Opérations, lois, structures en informatique INFO1 - Semaines 43 & 45 Guillaume CONNAN

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Guillaume CONNAN

IUT de Nantes - Dpt d’informatique

Dernière mise à jour : 24 octobre 2013 à 14:47

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1 Loi de composition 2 Groupes

3 Anneaux et corps

4 Structure d’espace vectoriel

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 2 / 41

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3 Anneaux et corps

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Définition 1 (Loi de composition interne (LCI))

Une loi de composition interne définie sur un ensemble E est une fonction totale (ou application) deE_⊗E dans E. On dit alors que E est un magma.

(5)

Définition 2 (Stabilité)

Un ensemble E est stable par une opération_? si, et seulement si :

³

∀〈x,y〉´³

¡〈x,y〉 ∈E⊗E^¢→¡

x_?y∈E^¢^´

(6)

Définition 3 (Loi de composition externe (LCE))

Une loi de composition externe définie sur un ensemble E et à opérateurs dans un ensemble K est une fonction totale (ou application) de K_⊗E dans E.

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Définition 4 (Morphisme)

Soit_〈E,?〉 et_〈F, †〉deux magmas et_ϕ une fonction totale deE dansF. On dit que _ϕest un morphisme de E dans F si, et seulement si :

¡∀x^¢¡∀y^¢¡_ϕ(x_?y)=ϕ(x)†ϕ(y)^¢

(8)

Définition 5 (Isomorphisme)

Soit_〈E,?〉 et_〈F, †〉deux magmas et_ϕ une fonction totale deE dansF. On dit que _ϕest un morphisme de E dans F si, et seulement si, c’est un morphisme BIJECTIF de E dans F.

(9)

Définition 6 (Commutativité)

Une LCI_?sur E est commutative si, et seulement si (_∀x)(_∀y)(x_?y₌y_?x)

(10)

Définition 7 (Associativité)

Une LCI_?sur E est associative si, et seulement si (_∀x)(_∀y)(_∀z)(x_?(y_?z)₌(x_?y)_?z)

Un magma muni d’une loi associative est appelé... un magma associatif.

(11)

Définition 8 (Élément neutre)

Un élément neutre e d’une LCI_?sur E est un élément e_? qui vérifie : (∀x)(x_?e_?=e_?_?x=x)

Un magma associatif admettant un élément neutre est unmonoïde (ou un magma associatif unifère).

Pouvez-vous démontrer que si l’élément neutre existe, il est unique ?

(12)

(13)

(14)

Définition 9 (Élément symétrisable)

Soitx un élément de E. Il est inversible (ou symétrisable) par_? si, et seulement si,

(_∃y)(x_?y₌y_?x₌e_?)

Pouvez-vous démontrer que six admet un symétrique, alors ce symétrique est unique ?

(15)

(_∃y)(x_?y₌y_?x₌e_?)

(16)

(_∃y)(x_?y₌y_?x₌e_?)

(17)

Définition 10 (Régularité)

Un élément ade E est dit régulier à gauche (ousimplifiable à gauche) si, et seulement si :

¡∀x^¢¡_∀y^¢¡(a_?x₌a_?y)_→(x₌y)^¢ On a une définition similaire de la régularité à droite.

Un élément à la fois régulier à gauche et à droite est dit régulier.

Une loi telle que tout élément soit régulier est dite régulière.

Un élément inversible est régulier (vérifiez-le). Un élément régulier est-il inversible ?

(18)

(19)

(20)

Définition 11 (Distributivité)

On dit que la loi _?définie sur E est distributive sur†définie sur E si, et seulement si :

³

∀x^´³∀y^´³∀z^´³^¡x_?(y†z)=(x_?y)†(x_?z)^¢∧¡

(y†z)_?x=(y_?x)†(z_?x)^¢^´

(21)

Définition 12 (Élément absorbant)

Un élément absorbant d’une LCI _?sur E est un élémenta_? qui vérifie : (_∀x)(x_?a_?₌a_?_?x₌a_?)

Montrez que si un tel élément existe, il est unique.

(22)

(23)

(24)

Définition 13 (Élément involutif)

Soit_?une loi sur un ensemble E admettant un élément neutre e_?. Alorsx est involutif si, et seulement si,x_?x=e_?.

Définition 14 (Élément idempotent) Soit_?une loi sur un ensemble E.

Alorsx est idempotentsi, et seulement si,x_?x₌x.

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3 Anneaux et corps

(28)

É.Galois (1811-1832)

(29)

Définition 15 (Groupe)

Un groupe est un monoïde tel que tout élément est inversible.

Définition 16 (Sous-groupe)

〈H_,?〉est un sous-groupe de _〈G,?〉 si, et seulement si, H est une partie de G et _〈H,?〉est un groupe.

(30)

(31)

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3 Anneaux et corps

(33)

(34)

Soit A un ensemble muni de deux lois et.

On dit que _〈A,^, 〉est un anneau si, et seulement si :

〈A,〉est un groupe commutatif ; est associative ;

est distributive sur.

Si est commutative, alors l’anneau est dit commutatif.

Si admet un élément neutre, l’anneau est ditunitaire.

Les éléments d’un anneau unitaire qui admettent un symétrique par sont dits inversibles. On note A^∗ l’ensemble des éléments inversibles de A.

(35)

Définition 17 (Anneau)

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(39)

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(41)

(42)

Définition 18 (Corps)

Soit_K un ensemble muni de deux LCIet . Le triplet_〈K,^, 〉 possède une structure decorpssi, et seulement si,

〈K,^, 〉a une structure d’anneau unitaire ;

〈K\ {e}, 〉a une structure de groupe.

Combien d’éléments a au minimum un corps ?

(43)

(44)

(45)

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(47)

class ⁽Eq â, Show â) => Num â where (+), (-), (*) :: a -> a -> a negate :: a -> a abs, signum :: a -> a fromInteger ^:: Integer ^{-> a}

À quelle structure algébrique peut-on associer la classeNum?

(48)

class ⁽Eq â, Show â) => Num â where (+), (-), (*) :: a -> a -> a negate :: a -> a abs, signum :: a -> a fromInteger ^:: Integer ^{-> a}

À quelle structure algébrique peut-on associer la classeNum?

(49)

class ⁽Num ^a) =>Fractional ^a where (/) :: a -> a -> a recip :: a -> a

fromRational ^:: Rational ^{-> a}

À quelle structure algébrique peut-on associer la classeFrational?

(50)

class ⁽Num ^a) =>Fractional ^a where (/) :: a -> a -> a recip :: a -> a

fromRational ^:: Rational ^{-> a}

À quelle structure algébrique peut-on associer la classeFrational?

(51)

3 Anneaux et corps

(52)

Hermann Graßmann (1809-1877)

(53)

Stefan Banach (1892-1945)

(54)

0 100 200 300 400 500 100

200

300

400

500

3_×Marylin₊Albert

(55)

0 100 200 300 400 500 0

100

200

300

400

500

(56)

0 100 200 300 400 500 100

200

300

400

500

Marylin₊Albert

(57)

0 100 200 300 400 500 0

100

200

300

400

500

(58)

0 100 200 300 400 500 100

200

300

400

500

Marylin₊3_×Albert

(59)

0 100 200 300 400 500 0

100

200

300

400

500

(60)

abélien_〈V_{, †〉}muni d’une loi de compositionexterne _·de_K_⊗V dansV vérifiant les quatre axiomes suivant,_λ et_µ désignant des scalaires

quelconques, u et v des vecteurs quelconques et 1_¯ l’élément neutre de la loi_¯sur _K:

(_λ_⊕µ)_·u₌_λ_·u†µ·u (distributivité vectorielle) ; λ·(u†v)₌_λ_·u†λ·v (distributivité scalaire) ; (_λ_¯µ)·u₌_λ_·(_µ·u) (associativité) ;

1_¯_·u₌u (axiome d’identité) On dit que le corps_K opère sur le groupe _〈V, †〉.

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(61)

Un _K-espace vectorielV sur un corps commutatif_〈K,⊕,¯〉est un groupe abélien_〈V_{, †〉}muni d’une loi de compositionexterne _·de_K_⊗V dansV vérifiant les quatre axiomes suivant,_λ et_µ désignant des scalaires

quelconques, u et v des vecteurs quelconques et 1_¯ l’élément neutre de la loi_¯sur _K:

(_λ_⊕µ)_·u₌_λ_·u†µ·u (distributivité vectorielle) ; λ·(u†v)₌_λ_·u†λ·v (distributivité scalaire) ; (_λ_¯µ)·u₌_λ_·(_µ·u) (associativité) ;

1_¯_·u₌u (axiome d’identité) On dit que le corps_K opère sur le groupe _〈V, †〉.

(62)

〈b1,b2,b3〉†〈b⁰₁,b⁰₂,b⁰₃_{〉 = 〈}b1⊕b₁⁰,b2⊕b⁰₂,b3⊕b₃⁰_〉

(_·) : ^F²^⊗T _→ T

λ,〈b1,b2,b3〉®

7→ 〈λ¯b1,λ¯b2,λ¯b3〉

(63)

〈b1,b2,b3〉†〈b⁰₁,b⁰₂,b⁰₃_{〉 = 〈}b1⊕b₁⁰,b2⊕b⁰₂,b3⊕b₃⁰_〉

(_·) : ^F²^⊗T _→ T

λ,〈b1,b2,b3〉®

7→ 〈λ¯b1,λ¯b2,λ¯b3〉

(64)

bPlus :: BoolInt -> BoolInt -> BoolInt

bPlus b1 b2

|b1 == b2 = O

|otherwise ^{= I}

bFois :: BoolInt -> BoolInt -> BoolInt

bFois I I = I

bFois _ _ = O

cPlus :: BitChaine -> BitChaine -> BitChaine

cPlus c1 c2 = zipWith bPlus c1 c2

prodExt :: BoolInt -> BitChaine -> BitChaine

prodExt b c = map (\x -> bFois b x) c

(65)

*Main> bPlus O I I

*Main> cPlus [O,O,I] [I,O,I]

[I,O,O]

*Main> prodExt I [O,O,I]

[O,O,I]

*Main> prodExt O [O,O,I]

[O,O,O]

(66)

lesBits = [O,I]

lesTrios = [[x,y,z] | x <- lesBits, y <- lesBits, z <- lesBits]

and [prodExt (bPlus b1 b2) t == cPlus (prodExt b1 t) (prodExt b2 t)

| b1 <- lesBits, b2 <- lesBits, t <- lesTrios ]

(67)

Soit_〈K,⊕,¯〉un corps opérant sur le groupe _〈V, †〉pour former un espace vectoriel de produit externe_•.

Soit_〈u₀,u₁,· · ·,u_p_〉 une famille de vecteurs deV.

Un vecteurv deV est une combinaison linéaire de la famille des_〈u_i_〉_0É_i_É_p si, et seulement si, il existe une famille _〈λ₀,λ1,· · ·,λp〉 de scalaires de_K vérifiant :

v₌

i₌p

†

i₌0

λi•u_i ₌_λ₀_•u₀†λ1•u₁†· · ·†λp•u_p L’ensemble de ces combinaisons linéaires est noté :

(68)

u = [O,I,I]

v = [I,O,I]

vect = [cPlus (prodExt b1 u) (prodExt b2 v) | b1 <- lesBits, b2 <- lesBits]

*Main^{> vect}

[[O,O,O],[I,O,I],[O,I,I],[I,I,O]]

(69)

u = [O,I,I]

v = [I,O,I]

vect = [cPlus (prodExt b1 u) (prodExt b2 v) | b1 <- lesBits, b2 <- lesBits]

*Main^{> vect}

[[O,O,O],[I,O,I],[O,I,I],[I,I,O]]

(70)

Définition 21 (Sev)

SoitW un sous-ensemble deV.

Si, muni des mêmes opérations queV,W a une structure de _K-espace vectoriel, alors on dit queW est unsous-espace vectorieldeV.

(71)

Théorème 22 (Caractérisation (1) des sous-espaces vectoriels)

W est un sous-espace vectoriel (sev) deV si, et seulement si :

W _{6= ;}

(_∀u)(_∀v)(_〈u,v_{〉 ∈}W²_→u†v_∈W) (_∀λ)(∀u)(_〈λ,u_{〉 ∈}_K_⊗W →λ•u_∈W)

(72)

W _{6= ;}

(73)

W _{6= ;}

(74)

W _{6= ;}

(75)

W est un sous-espace vectoriel (sev) deV si, et seulement si : 0_∈W

(_∀λ)(_∀u)(_∀v)(_〈λ,u,v_{〉 ∈}_K_⊗W_⊗W _→u†λ•v_∈W)

(76)

(_∀λ)(_∀u)(_∀v)(_〈λ,u,v_{〉 ∈}_K_⊗W_⊗W _→u†λ•v_∈W)

(77)

(_∀λ)(_∀u)(_∀v)(_〈λ,u,v_{〉 ∈}_K_⊗W_⊗W _→u†λ•v_∈W)