Méthodes numériques II : Calcul diﬀérentiel INFO1 - Semaines 7 & 8 Guillaume CONNAN

(1)

Méthodes numériques II : Calcul différentiel

INFO1 - Semaines 7 & 8

Guillaume CONNAN

IUT de Nantes - Dpt d’informatique

Dernière mise à jour : 18 février 2014 à 23:29

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 1 / 57

(2)

Sommaire

1 Le calcul infinitésimal

2 Comment calculer un logarithme sur machine..au XVII

^e

siècle ?

3 Polynômes et erreurs 4 Série de Taylor 5 Développements limités

(3)

Le calcul infinitésimal

Sommaire

1 Le calcul infinitésimal

2 Comment calculer un logarithme sur machine..au XVII

^e

siècle ?

3 Polynômes et erreurs 4 Série de Taylor 5 Développements limités

(4)

Le calcul infinitésimal Infiniment petits

Jean Bernoulli (1691), les infiniment petits sont des quantités qui peuvent être ajoutées à des quantités finies sans changer leurs valeurs. Les courbes sont des polygones à côtés infiniment courts.

x y

0 A

a f(a)

M

h

a + h f(a + h)

y

x

(5)

Le calcul infinitésimal Infiniment petits

Jean Bernoulli (1691), les infiniment petits sont des quantités qui peuvent être ajoutées à des quantités finies sans changer leurs valeurs. Les courbes sont des polygones à côtés infiniment courts.

x y

0 A

a f(a)

M

h

a + h f(a + h)

y

x

(6)

Le calcul infinitésimal Règles de dérivation

Théorème 1 (Dérivation d’une combinaison linéaire) y ₌ au ₊ bv _=⇒ ^d y

d x ⁼ a _· ^d u

d x ⁺ b _· ^d v

d x ou bien y ⁰ ₌ a _· u ⁰ ₊ b _· v ⁰

(7)

Le calcul infinitésimal Dérivée d’un produit

Théorème 2 (Dérivation d’un produit) y ₌ u _· v _=⇒

(8)

1 1 ₋ 10 ⁻⁵ ^≈ 1 , 0000100001 ₌ 1 ₊ 10 ⁻ ⁵ ₊ 10 ⁻ ¹⁰ 1

1 ₋ x ⁼ 1 _+δ 1 ₌ 1 ₋ x ₊ _δ (1 ₋ x)

δ = x ₊ _δ x

1 1 ₋ x ^≈ 1 ₊ x

(9)

1 1 ₋ 10 ⁻⁵ ^≈ 1 , 0000100001 ₌ 1 ₊ 10 ⁻ ⁵ ₊ 10 ⁻ ¹⁰ 1

1 ₋ x ⁼ 1 _+δ 1 ₌ 1 ₋ x ₊ _δ (1 ₋ x)

δ = x ₊ _δ x

1 1 ₋ x ^≈ 1 ₊ x

(10)

1 1 ₋ 10 ⁻⁵ ^≈ 1 , 0000100001 ₌ 1 ₊ 10 ⁻ ⁵ ₊ 10 ⁻ ¹⁰ 1

1 ₋ x ⁼ 1 _+δ 1 ₌ 1 ₋ x ₊ _δ (1 ₋ x)

δ = x ₊ _δ x

1 1 ₋ x ^≈ 1 ₊ x

(11)

1 1 ₋ 10 ⁻⁵ ^≈ 1 , 0000100001 ₌ 1 ₊ 10 ⁻ ⁵ ₊ 10 ⁻ ¹⁰ 1

1 ₋ x ⁼ 1 _+δ 1 ₌ 1 ₋ x ₊ _δ (1 ₋ x)

δ = x ₊ _δ x

1 1 ₋ x ^≈ 1 ₊ x

(12)

1 1 ₋ 10 ⁻⁵ ^≈ 1 , 0000100001 ₌ 1 ₊ 10 ⁻ ⁵ ₊ 10 ⁻ ¹⁰ 1

1 ₋ x ⁼ 1 _+δ 1 ₌ 1 ₋ x ₊ _δ (1 ₋ x)

δ = x ₊ _δ x 1

1 ₋ x ^≈ 1 ₊ x

(13)

En 1593, François Viète établit avec une méthode similaire que, pour tout réel x tel que _| x _{| <} 1, on a :

1 1 ₋ x ⁼ 1 ₊ x ₊ x ² ₊ x ³ ₊ x ⁴ ₊ x ⁵ _{+ · · ·}

(14)

Théorème 3 (Dérivation d’un quotient) y ₌ u

v ^=⇒

(15)

Théorème 4 (Dérivation de fonctions composées) d y

d x ⁼ d y d z ^·

d z

d x ou h ⁰ (x ) ₌ f ⁰ ^¡ g (x) ^¢ _· g ⁰ (x)

(16)

Comment calculer un logarithme sur machine..au XVII^e siècle ?

Sommaire

1 Le calcul infinitésimal

2 Comment calculer un logarithme sur machine..au XVII

^e

siècle ?

3 Polynômes et erreurs 4 Série de Taylor 5 Développements limités

(17)

Comment calculer un logarithme sur machine..au XVII^e

siècle ? Calcul d’une approximation d’une racine carrée par la méthode de Héron

Si x n est une approximation strictement positive par défaut de ^p a, alors a/x _n est une approximation par excès de ^p a (pourquoi ?) et vice-versa.

La moyenne arithmétique de ces deux approximations est ¹ ₂ ^³ x n + _x ^a

_n

´ et constitue une meilleure approximation que les deux précédentes.

On peut montrer c’est une approximation par excès (en développant (x n − p

a) ² par exemple).

(18)

Si x n est une approximation strictement positive par défaut de ^p a, alors a/x _n est une approximation par excès de ^p a (pourquoi ?) et vice-versa.

La moyenne arithmétique de ces deux approximations est ¹ ₂ ^³ x n + _x ^a

_n

´ et constitue une meilleure approximation que les deux précédentes.

On peut montrer c’est une approximation par excès (en développant (x n − p

a) ² par exemple).

(19)

Si x n est une approximation strictement positive par défaut de ^p a, alors a/x _n est une approximation par excès de ^p a (pourquoi ?) et vice-versa.

La moyenne arithmétique de ces deux approximations est ¹ ₂ ^³ x n + _x ^a

_n

´ et constitue une meilleure approximation que les deux précédentes.

On peut montrer c’est une approximation par excès (en développant (x n − p

a) ² par exemple).

(20)

heron a x n

| n == 0 = x

| otherwise = heron a ((x + a / x) / 2) (n - 1)

* Main > heron 2 1 5 1.414213562373095

* Main > sqrt 2 1.4142135623730951

(21)

heron a x n

| n == 0 = x

| otherwise = heron a ((x + a / x) / 2) (n - 1)

* Main > heron 2 1 5 1.414213562373095

* Main > sqrt 2 1.4142135623730951

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

siècle ? Calcul d’une approximation de log 2 par la méthode de Briggs

log ₁₀ ^³ ^p 10 ^´ ₌ ¹ ₂ , log ₁₀ ^³p ^p 10 ^´ ₌ ¹ ₄ , etc.

Nombres 10,0000 3,1623 1,7783 1,3335 1,0000

Logarithmes 1 0,5 0,25 0,125 0

(28)

log ₁₀ ^³ ^p 10 ^´ ₌ ¹ ₂ , log ₁₀ ^³p ^p 10 ^´ ₌ ¹ ₄ , etc.

Nombres 10,0000 3,1623 1,7783 1,3335 1,0000

Logarithmes 1 0,5 0,25 0,125 0

(29)

log ₁₀ ^³ ^p 10 ^´ ₌ ¹ ₂ , log ₁₀ ^³p ^p 10 ^´ ₌ ¹ ₄ , etc.

Nombres 10,0000 3,1623 1,7783 1,3335 1,0000

Logarithmes 1 0,5 0,25 0,125 0

(30)

log ₁₀ ^³ ^p 10 ^´ ₌ ¹ ₂ , log ₁₀ ^³p ^p 10 ^´ ₌ ¹ ₄ , etc.

Nombres 10,0000 3,1623 1,7783 1,3335 1,0000

Logarithmes 1 0,5 0,25 0,125 0

(31)

p 10 ₌ 10

¹²

^p 2 ₌ 2

¹²

p p

10 ₌ 10

²²¹

^p ^p 2 ₌ 2

²²¹

q p p

10 ₌ 10

²³¹

q p p 2 ₌ 2

²³¹

.. . .. .

q p

· · · p

10 ₌ 10

²⁵⁴¹

q p

· · · p 2 ₌ 2

²⁵⁴¹

10

²⁵⁴¹

_≈ 1 , 000 000 000 000 000 127 819 149 320 032 35

| {z }

1 + a

2

²⁵⁴¹

_≈ 1 , 000 000 000 000 000 038 477 397 965 583 10

| {z }

1+ b

x ₌ log(2) _⇔ 10 ^x ₌ 2

log(2) ₌ x _≈ b a ⁼

3 847 739 796 558 310 12 781 914 932 003 235

(32)

p 10 ₌ 10

¹²

^p 2 ₌ 2

¹²

p p

10 ₌ 10

²²¹

^p ^p 2 ₌ 2

²²¹

q p p

10 ₌ 10

²³¹

q p p 2 ₌ 2

²³¹

.. . .. .

q p

· · · p

10 ₌ 10

²⁵⁴¹

q p

· · · p 2 ₌ 2

²⁵⁴¹

10

²⁵⁴¹

_≈ 1 , 000 000 000 000 000 127 819 149 320 032 35

| {z }

1 + a

2

²⁵⁴¹

_≈ 1 , 000 000 000 000 000 038 477 397 965 583 10

| {z }

1+ b

x ₌ log(2) _⇔ 10 ^x ₌ 2

log(2) ₌ x _≈ b a ⁼

3 847 739 796 558 310 12 781 914 932 003 235

(33)

p 10 ₌ 10

¹²

^p 2 ₌ 2

¹²

p p

10 ₌ 10

²²¹

^p ^p 2 ₌ 2

²²¹

q p p

10 ₌ 10

²³¹

q p p 2 ₌ 2

²³¹

.. . .. .

q p

· · · p

10 ₌ 10

²⁵⁴¹

q p

· · · p 2 ₌ 2

²⁵⁴¹

10

²⁵⁴¹

_≈ 1 , 000 000 000 000 000 127 819 149 320 032 35

| {z }

1 + a

2

²⁵⁴¹

_≈ 1 , 000 000 000 000 000 038 477 397 965 583 10

| {z }

1+ b

x ₌ log(2) _⇔ 10 ^x ₌ 2 log(2) ₌ x _≈ b

a ⁼

3 847 739 796 558 310 12 781 914 932 003 235

(34)

p 10 ₌ 10

¹²

^p 2 ₌ 2

¹²

p p

10 ₌ 10

²²¹

^p ^p 2 ₌ 2

²²¹

q p p

10 ₌ 10

²³¹

q p p 2 ₌ 2

²³¹

.. . .. .

q p

· · · p

10 ₌ 10

²⁵⁴¹

q p

· · · p 2 ₌ 2

²⁵⁴¹

10

²⁵⁴¹

_≈ 1 , 000 000 000 000 000 127 819 149 320 032 35

| {z }

1 + a

2

²⁵⁴¹

_≈ 1 , 000 000 000 000 000 038 477 397 965 583 10

| {z }

1+ b

x ₌ log(2) _⇔ 10 ^x ₌ 2 log(2) ₌ x _≈ b

a ⁼

3 847 739 796 558 310 12 781 914 932 003 235

(35)

(1 ₊ a) ^x _≈ 1 ₊ ax 1 ₊ b _≈ 1 ₊ ax log(2) ₌ x _≈ b

a ⁼

3 847 739 796 558 310 12 781 914 932 003 235

log(2) _≈ 0 , 301 029 995 663 981 14

(36)

(1 ₊ a) ^x _≈ 1 ₊ ax 1 ₊ b _≈ 1 ₊ ax log(2) ₌ x _≈ b

a ⁼

3 847 739 796 558 310 12 781 914 932 003 235

log(2) _≈ 0 , 301 029 995 663 981 14

(37)

(1 ₊ a) ^x _≈ 1 ₊ ax 1 ₊ b _≈ 1 ₊ ax log(2) ₌ x _≈ b

a ⁼

3 847 739 796 558 310 12 781 914 932 003 235 log(2) _≈ 0 , 301 029 995 663 981 14

(38)

(1 ₊ a) ^x _≈ 1 ₊ ax 1 ₊ b _≈ 1 ₊ ax log(2) ₌ x _≈ b

a ⁼

3 847 739 796 558 310 12 781 914 932 003 235 log(2) _≈ 0 , 301 029 995 663 981 14

(39)

(40)

Avec MPFR

R = RealField(113) def racine(a,x,n) :

if ⁿ == ⁰ : return ^R(x) else:

return racine(R(a), (R(x) + R(a)/R(x)) * R(0 . ^5), n - 1)

def ^sqrn(a,n) : if ⁿ == ⁰ :

return ^R(a) else:

return sqrn(racine(R(a),1 . 0,10), n - 1)

(41)

a = sqrn(10,54) - R(1) b = sqrn(2,54) - R(1)

logDeux = RealField(53)(b / a)

diffLog = logDeux - ( log ^{(2.)) /} log ^(10.)

sage: logDeux

0.301029995663981182 sage: diffLog

5.55111512312578e-17

(42)

a = sqrn(10,54) - R(1) b = sqrn(2,54) - R(1)

logDeux = RealField(53)(b / a)

diffLog = logDeux - ( log ^{(2.)) /} log ^(10.)

sage: logDeux

0.301029995663981182 sage: diffLog

5.55111512312578e-17

(43)

siècle ? Polynômes interpolateurs

p : x _7→ p(x) ₌ a n x ⁿ ₊ a n ₋ 1 x ⁿ ⁻ ¹ _{+ · · · +} a 0

P ₌ [a _n , a _n ₋₁ , ..., a ₀ ]

(44)

p : x _7→ p(x) ₌ a n x ⁿ ₊ a n ₋ 1 x ⁿ ⁻ ¹ _{+ · · · +} a 0

P ₌ [a _n , a _n ₋₁ , ..., a ₀ ]

(45)

( p(x) = a + bx + cx ² + dx ³

map p [1 , 2 , 3 , 4] ₌ map log [1 , 2 , 3 , 4]

(46)

Problème d’interpolation dans Methodus Differentialis publié par Newton en 1676

(47)

[y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ] ₌ map log [1 , 2 , 3 , 4]

(48)

x ₌ 1 p(x) ₌ a ₊ b ₊ c ₊ d ₌ y 1

x ₌ 2 p(x) ₌ a ₊ 2b ₊ 4c ₊ 8d ₌ y ₂ x = 3 p(x) = a + 3b ₊ 9c ₊ 27d ₌ y 3

x ₌ 4 p(x) ₌ a ₊ 4b ₊ 16c ₊ 64d ₌ y 4

y 2 − y 1 = b ₊ 3c ₊ 7d ₌ _∆ y 1

y 3 − y 2 = b ₊ 5c ₊ 19d ₌ _∆ y 2

y ₄ ₋ y ₃ ₌ b ₊ 7c ₊ 37d ₌ _∆ y ₃

∆ y ₂ ₋ _∆ y ₁ ₌ 2c ₊ 12d ₌ _∆ ² y ₁

∆ y 3 − ∆ y 2 = 2c ₊ 18d ₌ _∆ ² y 2

∆ ² y 2 − ∆ ² y 1 = 6d ₌ _∆ ³ y 1

(49)

x ₌ 1 p(x) ₌ a ₊ b ₊ c ₊ d ₌ y 1

x ₌ 2 p(x) ₌ a ₊ 2b ₊ 4c ₊ 8d ₌ y ₂ x = 3 p(x) = a + 3b ₊ 9c ₊ 27d ₌ y 3

x ₌ 4 p(x) ₌ a ₊ 4b ₊ 16c ₊ 64d ₌ y 4

y 2 − y 1 = b ₊ 3c ₊ 7d ₌ _∆ y 1

y 3 − y 2 = b ₊ 5c ₊ 19d ₌ _∆ y 2

y ₄ ₋ y ₃ ₌ b ₊ 7c ₊ 37d ₌ _∆ y ₃

∆ y ₂ ₋ _∆ y ₁ ₌ 2c ₊ 12d ₌ _∆ ² y ₁

∆ y 3 − ∆ y 2 = 2c ₊ 18d ₌ _∆ ² y 2

∆ ² y 2 − ∆ ² y 1 = 6d ₌ _∆ ³ y 1

(50)

x ₌ 1 p(x) ₌ a ₊ b ₊ c ₊ d ₌ y 1

x ₌ 2 p(x) ₌ a ₊ 2b ₊ 4c ₊ 8d ₌ y ₂ x = 3 p(x) = a + 3b ₊ 9c ₊ 27d ₌ y 3

x ₌ 4 p(x) ₌ a ₊ 4b ₊ 16c ₊ 64d ₌ y 4

y 2 − y 1 = b ₊ 3c ₊ 7d ₌ _∆ y 1

y 3 − y 2 = b ₊ 5c ₊ 19d ₌ _∆ y 2

y ₄ ₋ y ₃ ₌ b ₊ 7c ₊ 37d ₌ _∆ y ₃

∆ y ₂ ₋ _∆ y ₁ ₌ 2c ₊ 12d ₌ _∆ ² y ₁

∆ y 3 − ∆ y 2 = 2c ₊ 18d ₌ _∆ ² y 2

∆ ² y 2 − ∆ ² y 1 = 6d ₌ _∆ ³ y 1

(51)

x ₌ 1 p(x) ₌ a ₊ b ₊ c ₊ d ₌ y 1

x ₌ 2 p(x) ₌ a ₊ 2b ₊ 4c ₊ 8d ₌ y ₂ x = 3 p(x) = a + 3b ₊ 9c ₊ 27d ₌ y 3

x ₌ 4 p(x) ₌ a ₊ 4b ₊ 16c ₊ 64d ₌ y 4

y 2 − y 1 = b ₊ 3c ₊ 7d ₌ _∆ y 1

y 3 − y 2 = b ₊ 5c ₊ 19d ₌ _∆ y 2

y ₄ ₋ y ₃ ₌ b ₊ 7c ₊ 37d ₌ _∆ y ₃

∆ y ₂ ₋ _∆ y ₁ ₌ 2c ₊ 12d ₌ _∆ ² y ₁

∆ y 3 − ∆ y 2 = 2c ₊ 18d ₌ _∆ ² y 2

∆ ² y 2 − ∆ ² y 1 = 6d ₌ _∆ ³ y 1

(52)

d ₌ ¹ ₆ _∆ ³ y 1

c ₌ ¹ ₂ _∆ ² y 1 − ∆ ³ y 1

b ₌ _∆ y ₁ ₋ ³ ₂ _∆ ² y ₁ ₊ 3 _∆ ³ y ₁ ₋ ⁷ ₆ _∆ ³ y ₁ ₌ _∆ y ₁ ₋ ³ ₂ _∆ ² y ₁ ₊ ¹¹ ₆ _∆ ³ y ₁

a ₌ y 1 −∆ y 1 + ³ ₂ ∆ ² y 1 − ¹¹ ₆ ∆ ³ y 1 − ¹ ₂ ∆ ² y 1 +∆ ³ y 1 − ¹ ₆ ∆ ³ y 1 = y 1 −∆ y 1 +∆ ² y 1 −∆ ³ y 1

Finalement :

P (x) ₌ y ₁ ₊ (x ₋ 1) _∆ y ₁ ₊ 1

2 (x ₋ 1)(x ₋ 2) _∆ ² y ₁ ₊ 1

6 (x ₋ 1)(x ₋ 2)(x ₋ 3) _∆ ³ y ₁

(53)

d ₌ ¹ ₆ _∆ ³ y 1

c ₌ ¹ ₂ _∆ ² y 1 − ∆ ³ y 1

b ₌ _∆ y ₁ ₋ ³ ₂ _∆ ² y ₁ ₊ 3 _∆ ³ y ₁ ₋ ⁷ ₆ _∆ ³ y ₁ ₌ _∆ y ₁ ₋ ³ ₂ _∆ ² y ₁ ₊ ¹¹ ₆ _∆ ³ y ₁

a ₌ y 1 −∆ y 1 + ³ ₂ ∆ ² y 1 − ¹¹ ₆ ∆ ³ y 1 − ¹ ₂ ∆ ² y 1 +∆ ³ y 1 − ¹ ₆ ∆ ³ y 1 = y 1 −∆ y 1 +∆ ² y 1 −∆ ³ y 1

Finalement :

P (x) ₌ y ₁ ₊ (x ₋ 1) _∆ y ₁ ₊ 1

2 (x ₋ 1)(x ₋ 2) _∆ ² y ₁ ₊ 1

6 (x ₋ 1)(x ₋ 2)(x ₋ 3) _∆ ³ y ₁

(54)

d ₌ ¹ ₆ _∆ ³ y 1

c ₌ ¹ ₂ _∆ ² y 1 − ∆ ³ y 1

b ₌ _∆ y ₁ ₋ ³ ₂ _∆ ² y ₁ ₊ 3 _∆ ³ y ₁ ₋ ⁷ ₆ _∆ ³ y ₁ ₌ _∆ y ₁ ₋ ³ ₂ _∆ ² y ₁ ₊ ¹¹ ₆ _∆ ³ y ₁

a ₌ y 1 −∆ y 1 + ³ ₂ ∆ ² y 1 − ¹¹ ₆ ∆ ³ y 1 − ¹ ₂ ∆ ² y 1 +∆ ³ y 1 − ¹ ₆ ∆ ³ y 1 = y 1 −∆ y 1 +∆ ² y 1 −∆ ³ y 1

Finalement :

P (x) ₌ y ₁ ₊ (x ₋ 1) _∆ y ₁ ₊ 1

2 (x ₋ 1)(x ₋ 2) _∆ ² y ₁ ₊ 1

6 (x ₋ 1)(x ₋ 2)(x ₋ 3) _∆ ³ y ₁

(55)

d ₌ ¹ ₆ _∆ ³ y 1

c ₌ ¹ ₂ _∆ ² y 1 − ∆ ³ y 1

b ₌ _∆ y ₁ ₋ ³ ₂ _∆ ² y ₁ ₊ 3 _∆ ³ y ₁ ₋ ⁷ ₆ _∆ ³ y ₁ ₌ _∆ y ₁ ₋ ³ ₂ _∆ ² y ₁ ₊ ¹¹ ₆ _∆ ³ y ₁

a ₌ y 1 −∆ y 1 + ³ ₂ ∆ ² y 1 − ¹¹ ₆ ∆ ³ y 1 − ¹ ₂ ∆ ² y 1 +∆ ³ y 1 − ¹ ₆ ∆ ³ y 1 = y 1 −∆ y 1 +∆ ² y 1 −∆ ³ y 1

Finalement :

P (x) ₌ y ₁ ₊ (x ₋ 1) _∆ y ₁ ₊ 1

2 (x ₋ 1)(x ₋ 2) _∆ ² y ₁ ₊ 1

6 (x ₋ 1)(x ₋ 2)(x ₋ 3) _∆ ³ y ₁

(56)

d ₌ ¹ ₆ _∆ ³ y 1

c ₌ ¹ ₂ _∆ ² y 1 − ∆ ³ y 1

b ₌ _∆ y ₁ ₋ ³ ₂ _∆ ² y ₁ ₊ 3 _∆ ³ y ₁ ₋ ⁷ ₆ _∆ ³ y ₁ ₌ _∆ y ₁ ₋ ³ ₂ _∆ ² y ₁ ₊ ¹¹ ₆ _∆ ³ y ₁

a ₌ y 1 −∆ y 1 + ³ ₂ ∆ ² y 1 − ¹¹ ₆ ∆ ³ y 1 − ¹ ₂ ∆ ² y 1 +∆ ³ y 1 − ¹ ₆ ∆ ³ y 1 = y 1 −∆ y 1 +∆ ² y 1 −∆ ³ y 1

Finalement :

P (x) ₌ y ₁ ₊ (x ₋ 1) _∆ y ₁ ₊ 1

2 (x ₋ 1)(x ₋ 2) _∆ ² y ₁ ₊ 1

6 (x ₋ 1)(x ₋ 2)(x ₋ 3) _∆ ³ y ₁

(57)

y ₁

∆ y ₁

y 2 ∆ ² y ₁

∆ y 2 ∆ ³ y ₁ y 3 ∆ ² y 2

∆ y ₃ y 4

avec _∆ y _i ₌ y _i ₊₁ ₋ y _i , _∆ ² y _i ₌ _∆ y _i ₊₁ ₋ _∆ y _i et _∆ ³ y _i ₌ _∆ ² y _i ₊₁ _−∆ ² y _i .

(58)

Théorème 5 (Interpolation de Newton passant par les points (1 , y 1 ), (2 , y 2 ),..., (n , y _n ))

y ₁ ₊ (x ₋ 1) _∆ y ₁ ₊ 1

2! (x ₋ 1)(x ₋ 2) _∆ ² y ₁ _{+ · · · +} 1

n! (x ₋ 1) _{· · ·} (x ₋ n) _∆ ⁿ y ₁ Théorème 6 (Interpolation de Newton passant par les points ( α, y 1 ), ( α + 1 , y 2 ),..., ( α + n − 1 , y n ))

y 1 + (x _−α ) _∆ y 1 + 1

2! (x _−α )(x _−α− 1) _∆ ² y 1 +· · ·+ 1

n! (x _−α ) _{· · ·} (x _−α− (n ₋ 1)) _∆ ⁿ y 1

(59)

Théorème 5 (Interpolation de Newton passant par les points (1 , y 1 ), (2 , y 2 ),..., (n , y _n ))

y ₁ ₊ (x ₋ 1) _∆ y ₁ ₊ 1

2! (x ₋ 1)(x ₋ 2) _∆ ² y ₁ _{+ · · · +} 1

n! (x ₋ 1) _{· · ·} (x ₋ n) _∆ ⁿ y ₁ Théorème 6 (Interpolation de Newton passant par les points ( α, y 1 ), ( α + 1 , y 2 ),..., ( α + n − 1 , y n ))

y 1 + (x _−α ) _∆ y 1 + 1

2! (x _−α )(x _−α− 1) _∆ ² y 1 +· · ·+ 1

n! (x _−α ) _{· · ·} (x _−α− (n ₋ 1)) _∆ ⁿ y 1

(60)

Théorème 5 (Interpolation de Newton passant par les points (1 , y 1 ), (2 , y 2 ),..., (n , y _n ))

y ₁ ₊ (x ₋ 1) _∆ y ₁ ₊ 1

2! (x ₋ 1)(x ₋ 2) _∆ ² y ₁ _{+ · · · +} 1

n! (x ₋ 1) _{· · ·} (x ₋ n) _∆ ⁿ y ₁ Théorème 6 (Interpolation de Newton passant par les points ( α, y 1 ), ( α + 1 , y 2 ),..., ( α + n − 1 , y n ))

y 1 + (x _−α ) _∆ y 1 + 1

2! (x _−α )(x _−α− 1) _∆ ² y 1 +· · ·+ 1

n! (x _−α ) _{· · ·} (x _−α− (n ₋ 1)) _∆ ⁿ y 1

(61)

Polynômes et erreurs

Sommaire

1 Le calcul infinitésimal

2 Comment calculer un logarithme sur machine..au XVII

^e

siècle ?

3 Polynômes et erreurs 4 Série de Taylor 5 Développements limités

(62)

comparePoly = plot X11 [

Data2D [Title "Schéma Horner", Color Blue, Style Lines] [] [(x, exHorn x) | x <- [1.94, 1.940125 .. 2.06]],

Function2D [Title "Forme factorisée", Color Green] [Range 1.94 2.06, Step 0.000125] (\x -> exFac x)

]

(63)

-0.00000000002 -0.00000000001 -0.00000000001 -0.00000000001 0.00000000000 0.00000000000 0.00000000001 0.00000000001 0.00000000002

1.92 1.94 1.96 1.98 2 2.02 2.04 2.06 2.08 Schéma Horner

Forme factorisée

(64)

(65)

Série de Taylor

Sommaire

1 Le calcul infinitésimal

2 Comment calculer un logarithme sur machine..au XVII

^e

siècle ?

3 Polynômes et erreurs 4 Série de Taylor 5 Développements limités

(66)

Série de Taylor Dérivées d’ordre supérieur

Définition 7 (Dérivabilité)

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de _R .

Soit a _∈ I . On dit que f est dérivable en a si, et seulement si, le rapport : τ a (h) ₌ f (a ₊ h) ₋ f (a)

h admet une limite finie lorsque a tend vers 0.

Dans ce cas on note f ⁰ (a) cette limite.

(67)

Définition 8 (Dérivée k ^eme ^Γ )

Si f ⁰ est dérivable sur I on note f ⁰⁰ ou f ⁽²⁾ la dérivée de f ⁰ et on l’appelle la dérivée seconde de f . De même si f ⁰⁰ est dérivable sur I , f ⁰⁰⁰ ou f ⁽³⁾ , la dérivée de f ⁰⁰ , est la dérivée troisième de f . Plus généralement on note f ⁽ ^k ⁾ la dérivée k ⁱ ^eme ^Γ de f avec la convention f ⁽⁰⁾ = f , f ⁽ ^k ⁺¹⁾ = ³

f ⁽ ^k ⁾ ^´ ⁰ .

(68)

Définition 9 (Fonctions de classe C ⁿ , de classe C ^∞ )

On dit que f est de classe C ⁿ , n _∈ _N , sur I ssi f est n fois dérivable et ses n dérivées sont continues sur I . On remarquera que si f ⁽ ⁿ ⁺ ¹⁾ existe sur I alors f est de classe C ⁿ sur I qui s’écrit f ∈ C ⁿ (I) . On dit que f est de classe C ^∞ sur I pour exprimer que f est indéfiniment dérivable et, a fortiori, que toutes ses dérivées sont continues.

(69)

Série de Taylor Relations de domination

Brooks’s Law [prov.]

« Adding manpower to a late software project makes it later » – a result of the fact that the expected advantage from splitting work among N programmers is O(N), but the complexity and

communications cost associated with coordinating and then merging their work is O(N ² )

in « The New Hacker’s Dictionnary » http://outpost9.com/reference/jargon/jargon_17.html#SEC24

(70)

Définition 10 (« Grand O »)

Soit f et g deux fonctions de _N dans _R . On dit que f est un « grand O » de g et on note f ₌ O(g ) ou f (n) ₌ O (g (n)) si, et seulement si, il existe une constante strictement positive C telle que

| f (n) _{| É} C _| g (n) _| pour tout n ∈ N .

(71)

Définition 11 (« Grand Oméga »)

Soit f et g deux fonctions de _R dans lui-même. On dit que f est un

« grand Oméga » de g et on note f ₌ _Ω (g ) ou f (n) ₌ _Ω (g (n)) si, et seulement si, il existe une constante strictement positive C telle que

| f (n) _{| Ê} C _| g (n) _| pour tout n ∈ N ^∗ .

(72)

Définition 12 (« Grand Théta ») f = Θ (g ) ⇐⇒



 

 

f ₌ O(g ) f = Ω (g)

(73)

H H H

H H H coût

n 100 1 000 10 ⁶ 10 ⁹

log ₂ (n) _≈ 7 _≈ 10 _≈ 20 _≈ 30

n log ₂ (n) _≈ 665 _≈ 10 000 _≈ 2 _· 10 ⁷ _≈ 3 _· 10 ¹⁰

n ² 10 ⁴ 10 ⁶ 10 ¹² 10 ¹⁸

n ³ 10 ⁶ 10 ⁹ 10 ¹⁸ 10 ²⁷

2 ⁿ _≈ 10 ³⁰ _> 10 ³⁰⁰ _> 10 ¹⁰

⁵

_> 10 ¹⁰

⁸

(74)

Définition 13 (« Petit o »)

f ₌ o(g ) si, et seulement si, pour toute constante positive _ε , il existe un entier n 0 tel que, pour tout n _Ê n 0 ,

¯

¯ f (n) ^¯ ^¯ _É _ε ^¯ ^¯ g (n) ^¯ ^¯

(75)

Théorème 14 (Manipulation des O) O(f ) ₊ O(g ) ₌ O (f ₊ g ) ;

f ₌ O(f ) ;

k _· O (f ) ₌ O(f ) si k est une constante ; O (O(f )) ₌ O (f ) ;

O(f ) · O (g ) = O(f · g ) ; O(f _· g ) ₌ f _· O(g ).

(76)

Théorème 14 (Manipulation des O) O(f ) ₊ O(g ) ₌ O (f ₊ g ) ;

f ₌ O(f ) ;

k _· O (f ) ₌ O(f ) si k est une constante ; O (O(f )) ₌ O (f ) ;

O(f ) · O (g ) = O(f · g ) ; O(f _· g ) ₌ f _· O(g ).

(77)

Théorème 14 (Manipulation des O) O(f ) ₊ O(g ) ₌ O (f ₊ g ) ;

f ₌ O(f ) ;

k _· O (f ) ₌ O(f ) si k est une constante ; O (O(f )) ₌ O (f ) ;

O(f ) · O (g ) = O(f · g ) ; O(f _· g ) ₌ f _· O(g ).

(78)

Théorème 14 (Manipulation des O) O(f ) ₊ O(g ) ₌ O (f ₊ g ) ;

f ₌ O(f ) ;

k _· O (f ) ₌ O(f ) si k est une constante ; O (O(f )) ₌ O (f ) ;

O(f ) · O (g ) = O(f · g ) ; O(f _· g ) ₌ f _· O(g ).

(79)

Théorème 14 (Manipulation des O) O(f ) ₊ O(g ) ₌ O (f ₊ g ) ;

f ₌ O(f ) ;

k _· O (f ) ₌ O(f ) si k est une constante ; O (O(f )) ₌ O (f ) ;

O(f ) · O (g ) = O(f · g ) ; O(f _· g ) ₌ f _· O(g ).

(80)

Théorème 14 (Manipulation des O) O(f ) ₊ O(g ) ₌ O (f ₊ g ) ;

f ₌ O(f ) ;

k _· O (f ) ₌ O(f ) si k est une constante ; O (O(f )) ₌ O (f ) ;

O(f ) · O (g ) = O(f · g ) ; O(f _· g ) ₌ f _· O(g ).

(81)

Théorème 14 (Manipulation des O) O(f ) ₊ O(g ) ₌ O (f ₊ g ) ;

f ₌ O(f ) ;

k _· O (f ) ₌ O(f ) si k est une constante ; O (O(f )) ₌ O (f ) ;

O(f ) · O (g ) = O(f · g ) ; O(f _· g ) ₌ f _· O(g ).

(82)

Série de Taylor Polynôme de Taylor

Théorème 15 (Polynôme de Taylor)

Soit I un intervalle, soit f une fonction de I vers _R de classe C ⁿ avec n _∈ _N et soit a un élément de I. Il existe alors un unique polynôme T _n _, _a de degré au plus n dont les dérivées jusqu’à l’ordre n coïncident en a avec celles de f . De plus :

T _n _, _a (x) ₌ f (a) ₊ (x ₋ a)f ⁰ (a) ₊ (x ₋ a) ²

2! f ⁰⁰ (a) ₊ (x ₋ a) ³

3! f ⁽³⁾ (a) _{+· · ·+} (x ₋ a) ⁿ n! f ⁽ ⁿ ⁾ (a)

T _n ⁽ ^k _, _a ⁾ (a) = f ⁽ ^k ⁾ (a)

(83)

Théorème 15 (Polynôme de Taylor)

Soit I un intervalle, soit f une fonction de I vers _R de classe C ⁿ avec n _∈ _N et soit a un élément de I. Il existe alors un unique polynôme T _n _, _a de degré au plus n dont les dérivées jusqu’à l’ordre n coïncident en a avec celles de f . De plus :

T _n _, _a (x) ₌ f (a) ₊ (x ₋ a)f ⁰ (a) ₊ (x ₋ a) ²

2! f ⁰⁰ (a) ₊ (x ₋ a) ³

3! f ⁽³⁾ (a) _{+· · ·+} (x ₋ a) ⁿ n! f ⁽ ⁿ ⁾ (a)

T _n ⁽ ^k _, _a ⁾ (a) = f ⁽ ^k ⁾ (a)

(84)

Théorème 15 (Polynôme de Taylor)

Soit I un intervalle, soit f une fonction de I vers _R de classe C ⁿ avec n _∈ _N et soit a un élément de I. Il existe alors un unique polynôme T _n _, _a de degré au plus n dont les dérivées jusqu’à l’ordre n coïncident en a avec celles de f . De plus :

T _n _, _a (x) ₌ f (a) ₊ (x ₋ a)f ⁰ (a) ₊ (x ₋ a) ²

2! f ⁰⁰ (a) ₊ (x ₋ a) ³

3! f ⁽³⁾ (a) _{+· · ·+} (x ₋ a) ⁿ n! f ⁽ ⁿ ⁾ (a)

T _n ⁽ ^k _, _a ⁾ (a) = f ⁽ ^k ⁾ (a)

(85)

T _n _,0 (x) ₌ exp(0) ₊ (x ₋ 0) exp ⁰ (0) ₊ (x ₋ 0) ²

2! exp ⁰⁰ (0)

= 1 ₊ x ₊ x ² 2

(86)

T _n _,0 (x) ₌ exp(0) ₊ (x ₋ 0) exp ⁰ (0) ₊ (x ₋ 0) ²

2! exp ⁰⁰ (0)

= 1 ₊ x ₊ x ² 2

(87)

f (x) ₌ T n , a (x) ₊ R n , a (x)

(88)

Série de Taylor Formule de Taylor-Lagrange

Théorème 16

Si f est de classe C ⁿ sur [a , x] et si f ⁽ ⁿ ⁺¹⁾ existe sur ]a , x[ alors il existe au moins un réel c _∈ ]a , x[ tel que :

f (x) = T n , a (x) + (x ₋ a) ⁿ ⁺¹

(n ₊ 1)! f ⁽ ⁿ ⁺¹⁾ (c )

On dit que l’on a écrit la formule de Taylor Lagrange à l’ordre n .

(89)

Série de Taylor Formule de Taylor-Mac Laurin

Théorème 17

f (x) ₌

n

X

k =0

x ^k

k! f ⁽ ^k ⁾ (0) ₊ x ⁿ ⁺¹

(n ₊ 1)! f ⁽ ⁿ ⁺¹⁾ ( _θ x)

(90)

Série de Taylor Formule de Taylor avec reste intégral

Théorème 18

∀ x _∈ I , f (x) ₌ T n , a (x) ₊

x

Z

a

(x − t) ⁿ

n! f ⁽ ⁿ ⁺¹⁾ (t)dt

(91)

Série de Taylor Formule de Taylor-Young.

Théorème 19

∀ x _∈ I , f (x) ₌ T n , a (x) ₊ o ((x ₋ a) ⁿ )

(92)

Développements limités

Sommaire

1 Le calcul infinitésimal

2 Comment calculer un logarithme sur machine..au XVII

^e

siècle ?

3 Polynômes et erreurs 4 Série de Taylor 5 Développements limités

(93)

Développements limités Définition

Définition 20

On dit que f , définie sur V _a _, admet un développement limité d’ordre n _∈ _N au voisinage de a (on écrit en abrégé : « f admet un DL n V (a) ») s’il existe un polynôme P n ∈ R n [X ] (ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n) et une fonction _ε vérifiant :



 

 

 

 

∀ x ∈ V _a , f (x) = P n (x − a) + (x − a) ⁿ _ε (x ) ε (a) ₌ 0

x lim → a ε (x) ₌ 0 c’est-à-dire f (x) = P n (x − a) + o ^³ (x − a) ⁿ ^´ .

(94)

Développements limités Définition

Méthodes numériques II : Calcul diﬀérentiel INFO1 - Semaines 7 & 8 Guillaume CONNAN

Méthodes numériques II : Calcul différentiel

INFO1 - Semaines 7 & 8

Guillaume CONNAN

IUT de Nantes - Dpt d’informatique

Dernière mise à jour : 18 février 2014 à 23:29

Sommaire

1 Le calcul infinitésimal

2 Comment calculer un logarithme sur machine..au XVII

siècle ?

3 Polynômes et erreurs 4 Série de Taylor 5 Développements limités

Sommaire

1 Le calcul infinitésimal

2 Comment calculer un logarithme sur machine..au XVII

siècle ?

3 Polynômes et erreurs 4 Série de Taylor 5 Développements limités

Jean Bernoulli (1691), les infiniment petits sont des quantités qui peuvent être ajoutées à des quantités finies sans changer leurs valeurs. Les courbes sont des polygones à côtés infiniment courts.

x y

0

A

a f(a)

M

a + h f(a + h)

y

x

Jean Bernoulli (1691), les infiniment petits sont des quantités qui peuvent être ajoutées à des quantités finies sans changer leurs valeurs. Les courbes sont des polygones à côtés infiniment courts.

x y

0

A

a f(a)

M

a + h f(a + h)

y

x

Théorème 1 (Dérivation d’une combinaison linéaire) y = au + bv =⇒ d y

d x = a · d u

d x + b · d v

d x ou bien y 0 = a · u 0 + b · v 0

Théorème 2 (Dérivation d’un produit) y = u · v =⇒

1

1 − 10 −5 ≈ 1 , 0000100001 = 1 + 10 − 5 + 10 − 10 1

1 − x = 1 +δ 1 = 1 − x + δ (1 − x)

δ = x + δ x

1

1 − x ≈ 1 + x

1

1 − 10 −5 ≈ 1 , 0000100001 = 1 + 10 − 5 + 10 − 10 1

1 − x = 1 +δ 1 = 1 − x + δ (1 − x)

δ = x + δ x

1

1 − x ≈ 1 + x

1

1 − 10 −5 ≈ 1 , 0000100001 = 1 + 10 − 5 + 10 − 10 1

1 − x = 1 +δ 1 = 1 − x + δ (1 − x)

δ = x + δ x

1

1 − x ≈ 1 + x

1

1 − 10 −5 ≈ 1 , 0000100001 = 1 + 10 − 5 + 10 − 10 1

1 − x = 1 +δ 1 = 1 − x + δ (1 − x)

δ = x + δ x

1

1 − x ≈ 1 + x

1

1 − 10 −5 ≈ 1 , 0000100001 = 1 + 10 − 5 + 10 − 10 1

1 − x = 1 +δ 1 = 1 − x + δ (1 − x)

δ = x + δ x 1

1 − x ≈ 1 + x

En 1593, François Viète établit avec une méthode similaire que, pour tout réel x tel que | x | < 1, on a :

1

1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + · · ·

Théorème 3 (Dérivation d’un quotient) y = u

v =⇒

Théorème 4 (Dérivation de fonctions composées) d y

d x = d y d z ·

d z

d x ou h 0 (x ) = f 0 ¡ g (x) ¢ · g 0 (x)

Sommaire

1 Le calcul infinitésimal

2 Comment calculer un logarithme sur machine..au XVII

Théorème 1 (Dérivation d’une combinaison linéaire) y ₌ au ₊ bv _=⇒ ^d y

d x ⁼ a _· ^d u

d x ⁺ b _· ^d v

d x ou bien y ⁰ ₌ a _· u ⁰ ₊ b _· v ⁰

Théorème 2 (Dérivation d’un produit) y ₌ u _· v _=⇒

1 ₋ 10 ⁻⁵ ^≈ 1 , 0000100001 ₌ 1 ₊ 10 ⁻ ⁵ ₊ 10 ⁻ ¹⁰ 1

1 ₋ x ⁼ 1 _+δ 1 ₌ 1 ₋ x ₊ _δ (1 ₋ x)

δ = x ₊ _δ x

1 ₋ x ^≈ 1 ₊ x

1 ₋ 10 ⁻⁵ ^≈ 1 , 0000100001 ₌ 1 ₊ 10 ⁻ ⁵ ₊ 10 ⁻ ¹⁰ 1

1 ₋ x ⁼ 1 _+δ 1 ₌ 1 ₋ x ₊ _δ (1 ₋ x)

δ = x ₊ _δ x

1 ₋ x ^≈ 1 ₊ x

1 ₋ 10 ⁻⁵ ^≈ 1 , 0000100001 ₌ 1 ₊ 10 ⁻ ⁵ ₊ 10 ⁻ ¹⁰ 1

1 ₋ x ⁼ 1 _+δ 1 ₌ 1 ₋ x ₊ _δ (1 ₋ x)

δ = x ₊ _δ x

1 ₋ x ^≈ 1 ₊ x

1 ₋ 10 ⁻⁵ ^≈ 1 , 0000100001 ₌ 1 ₊ 10 ⁻ ⁵ ₊ 10 ⁻ ¹⁰ 1

1 ₋ x ⁼ 1 _+δ 1 ₌ 1 ₋ x ₊ _δ (1 ₋ x)

δ = x ₊ _δ x

1 ₋ x ^≈ 1 ₊ x

1 ₋ 10 ⁻⁵ ^≈ 1 , 0000100001 ₌ 1 ₊ 10 ⁻ ⁵ ₊ 10 ⁻ ¹⁰ 1

1 ₋ x ⁼ 1 _+δ 1 ₌ 1 ₋ x ₊ _δ (1 ₋ x)

δ = x ₊ _δ x 1

1 ₋ x ^≈ 1 ₊ x

En 1593, François Viète établit avec une méthode similaire que, pour tout réel x tel que _| x _{| <} 1, on a :

1 ₋ x ⁼ 1 ₊ x ₊ x ² ₊ x ³ ₊ x ⁴ ₊ x ⁵ _{+ · · ·}

Théorème 3 (Dérivation d’un quotient) y ₌ u

v ^=⇒

d x ⁼ d y d z ^·

d x ou h ⁰ (x ) ₌ f ⁰ ^¡ g (x) ^¢ _· g ⁰ (x)

Si x n est une approximation strictement positive par défaut de ^p a, alors a/x _n est une approximation par excès de ^p a (pourquoi ?) et vice-versa.

La moyenne arithmétique de ces deux approximations est ¹ ₂ ^³ x n + _x ^a

a) ² par exemple).

Si x n est une approximation strictement positive par défaut de ^p a, alors a/x _n est une approximation par excès de ^p a (pourquoi ?) et vice-versa.

La moyenne arithmétique de ces deux approximations est ¹ ₂ ^³ x n + _x ^a

a) ² par exemple).

Si x n est une approximation strictement positive par défaut de ^p a, alors a/x _n est une approximation par excès de ^p a (pourquoi ?) et vice-versa.

La moyenne arithmétique de ces deux approximations est ¹ ₂ ^³ x n + _x ^a

a) ² par exemple).

log ₁₀ ^³ ^p 10 ^´ ₌ ¹ ₂ , log ₁₀ ^³p ^p 10 ^´ ₌ ¹ ₄ , etc.

log ₁₀ ^³ ^p 10 ^´ ₌ ¹ ₂ , log ₁₀ ^³p ^p 10 ^´ ₌ ¹ ₄ , etc.

log ₁₀ ^³ ^p 10 ^´ ₌ ¹ ₂ , log ₁₀ ^³p ^p 10 ^´ ₌ ¹ ₄ , etc.

log ₁₀ ^³ ^p 10 ^´ ₌ ¹ ₂ , log ₁₀ ^³p ^p 10 ^´ ₌ ¹ ₄ , etc.

p 10 ₌ 10

^p 2 ₌ 2

10 ₌ 10

^p ^p 2 ₌ 2

10 ₌ 10

q p p 2 ₌ 2

10 ₌ 10

· · · p 2 ₌ 2

_≈ 1 , 000 000 000 000 000 127 819 149 320 032 35

_≈ 1 , 000 000 000 000 000 038 477 397 965 583 10

x ₌ log(2) _⇔ 10 ^x ₌ 2

log(2) ₌ x _≈ b a ⁼

p 10 ₌ 10

^p 2 ₌ 2

10 ₌ 10

^p ^p 2 ₌ 2