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Structures algébriques / Classes en Haskell INFO1 - Semaine 48 Guillaume CONNAN

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Texte intégral

(1)

Guillaume CONNAN

IUT de Nantes - Dpt d’informatique

Dernière mise à jour : 24 novembre 2013 à 23:23

(2)

1 Calcul modulaire sans arithmétique... 2 Rationnels

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 2 / 28

(3)

1 Calcul modulaire sans arithmétique... 2 Rationnels

(4)

Bounded

,

Eq

,

Show

)

Prelude

>

minBound

:: Romain O

Prelude

>

maxBound

:: Romain V

Prelude> minBound :: Int -9223372036854775808 Prelude> maxBound :: Int 9223372036854775807

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 4 / 28

(5)

Prelude

>

data

Romain = O | I | II | III | IV | V

deriving

(

Enum

,

Bounded

,

Eq

,

Show

)

Prelude

>

minBound

:: Romain O

Prelude

>

maxBound

:: Romain V

Prelude

>

minBound

::

Int

-9223372036854775808

Prelude

>

maxBound

::

Int

9223372036854775807

(6)

Bounded

,

Eq

,

Show

)

Prelude

>

minBound

:: Romain O

Prelude

>

maxBound

:: Romain V

Prelude

>

minBound

::

Int

-9223372036854775808

Prelude

>

maxBound

::

Int

9223372036854775807

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 4 / 28

(7)

Prelude

>

data

Romain = O | I | II | III | IV | V

deriving

(

Enum

,

Bounded

,

Eq

,

Show

)

Prelude

>

minBound

:: Romain O

Prelude

>

maxBound

:: Romain V

Prelude

>

minBound

::

Int

-9223372036854775808

Prelude

>

maxBound

::

Int

9223372036854775807

(8)

Prelude

>

succ

II III

Prelude

>

pred

V IV

Prelude

>

succ

V

*** Exception:

succ

{Romain}: tried to

take

‘

succ

’

of last

tag

in

enumeration

Prelude> [II .. V]

[II,III,IV,V]

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 5 / 28

(9)

Prelude

>

succ

II III

Prelude

>

pred

V IV

Prelude

>

succ

V

*** Exception:

succ

{Romain}: tried to

take

‘

succ

’

of last

tag

in

enumeration

Prelude

> [II .. V]

[II,III,IV,V]

(10)

Prelude

>

succ

II III

Prelude

>

pred

V IV

Prelude

>

succ

V

*** Exception:

succ

{Romain}: tried to

take

‘

succ

’

of last

tag

in

enumeration

Prelude

> [II .. V]

[II,III,IV,V]

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 5 / 28

(11)

Prelude

>

succ

II III

Prelude

>

pred

V IV

Prelude

>

succ

V

*** Exception:

succ

{Romain}: tried to

take

‘

succ

’

of last

tag

in

enumeration

Prelude

> [II .. V]

[II,III,IV,V]

(12)

Prelude

> :t

fromEnum

fromEnum

::

Enum

a

=>

a ->

Int

Prelude

>

fromEnum

II 2

Prelude

>

toEnum

5 :: Romain V

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 6 / 28

(13)

Prelude

> :t

fromEnum

fromEnum

::

Enum

a

=>

a ->

Int

Prelude

>

fromEnum

II 2

Prelude

>

toEnum

5 :: Romain V

(14)

Prelude

> :t

fromEnum

fromEnum

::

Enum

a

=>

a ->

Int

Prelude

>

fromEnum

II 2

Prelude

>

toEnum

5 :: Romain V

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 6 / 28

(15)

data

ClasseMod t = (

Eq

t,

Show

t,

Enum

t,

Bounded

t)

=

> Zn t

data

LesZ5 = O5 | I5 | II5 | III5 | IV5

deriving

(

Eq

,

Show

,

Bounded

,

Enum

)

type

Z5 = ClasseMod LesZ5

instance

(

Show

t)

=

>

Show

(ClasseMod t)

where

show

(Zn x) =

show

x

(16)

data

ClasseMod t = (

Eq

t,

Show

t,

Enum

t,

Bounded

t)

=

> Zn t

data

LesZ5 = O5 | I5 | II5 | III5 | IV5

deriving

(

Eq

,

Show

,

Bounded

,

Enum

)

type

Z5 = ClasseMod LesZ5

instance

(

Show

t)

=

>

Show

(ClasseMod t)

where show

(Zn x) =

show

x

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 7 / 28

(17)

data

ClasseMod t = (

Eq

t,

Show

t,

Enum

t,

Bounded

t)

=

> Zn t

data

LesZ5 = O5 | I5 | II5 | III5 | IV5

deriving

(

Eq

,

Show

,

Bounded

,

Enum

)

type

Z5 = ClasseMod LesZ5

instance

(

Show

t)

=

>

Show

(ClasseMod t)

where

show

(Zn x) =

show

x

(18)

*CalMod> Zn II5 II5

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 8 / 28

(19)

succZn :: (ClasseMod t) -> (ClasseMod t)

succZn (Zn x) =

if

(x ==

maxBound

)

then

(Zn

minBound

)

else

( Zn (

succ

x))

*CalMod> succZn (Zn III5) IV5

*CalMod> succZn (Zn IV5) O5

predZn ? ?

(20)

succZn :: (ClasseMod t) -> (ClasseMod t)

succZn (Zn x) =

if

(x ==

maxBound

)

then

(Zn

minBound

)

else

( Zn (

succ

x))

*CalMod> succZn (Zn III5) IV5

*CalMod> succZn (Zn IV5) O5

predZn ? ?

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 9 / 28

(21)

succZn :: (ClasseMod t) -> (ClasseMod t)

succZn (Zn x) =

if

(x ==

maxBound

)

then

(Zn

minBound

)

else

( Zn (

succ

x))

*CalMod> succZn (Zn III5) IV5

*CalMod> succZn (Zn IV5) O5

predZn ? ?

(22)

succZn :: (ClasseMod t) -> (ClasseMod t)

succZn (Zn x) =

if

(x ==

maxBound

)

then

(Zn

minBound

)

else

( Zn (

succ

x))

*CalMod> succZn (Zn III5) IV5

*CalMod> succZn (Zn IV5) O5

predZn ? ?

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 9 / 28

(23)

instance

(

Eq

t,

Show

t,

Enum

t,

Bounded

t)

=

>

Enum

(ClasseMod t)

where

succ

= succZn

*CalMod>

succ

(Zn III5) IV5

(24)

instance

(

Eq

t,

Show

t,

Enum

t,

Bounded

t)

=

>

Enum

(ClasseMod t)

where

succ

= succZn

*CalMod>

succ

(Zn III5) IV5

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 10 / 28

(25)

instance

(

Eq

t,

Show

t,

Enum

t,

Bounded

t)

=

>

Enum

(ClasseMod t)

where

succ

= succZn

pred

= predZn

*CalMod>

pred

(Zn III5) II5

(26)

instance

(

Eq

t,

Show

t,

Enum

t,

Bounded

t)

=

>

Enum

(ClasseMod t)

where

succ

= succZn

pred

= predZn

*CalMod>

pred

(Zn III5) II5

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 11 / 28

(27)

instance

(

Eq

t,

Show

t,

Enum

t,

Bounded

t)

=> Enum

(ClasseMod t)

where

succ

= succZn

pred

= predZn

fromEnum

(Zn x) =

fromEnum

x

*CalMod>

fromEnum

IV5 4

(28)

instance

(

Eq

t,

Show

t,

Enum

t,

Bounded

t)

=> Enum

(ClasseMod t)

where

succ

= succZn

pred

= predZn

fromEnum

(Zn x) =

fromEnum

x

*CalMod>

fromEnum

IV5 4

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 12 / 28

(29)

instance

(

Eq

t,

Show

t,

Enum

t,

Bounded

t)

=

>

Enum

(ClasseMod t)

where

succ

= succZn

pred

= predZn

fromEnum

(Zn x) =

fromEnum

x

toEnum

n = Zn (

toEnum

n)

*CalMod>

toEnum

4 :: Z5 IV5

(30)

instance

(

Eq

t,

Show

t,

Enum

t,

Bounded

t)

=

>

Enum

(ClasseMod t)

where

succ

= succZn

pred

= predZn

fromEnum

(Zn x) =

fromEnum

x

toEnum

n = Zn (

toEnum

n)

*CalMod>

toEnum

4 :: Z5 IV5

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 13 / 28

(31)

instance

(

Eq

t)

=

>

Eq

(ClasseMod t)

where

(Zn x) == (Zn y) = x == y

instance

(

Eq

t,

Show

t,

Enum

t,

Bounded

t)

=

>

Bounded

(ClasseMod t)

where

maxBound

= Zn (

maxBound

)

minBound

= Zn (

minBound

)

(32)

instance

(

Eq

t)

=

>

Eq

(ClasseMod t)

where

(Zn x) == (Zn y) = x == y

instance

(

Eq

t,

Show

t,

Enum

t,

Bounded

t)

=

>

Bounded

(ClasseMod t)

where

maxBound

= Zn (

maxBound

)

minBound

= Zn (

minBound

)

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 14 / 28

(33)

plusZn x y =

if

(

fromEnum

x == 0)

then

y

else

succ

(plusZn (

pred

x) y)

Multiplication ? ?

(34)

plusZn x y =

if

(

fromEnum

x == 0)

then

y

else

succ

(plusZn (

pred

x) y)

Multiplication ? ?

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 15 / 28

(35)

foisZn x y =

if

(

fromEnum

x == 0)

then

(

toEnum

0)

else

if

(

fromEnum

x == 1)

then

y

else

plusZn y (foisZn (

pred

x) y)

(36)

instance

(

Eq

t,

Show

t,

Enum

t,

Bounded

t)

=> Num

(ClasseMod t)

where

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 17 / 28

(37)

instance

(

Eq

t,

Show

t,

Enum

t,

Bounded

t)

=

>

Num

(ClasseMod t)

where

(+) = plusZn

(38)

instance

(

Eq

t,

Show

t,

Enum

t,

Bounded

t)

=

>

Num

(ClasseMod t)

where

(+) = plusZn (*) = foisZn

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 19 / 28

(39)

instance

(

Eq

t,

Show

t,

Enum

t,

Bounded

t)

=> Num

(ClasseMod t)

where

(+) = plusZn (*) = foisZn

fromInteger

= classeOfInt

(40)

instance

(

Eq

t,

Show

t,

Enum

t,

Bounded

t)

=> Num

(ClasseMod t)

where

(+) = plusZn (*) = foisZn

fromInteger

= classeOfInt

negate

x =

toEnum

(- (

fromEnum

x) + (

fromEnum

(

maxBound

::

ClasseMod t)) + 1)

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 21 / 28

(41)

*CalMod> 2 :: Z5 II5

(42)

*CalMod> 2 :: Z5 II5

*CalMod> 17 :: Z5 II5

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 23 / 28

(43)

*CalMod> 2 :: Z5 II5

*CalMod> 17 :: Z5 II5

*CalMod> (-3) :: Z5 II5

(44)

*CalMod> 2 :: Z5 II5

*CalMod> 17 :: Z5 II5

*CalMod> (-3) :: Z5 II5

*CalMod> (-3) + 9 :: Z5 I5

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 25 / 28

(45)

*CalMod> 2 :: Z5 II5

*CalMod> 17 :: Z5 II5

*CalMod> (-3) :: Z5 II5

*CalMod> (-3) + 9 :: Z5 I5

*CalMod> 3 * 7 :: Z5 I5

(46)

*CalMod> 2 :: Z5 II5

*CalMod> 17 :: Z5 II5

*CalMod> (-3) :: Z5 II5

*CalMod> (-3) + 9 :: Z5 I5

*CalMod> 3 * 7 :: Z5 I5

*CalMod> 301 * 7157 :: Z5 II5

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 27 / 28

(47)

1 Calcul modulaire sans arithmétique... 2 Rationnels

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