Les relations en informatique INFO1 - Semaines 39 & 40 Guillaume CONNAN

(1)

Les relations en informatique

INFO1 - Semaines 39 & 40

Guillaume CONNAN

IUT de Nantes - Dpt d’informatique

Dernière mise à jour : 23 septembre 2013 à 12:29

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 1 / 49

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Sommaire

1 Relations binaires

2 Fonctions

3 Relations binaires sur un ensemble

(3)

Relations binaires

Sommaire

2 Fonctions

(4)

Relations binaires Au CE1

(5)

Relations binaires Au CM1

(6)

Relations binaires À l’Iut







1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1







(7)

De Vers

C landau, poupée

N landau

M poupée

O ballon, train

D train

H train

(8)

E₌^©C,M,N,O,D,H^ª F₌^©_`,p,b,f,t^ª GR=©

(C,`),(C,p),(N,`),(M,p),(O,b),(O,t),(D,t),(H,t)^ª

G_R₌^©C_7→_`,C_7→p,N_7→_`,M_7→p,O_7→b,O_7→t,D_7→t,H_7→t^ª

(9)

(C,`),(C,p),(N,`),(M,p),(O,b),(O,t),(D,t),(H,t)^ª G_R₌^©C_7→_`,C_7→p,N_7→_`,M_7→p,O_7→b,O_7→t,D_7→t,H_7→t^ª

(10)

(C,`),(C,p),(N,`),(M,p),(O,b),(O,t),(D,t),(H,t)^ª G_R₌^©C_7→_`,C_7→p,N_7→_`,M_7→p,O_7→b,O_7→t,D_7→t,H_7→t^ª

(11)

import qualified Data.Map as Map import qualified Data.Set as Set

data Rel a b = Rel (Set.Set a, Set.Set b, Map.Map a (Set.Set b)) e = Set.fromList [’C’,’N’,’M’,’O’,’D’,’H’]

f = Set.fromList [’l’,’p’,’b’,’f’,’t’]

g = Map.fromList [(’C’,Set.fromList [’l’,’p’]), (’N’,Set.fromList [’l’]), (’M’,Set.fromList [’p’]), (’O’,Set.fromList [’b’,’t’]), (’D’,Set.fromList [’t’]), (’H’,Set.fromList [’t’]) ]

r = Rel(e,f,g)

(12)

Après, il n’y a plus qu’à construire une multitude de fonctions :

source :: Rel a b -> Set.Set a source (Rel (s,b,gr)) = s but :: Rel a b -> Set.Set b but (Rel (s,b,gr)) = b

graphe :: Rel a b -> Map.Map a (Set.Set b) graphe (Rel (s,b,gr)) = gr

images_de ::(Ord a) => Rel a b -> a -> Set.Set b images_de rel e1 = (graphe rel) Map.! e1

est_en_relation ::(Ord ^a, Ord ^b) => Rel a b -> a -> b -> Bool est_en_relation rel e1 e2 = Set.member e2 (images_de rel e1)

(13)

Mettons tout ceci au clair : Définition 1

Unerelation binaire entre deux ensemble E et F est la donnée de E, F et d’un sous-ensemble du produit cartésienE_×F.

Unerelation n-aire entre n ensemblesE₁,E₂,...,E_n est la donnée de ces ensembles et d’un sous-ensemble du produit cartésien E1×E2× · · ·En.

(14)

Définition 2

L’ensemble des éléments de E qui ont au moins une image parRest l’ensemble de définition oudomainede définition de la relationR que l’on note le plus souvent parDR ou dom(R). Remarquons que l’on a forcément dom(R)_⊆E.

dom(R)₌^©x_{| ∃}y((x,y)_∈G_R)^ª

Définition 3

L’ensemble des éléments de F qui ont au moins un antécédent dans E est appelé l’image deR ou l’image deE par Rou lecodomaine deR. On utilise indifféremment les notations suivantes pour désigner le codomaine de Rnoté ImRou Im(R) ou Ran(R) ou codom(R)

(15)

Définition 2

dom(R)₌^©x_{| ∃}y((x,y)_∈G_R)^ª

Définition 3

Ran(R)₌^©y_{| ∃}x((x,y)_∈G_R)^ª

(16)

Définition 2

dom(R)₌^©x_{| ∃}y((x,y)_∈G_R)^ª

Définition 3

(17)

Matrice d’adjacence

Si les ensemblesE et F sont définis par :

E₌{x₁,x₂,· · ·,x_n} F₌^©y₁,y₂_{,· · ·},y_p^ª

alors la relationR est définie par la matriceR₌(r_i,j)_∈M_n,p définie par :

R₌







r_1,1 _{· · ·} r_1,j · · · r_1,p

... ... ...

r_i,1 r_i,j r_i,p

... ... ...

r_n,1 _{· · ·} r_n,j · · · r_n,p







avecri,j=

( 1 six_iRy_j 0 sinon

(18)

Relations binaires Relation transposée

Définition 4

Larelation transposéede la relationR₌(E,F,GR)est la relation notée

tRdéfinie par ^tR₌(F,E,G^tR) avecG^tR⁼

©(y,x)_|(x,y)_∈GRª

, c’est-à-dire y^tRx_⇔xRy.

(19)

Exemple

Considérons les ensembles et la relation suivants : Étudiants₌^©Roger, Berthe, Jean-Pierre, Gudrun^ª; Chaînes₌^© TF1, Gulli, Zen TV^ª;

TV₌^©Roger_7→Gulli, Berthe_7→ Gulli, Jean-Pierre_7→ Zen TV, Gudrun 7→Gulli^ª.

Ainsi la relationTV _∈Étudiants_←→Chaîne peut s’interpréter en « ...

regarde ... ».

Que pensez-vous de la relation transposée ?

(20)

Exemple

regarde ... ».

(21)

Exemple

regarde ... ».

(22)

Exemple

regarde ... ».

(23)

Exemple

regarde ... ».

(24)

Relations binaires Image, contre image

Définition 5

SiU est une partie deE, R(U)désigne l’ensemble des images des éléments deU parR.

Définition 6

SiV est une partie de F, la contre image (ou l’image transposée) deV par Rest l’image de V par ^tR.Elle est donc notée ^tR(V).

(25)

Définition 5

Définition 6

(26)

Définition 5

Définition 6

(27)

E F

a b d e

β γ δ

c

α

Image et contre-image

(28)

Relations binaires Égalité de deux relations

Définition 7

Les relationsR₁₌(E₁,F₁,G_R₁) et R₂₌(E₂,F₂,G_R₂) sont égales si, et seulement si, E₁₌E₂ ETF₁₌F₂ ETGR₁=GR₂.

(29)

Définition 7

(30)

Définition 7

(31)

Définition 7

(32)

Relations binaires Principales opérations sur les relations

Définition 8

Lanégation deR₁ (on dit aussi le complémentaire de R₁) est la relation : R₁₌(E,F,ÙE×FGR1)

(33)

Définition 9

On dit que la relation R₁ est incluse dans la relationR₂ ou que la relation R₁ est unesous relation de la relationR₂ si, et seulement si,GR₁⊆GR₂. Cela signifie que

xR₁y_⇒xR₂y et on écrit alorsR₁_⊆R₂.

(34)

Inclusion

a b c d e

α β γ δ

a b c d e

α β γ δ

(35)

Inclusion

a b c d e

α β γ δ

R₁

a b c d e

α β γ δ

R₂ est une sous-relation deR₁

(36)

Méthode B

Voici les notations utilisées en méthode B,Rdésignant une relation deE vers F.

Obligatoirement A_⊆E etB_⊆F.

La relation(E,F,GR∩(A_×F)) est notée ACR,c’est une sous relation de Ret les informaticiens parlent de « restriction de domaine ».

La relation(E,F,G_R_∩(E_×B))est notée RBB,c’est une sous relation de Ret les informaticiens parlent de « restriction de codomaine ».

La relation(E,F,GR∩(A_×B))est notée ACRBB, c’est une sous

(37)

Méthode B

La relation(E,F,GR∩(A_×B))est notée ACRBB, c’est une sous relation de Ret les informaticiens parlent de « restriction de domaine et de codomaine ».

(38)

Méthode B

La relation(E,F,GR∩(A_×B))est notée ACRBB, c’est une sous

(39)

Définition 10

Laréunion deR₁ et de R₂ est la relation R₁_∪R₂₌(E,F,GR1∪GR2). L’intersection deR₁ et deR₂ est la relation R₁_∩R₂₌(E,F,GR₁∩GR₂).

(40)

a b c d e

α β γ δ

R₁

(41)

a b c d e

α β γ δ

R₂

(42)

a b c d e

α β γ δ

R₁∪R₂

(43)

a b c d e

α β γ δ

R₁

(44)

a b c d e

α β γ δ

R₂

(45)

a b c d e

α β γ δ

R₁∩R₂

(46)

Relations binaires Composition de relations

Définition 11

R₌(E,F,GR) et S₌(U,V,GS) sont deux relations. La composée deR et S est la relation (E,V,G_S_◦_R)avec

GS◦R=©

(x,z)_∈E_×V_{| ∃}y_∈F, (x,y)_∈GR∧(y,z)_∈GSª

(47)

Composition

E F=U

a b c d e

α β γ δ

U=F V

1 2 3 4 5 α

β γ δ

E V

a b c d e

1 2 3 4 5

(48)

Composition

E F=U

a b c d e

α β γ δ

U=F V

1 2 3 4 5 α

β γ δ

E V

a b c d e

1 2 3 4 5

(49)

Composition

E F=U

a b c d e

α β γ δ

U=F V

1 2 3 4 5 α

β γ δ

E V

a b c d e

1 2 3 4 5

(50)

Cri

Quelle est la tête de la relation (Baptême ; Cri) et comment l’interpréter ?

(51)

Cri

(52)

Cri

(53)

Cri

(54)

Fonctions

Sommaire

2 Fonctions

(55)

Fonctions

Définition 12

On dit que la relationf ₌(E,F,G_f) est unefonctiondeE vers (ou dans) F si, et seulement si, tout élément de E aau plus(cela veut dire : soit zéro ou une) une image dans F.

(56)

Fonctions

fonction ?

a b c d e

α β γ δ

(57)

Fonctions

fonction ?

a b c d e

α β γ δ

(58)

Fonctions

fonction ?

a b c d e

α β γ δ

(59)

Fonctions Fonctions particulières

Définition 13 (Projection canonique) La fonction totale

πi: E₁_×E₂_×. . .×E_n _→ E_i (x₁,x₂, . . . ,x_n) _7→ x_i

est appelée projection canonique de E₁_×E₂_×. . .×E_n surE_i. Si tous lesE_i sont égaux au même ensembleE,_π_i est appelée la i^e projection.

(60)

Définition 14 (Fonction identité) C’est la fonction totale définie sur E par

Id_E: E _→ E x _7→ x

(61)

Définition 15 (Composition réitérée)

Sif est une fonction totale de E dansE,on note f^k la composition f _◦f _{◦ · · · ◦}f

| {z }

k fois

sik est un entier naturel non nul et, par convention, f⁰₌id_E.

(62)

Définition 16 (Fonction caractéristique)

1A:

E _→ ^©0,1^ª

x _7→







1 six_∈A 0 six_6∈A

(63)

Définition 17 (Loi de composition)

On appelle loi de composition (ou opération) dansE toute fonction de A_×E dansE.

SiA₌E, on dit que la loi est une loi de composition interne, sinon on parle de loi de composition externe ou loi mixte.

Sif est une telle loi de composition et(a,x)_∈A_×E,on remplace souvent lanotation préfixéef((a,x))par unenotation infixée du stylea}x ou a_∗x ou ax ou a x ou a₊x ou...

(64)

(65)

(66)

Prelude^> let biplus = \(a,b) -> a + b + b Prelude> :t biplus

biplus :: (Integer, Integer) -> Integer Prelude^> let (++) a b = biplus (a,b) Prelude> 1 ++ 2

5

Prelude> biplus (1,2) 5

(67)

fonction injective

a b c

α β γ δ

(68)

fonction surjective

a b c d

α β γ

(69)

fonction bijective

a b c

α β γ

(70)

Méthode B

En méthode B on note :

D_→p C : fonctions partielles de D vers C ; D_→C : fonctions totales de D vers C ; Dp C : injections partielles de D vers C ; DC : injections totales de D vers C ; Dp C : surjections partielles de D vers C ; DC : surjections totales de D vers C ; Dp C : bijections partielles de D sur C ; DC : bijections totales de D sur C.

(71)

Méthode B

(72)

Méthode B

(73)

Méthode B

(74)

Méthode B

(75)

Méthode B

(76)

Méthode B

(77)

Méthode B

(78)

Relations binaires sur un ensemble

Sommaire

2 Fonctions

(79)

Relations binaires sur un ensemble