Logique des propositions INFO1 - Semaines 36 & 37 Guillaume CONNAN

(1)

Logique des propositions

INFO1 - Semaines 36 & 37

Guillaume CONNAN

IUT de Nantes - Dpt d’informatique

Dernière mise à jour : 29 août 2013 à 20:55

(2)

Sommaire

1 Test préliminaire 2 Contexte 3 Syntaxe

4 Sémantique 5 Portes logiques

6 Approche formelle de la logique propositionnelle

(3)

(4)

your logic.

Spock:That is a most illogical attitude.

(5)

Sommaire

(6)

Soit un entier naturel n inférieur à 20. On considère la proposition

« si n est pair, alors son successeur est premier ». Quels sont les entiers qui rendent cette proposition vraie ?

(7)

Réponses

Ça y est ? Bon, analysons les réponses possibles. Notons E₌0,20. Vous avez répondu...

... « 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19 » : vous avez triché ou bien vous avez eu un bon cours de logique au lycée et vous l’avez bien étudié. La lecture des paragraphes suivants va vous permettre d’aller plus loin ;

... « 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18 » : c’est bien, vous n’avez pas triché mais malheureusement ce n’est pas la bonne réponse. La lecture des paragraphes suivants devrait vous permettre de progresser en logique pour affronter sereinement vos deux années d’Iut.

...« tous » : vous avez eu raison de ne pas sortir le jeudi soir pour travailler et vous remettre à niveau. La lecture des paragraphes suivants devrait vous permettre de découvrir la logique, l’arithmétique et la mathématique en général pour affronter sereinement vos deux années d’Iut.

(8)

Réponses

(9)

Réponses

(10)

Sommaire

(11)

proposition

«Igor dort» prédicats

«X dort» sémantique Vrai ou Faux ? syntaxe

construction des formules

(12)

proposition

(13)

proposition

(14)

proposition

(15)

proposition

(16)

proposition

(17)

proposition

(18)

proposition

(19)

proposition

(20)

Sommaire

(21)

propositions atomiques.

⊥

>

¬

∧

∨

→

↔

« ( » et « ) ».

(22)

⊥

>

¬

∧

∨

→

↔

« ( » et « ) ».

(23)

⊥

>

¬

∧

∨

→

↔

« ( » et « ) ».

(24)

⊥

>

¬

∧

∨

→

↔

« ( » et « ) ».

(25)

⊥

>

¬

∧

∨

→

↔

« ( » et « ) ».

(26)

⊥

>

¬

∧

∨

→

↔

« ( » et « ) ».

(27)

⊥

>

¬

∧

∨

→

↔

« ( » et « ) ».

(28)

⊥

>

¬

∧

∨

→

↔

« ( » et « ) ».

(29)

⊥

>

¬

∧

∨

→

↔

« ( » et « ) ».

(30)

L’ensemble des formules de la logique propositionnelle est le plus petit en- sembleFtel que :

⊥est un élément deF;

toute proposition atomique est un élément deF;

sip_∈F, alors(¬p)_∈F; sipetqsont dansF, alors (p_∧q),(p_∨q),(p_→q),et (p_↔q)sont des éléments deF; il n’y a pas d’autres expressions bien formées que celles décrites par les règles précédentes.

type ^{Atome =} Char data ^{Formule =}

Faux

|Atomic Atome

|Non Formule

|Et Formule Formule

|Ou Formule Formule

|Imp Formule Formule

|Equiv Formule Formule

Que remarquez-vous d’un peu bizarre ?

(31)

Faux

|Atomic Atome

|Non Formule

|Et Formule Formule

|Ou Formule Formule

(32)

Faux

|Atomic Atome

|Non Formule

|Et Formule Formule

|Ou Formule Formule

(33)

Faux

|Atomic Atome

|Non Formule

|Et Formule Formule

|Ou Formule Formule

(34)

Faux

|Atomic Atome

|Non Formule

|Et Formule Formule

|Ou Formule Formule

(35)

Faux

|Atomic Atome

|Non Formule

|Et Formule Formule

|Ou Formule Formule

(36)

Faux

|Atomic Atome

|Non Formule

|Et Formule Formule

|Ou Formule Formule

(37)

Faux

|Atomic Atome

|Non Formule

|Et Formule Formule

|Ou Formule Formule

(38)

Faux

|Atomic Atome

|Non Formule

|Et Formule Formule

|Ou Formule Formule

(39)

Faux

|Atomic Atome

|Non Formule

|Et Formule Formule

|Ou Formule Formule

(40)

Faux

|Atomic Atome

|Non Formule

|Et Formule Formule

|Ou Formule Formule

(41)

Faux

|Atomic Atome

|Non Formule

|Et Formule Formule

|Ou Formule Formule

(42)

−− Opé r a t e u r s i n f i x e s p l u s p r a t i q u e s à u t i l i s e r µ x = Atomic x

x & y = Et x y x § y = Ou x y x ==> y = Imp x y x <==> y = Equiv x y

−− exemple de f o r m u l e

Non ((µ ’p’) & (µ ’q’)) <==> (Non (µ ’p’) § Non (µ ’q’))

(43)

−− Opé r a t e u r s i n f i x e s p l u s p r a t i q u e s à u t i l i s e r µ x = Atomic x

x & y = Et x y x § y = Ou x y x ==> y = Imp x y x <==> y = Equiv x y

−− exemple de f o r m u l e

Non ((µ ’p’) & (µ ’q’)) <==> (Non (µ ’p’) § Non (µ ’q’))

(44)

priorités

¬est prioritaire sur les autres opérateurs ;

∨et_∧ sont prioritaires sur_→ et_↔. Mais attention !p_∨q_∧r est ambigu.

(45)

priorités

(46)

priorités

(47)

priorités

(48)

priorités et Haskell

infixr ^{2 &}

x & y = Et x y infixr 2 § x § y = Ou x y infixr ^{1 =}=>

x ==> y = Imp x y infixr ^{1 <=}=>

x <==> y = Equiv x y

s ==> (p & (Non (q))) § (p <==> (Non r))

(49)

priorités et Haskell

infixr ^{2 &}

x & y = Et x y infixr 2 § x § y = Ou x y infixr ^{1 =}=>

x ==> y = Imp x y infixr ^{1 <=}=>

x <==> y = Equiv x y

s ==> (p & (Non (q))) § (p <==> (Non r))

(50)

connecteurs

Remarques

Il y a bien plus de connecteurs logiques que ceux évoqués ici : combien y en a-t-il à votre avis ?

On parle aussi d’arité d’un connecteur. Par exemple, _¬ est un connecteur d’arité 1 et_∧est un connecteur d’arité 2.

(51)

connecteurs

Exercice 2

Quelles sont les sous-formules de : s_→((p_∧(_¬q))_∨(p_↔(_¬r)))

(64)

Exemple 2

f: F⁴ _→ F

(p,q,r,s) _7→ s_→((p_∧(_¬q))_∨(p_↔(_¬r)))

f_boule :: Formule -> Formule -> Formule -> Formule -> Formule f_boule p q r s =

s ==> (p & (Non (q))) § (p <==> (Non r))

(65)

Exemple 2

f: F⁴ _→ F

(p,q,r,s) _7→ s_→((p_∧(_¬q))_∨(p_↔(_¬r)))

f_boule :: Formule -> Formule -> Formule -> Formule -> Formule f_boule p q r s =

s ==> (p & (Non (q))) § (p <==> (Non r))

(66)

Sommaire

(67)

Valeurs sous un environnement

Définition 3

−− exemple d ’ e n v i r o n n e m e n t

env1 = Dic.fromList[(’p’,True),(’q’,False)]

−− é v a l u a t i o n r é c u r s i v e d ’ une f o r m u l e s o u s un e n v i r o n n e m e n t eval :: Formule -> Environnement -> Bool

eval Faux env = False eval (Atomic a) env = env Dic.! a

eval (Non f) env = if (eval f env) then False else True

eval (Et f g) env = if (eval f env) then (eval g env) else False eval (Ou f g) env = if (eval f env) then True else (eval g env) eval (Imp f g) env = eval (Non (f & (Non g))) env

eval (Equiv f g) env = eval ((f & g) § ((Non f) & (Non g))) env

(85)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(86)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(87)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(88)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(89)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(90)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(91)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(92)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(93)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(94)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(95)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(96)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(97)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(98)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(99)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(100)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(101)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(102)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(103)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(104)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(105)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(106)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(107)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(108)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(109)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(110)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(111)

Tables de vérité

p_∨(¬q_→p)

p q _¬q _¬q_→p p_∨(_¬q_→p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

(112)

*Main ^Dic> let ^{p9 =} µ ’p’ § ( Non ( µ ’q’) ==> _µ ’p’)

*Main Dic> table_verite p9 [(’p’,True^),(’q’,True^)] −−> True [(’p’,True^),(’q’,False^)] −−> True [(’p’,False),(’q’,True)] ₋₋> True [(’p’,False^),(’q’,False^)] −−> F a l s e

(113)

Tables de vérité de_∧,_∨,_→,_↔? V(_⊥,v)₌0 ;

sip est une variable atomique alorsV(p,v)₌v(p); V(_¬p,v)=1 ssi, V(p,v)=0(NÉGATION) ;

V(p_∧q,v)=1 ssiV(p,v)=V(q,v)=1 (CONJONCTION) ; V(p_∨q,v)₌0 ssi, V(p_,v)₌V(q_,v)₌0 (DISJONCTION) ; V(p_→q,v)₌0 ssi, V(p,v)₌1 etV(q,v)₌0 (IMPLICATION) ; V(p_↔q,v)₌1 ssi, V(p,v)₌V(q,v) (ÉQUIVALENCE),

(114)

(115)

V(p_∧q,v)=1 ssiV(p,v)=V(q,v)=1(CONJONCTION) ; V(p_∨q,v)₌0 ssi, V(p_,v)₌V(q_,v)₌0 (DISJONCTION) ; V(p_→q,v)₌0 ssi, V(p,v)₌1 etV(q,v)₌0 (IMPLICATION) ; V(p_↔q,v)₌1 ssi, V(p,v)₌V(q,v) (ÉQUIVALENCE),

(116)

(117)

(118)

sip est une variable atomique alorsV(p,v)₌v(p); V(_¬p,v)=1 ssi, V(p,v)=0 (NÉGATION) ;

(119)

(120)

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