemble E et F est la donnée de E, F et d'un sous-ensemble du produit cartésien E × F .

Une relation n-aire entre n ensembles E

, E

,...,E

est la donnée de ces

ensembles et d'un sous-ensemble du produit cartésien E

× E

× · · · E

.

Marcel & Gisèle

Berthe Kurt

Günter & Gertrude

Tatiana Georgina Barbarella

&

Clovis Dagobert Mathémator

Formez les couples (x , y) tels que x soit le grand-père de y.

Formez les couples (x , y) tels que x soit le frère de y.

Marcel & Gisèle

Berthe Kurt

Günter & Gertrude

Tatiana Georgina Barbarella

&

Clovis Dagobert Mathémator

Formez les couples (x , y) tels que x soit le grand-père de y.

Formez les couples (x , y) tels que x soit le frère de y.

E = © a , b , c , d , e ª F = ©

α, β, γ, δ ª G

= © (a , γ ) , (b , β ) , (b , δ ) , (d , γ ) , (e , δ ) ª G

= ©

a 7→ γ , b 7→ β , b 7→ δ , d 7→ γ , e 7→ δ ª

E = © a , b , c , d , e ª F = ©

α, β, γ, δ ª

G

= © (a , γ ) , (b , β ) , (b , δ ) , (d , γ ) , (e , δ ) ª G

= ©

a 7→ γ , b 7→ β , b 7→ δ , d 7→ γ , e 7→ δ ª

E = © a , b , c , d , e ª F = ©

α, β, γ, δ ª

G

= © (a , γ ) , (b , β ) , (b , δ ) , (d , γ ) , (e , δ ) ª G

= ©

a 7→ γ , b 7→ β , b 7→ δ , d 7→ γ , e 7→ δ ª

E F

Calculer A ⊕ B (somme booléenne terme à terme), A ⊕ Attila(3 ^, 3) et AZB

Formez les couples (x ^, y) tels que x soit le grand-père de y.

Formez les couples (x ^, y) tels que x soit le grand-père de y.

E = © a , b , c , d , e ^ª F = ©

= © (a , γ ) , (b , β ) , (b , δ ) , (d , γ ) , (e , δ ) ^ª G

E = © a , b , c , d , e ^ª F = ©

= © (a , γ ) , (b , β ) , (b , δ ) , (d , γ ) , (e , δ ) ^ª G

E = © a , b , c , d , e ^ª F = ©

= © (a , γ ) , (b , β ) , (b , δ ) , (d , γ ) , (e , δ ) ^ª G