Probabilités INFO1 - Semaines 15 à 24 Guillaume CONNAN

(1)

Probabilités

INFO1 - Semaines 15 à 24

Guillaume CONNAN

IUT de Nantes - Dpt d’informatique

Dernière mise à jour : 16 avril 2013

(2)

1 Avant la formalisation

2 Espace probabilisable - Espace probabilisé 3 Probabilités conditionnelles

Un exemple pour comprendre Définition

Formules des probabilités totales : le retour

Arbre

Formule de BAYES Indépendance

4 Variables aléatoires réelles finies Définition

Loi de probabilité

Variables aléatoires indépendantes Fonctions de répartition

Espérance mathématique Variance

Linéarité de l’espérance Théorème de König-Huygens V.a.r. centrée réduite

5 Quelques lois discrètes classiques Loi uniforme (discrète) Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi de Pascal Loi de Poisson

(IUT de Nantes - Dpt d’informatique ) 2 / 78

(3)

Avant la formalisation

Sommaire

Arbre

Loi de probabilité

(4)

expérience aléatoire univers

évènement élémentaire évènement certain évènement impossible tribu

mesurer a priori isomorphisme

(5)

expérience aléatoire univers

évènement élémentaire évènement certain évènement impossible tribu

mesurer a priori

isomorphisme

(6)

expérience aléatoire univers

évènement élémentaire évènement certain évènement impossible tribu

mesurer a priori isomorphisme

(7)

expérience aléatoire univers

évènement élémentaire évènement certain évènement impossible tribu

mesurer a priori

isomorphisme

(8)

expérience aléatoire univers

évènement élémentaire évènement certain évènement impossible tribu

mesurer a priori isomorphisme

(9)

expérience aléatoire univers

évènement élémentaire évènement certain évènement impossible tribu

mesurer a priori

isomorphisme

(10)

expérience aléatoire univers

évènement élémentaire évènement certain évènement impossible tribu

mesurer a priori isomorphisme

(11)

expérience aléatoire univers

évènement élémentaire évènement certain évènement impossible tribu

mesurer a priori

isomorphisme

(12)

Arbre

Loi de probabilité

(13)

Espace probabilisable - Espace probabilisé

Définition 1 (Tribu)

Une tribu T

_Ω

définie sur un univers _Ω est une partie de P ( _Ω ) qui vérifie :

1

Ω ∈ T

_Ω

;

2

A _∈ T

_Ω

_{=⇒ Ù}

_Ω

A _∈ T

_Ω

;

3

∀ I _⊆ _N , (A

_i

)

_i∈I

_∈ T

_Ω^|I|

_=⇒ ^[

i∈I

A

_i

_∈ T

_Ω

.

(14)

Définition 1 (Tribu)

Une tribu T

_Ω

définie sur un univers _Ω est une partie de P ( _Ω ) qui vérifie :

1

Ω ∈ T

_Ω

;

2

A _∈ T

_Ω

_{=⇒ Ù}

_Ω

A _∈ T

_Ω

;

3

∀ I _⊆ _N , (A

_i

)

_i∈I

_∈ T

_Ω^|I|

_=⇒ ^[

i∈I

A

_i

_∈ T

_Ω

.

(15)

Définition 1 (Tribu)

Une tribu T

_Ω

définie sur un univers _Ω est une partie de P ( _Ω ) qui vérifie :

1

Ω ∈ T

_Ω

;

2

A _∈ T

_Ω

_{=⇒ Ù}

_Ω

A _∈ T

_Ω

;

3

∀ I _⊆ _N , (A

_i

)

_i∈I

_∈ T

_Ω^|I|

_=⇒ ^[

i∈I

A

_i

_∈ T

_Ω

.

(16)

Définition 1 (Tribu)

Une tribu T

_Ω

définie sur un univers _Ω est une partie de P ( _Ω ) qui vérifie :

1

Ω ∈ T

_Ω

;

2

A _∈ T

_Ω

_{=⇒ Ù}

_Ω

A _∈ T

_Ω

;

3

∀ I _⊆ _N , (A

_i

)

_i∈I

_∈ T

_Ω^|I|

_=⇒ ^[

i∈I

A

_i

_∈ T

_Ω

.

(17)

Définition 2 (Espace probabilisable)

Soit T

_Ω

une tribu définie sur l’univers _Ω . On dit que ^¡ _Ω , T

_Ω

^¢ est un espace

probabilisable (ou espace d’évènements). Les éléments de la tribu sont

appelés évènements.

(18)

Андрей Николаевич КОЛМОГОРОВ

(1903 - 1987)

(19)

Définition 3 (Axiomes de КОЛМОГОРОВ )

Soit ( _Ω , T ) un espace probabilisable. On appelle mesure de probabilité (ou probabilité tout court) une application Pr définie sur T vérifiant :

1

∀ A _∈ T , P (A) _∈ [0 , 1] ;

2

P ( _Ω ) ₌ 1 ;

3

∀ (A , B) _∈ T _× T , A _∩ B _{= ; =⇒} _P (A _∪ B ) = P (A) ₊ _P (B)

On dit alors que ( _Ω, T , P ) est un espace probabilisé.

(20)

Définition 3 (Axiomes de КОЛМОГОРОВ )

Soit ( _Ω , T ) un espace probabilisable. On appelle mesure de probabilité (ou probabilité tout court) une application Pr définie sur T vérifiant :

1

∀ A _∈ T , P (A) _∈ [0 , 1] ;

2

P ( _Ω ) ₌ 1 ;

3

∀ (A , B) _∈ T _× T , A _∩ B _{= ; =⇒} _P (A _∪ B ) = P (A) ₊ _P (B) On dit alors que ( _Ω, T , P ) est un espace probabilisé.

(21)

Définition 3 (Axiomes de КОЛМОГОРОВ )

Soit ( _Ω , T ) un espace probabilisable. On appelle mesure de probabilité (ou probabilité tout court) une application Pr définie sur T vérifiant :

1

∀ A _∈ T , P (A) _∈ [0 , 1] ;

2

P ( _Ω ) ₌ 1 ;

3

∀ (A , B) _∈ T _× T , A _∩ B _{= ; =⇒} _P (A _∪ B ) = P (A) ₊ _P (B)

On dit alors que ( _Ω, T , P ) est un espace probabilisé.

(22)

Définition 3 (Axiomes de КОЛМОГОРОВ )

Soit ( _Ω , T ) un espace probabilisable. On appelle mesure de probabilité (ou probabilité tout court) une application Pr définie sur T vérifiant :

1

∀ A _∈ T , P (A) _∈ [0 , 1] ;

2

P ( _Ω ) ₌ 1 ;

3

∀ (A , B) _∈ T _× T , A _∩ B _{= ; =⇒} _P (A _∪ B ) = P (A) ₊ _P (B) On dit alors que ( _Ω, T , P ) est un espace probabilisé.

(23)

Équiprobabilité

Univers infini ?

(24)

Équiprobabilité Univers infini ?

(25)

(26)

Théorème 4 (Principales propriétés)

Soit ( _Ω , T , P ) un espace probabilisé. La probabilité _P vérifie :

1

P ( _Ù

_Ω

A) ₌ 1 ₋ _P (A) ;

2

P ( ; ) = 0 ;

3

∀ (A , B) _∈ T _× T , A _⊂ B _=⇒ _P (A) _É _P (B) ;

4

∀ (A , B) _∈ T _× T , P (A _∪ B) ₌ _P (A) ₊ _P (B) ₋ _P (A _∩ B) (cas particulier de la formule du crible de Poincaré).

(27)

Théorème 4 (Principales propriétés)

Soit ( _Ω , T , P ) un espace probabilisé. La probabilité _P vérifie :

1

P ( _Ù

_Ω

A) ₌ 1 ₋ _P (A) ;

2

P ( ; ) = 0 ;

3

∀ (A , B) _∈ T _× T , A _⊂ B _=⇒ _P (A) _É _P (B) ;

4

∀ (A , B) _∈ T _× T , P (A _∪ B) ₌ _P (A) ₊ _P (B) ₋ _P (A _∩ B) (cas particulier de

la formule du crible de Poincaré).

(28)

Théorème 4 (Principales propriétés)

Soit ( _Ω , T , P ) un espace probabilisé. La probabilité _P vérifie :

1

P ( _Ù

_Ω

A) ₌ 1 ₋ _P (A) ;

2

P ( ; ) = 0 ;

3

∀ (A , B) _∈ T _× T , A _⊂ B _=⇒ _P (A) _É _P (B) ;

4

∀ (A , B) _∈ T _× T , P (A _∪ B) ₌ _P (A) ₊ _P (B) ₋ _P (A _∩ B) (cas particulier de la formule du crible de Poincaré).

(29)

Théorème 4 (Principales propriétés)

Soit ( _Ω , T , P ) un espace probabilisé. La probabilité _P vérifie :

1

P ( _Ù

_Ω

A) ₌ 1 ₋ _P (A) ;

2

P ( ; ) = 0 ;

3

∀ (A , B) _∈ T _× T , A _⊂ B _=⇒ _P (A) _É _P (B) ;

4

∀ (A , B) _∈ T _× T , P (A _∪ B) ₌ _P (A) ₊ _P (B) ₋ _P (A _∩ B) (cas particulier de

la formule du crible de Poincaré).

(30)

Théorème 4 (Principales propriétés)

Soit ( _Ω , T , P ) un espace probabilisé. La probabilité _P vérifie :

1

P ( _Ù

_Ω

A) ₌ 1 ₋ _P (A) ;

2

P ( ; ) = 0 ;

3

∀ (A , B) _∈ T _× T , A _⊂ B _=⇒ _P (A) _É _P (B) ;

4

∀ (A , B) _∈ T _× T , P (A _∪ B) ₌ _P (A) ₊ _P (B) ₋ _P (A _∩ B) (cas particulier de la formule du crible de Poincaré).

(31)

Définition 5 (Système complet d’évènements)

Une famille A

₁

, A

₂

,...,A

_n

d’évènements non vides de T forme un système complet d’évènements si, et seulement si :

∀ i ₆₌ j , A

_i

_∩ A

_j

_{= ;} (évènements incompatibles deux à deux) ;

n

[

i=1

A

_i

₌ _Ω .

On dit aussi que la famille (A

_i

) forme une partition de _Ω .

(32)

Définition 5 (Système complet d’évènements)

Une famille A

₁

, A

₂

,...,A

_n

d’évènements non vides de T forme un système complet d’évènements si, et seulement si :

∀ i ₆₌ j , A

_i

_∩ A

_j

_{= ;} (évènements incompatibles deux à deux) ;

n

[

i=1

A

_i

₌ _Ω .

On dit aussi que la famille (A

_i

) forme une partition de _Ω .

(33)

Définition 5 (Système complet d’évènements)

Une famille A

₁

, A

₂

,...,A

_n

d’évènements non vides de T forme un système complet d’évènements si, et seulement si :

∀ i ₆₌ j , A

_i

_∩ A

_j

_{= ;} (évènements incompatibles deux à deux) ;

n

[

i=1

A

_i

₌ _Ω .

On dit aussi que la famille (A

_i

) forme une partition de _Ω .

(34)

Théorème 6 (Théorème des probabilités totales (version 1)) Soit (A

_i

)

_1ÉiÉn

un système complet d’évènements, alors :

∀ E _∈ T , P (E) ₌

n

X

i=1

P (E _∩ A

_i

)

(35)

Probabilités conditionnelles

Sommaire

Arbre

Loi de probabilité

(36)

Arbre

Loi de probabilité

(37)

Probabilités conditionnelles Un exemple pour comprendre

(38)

Arbre

Loi de probabilité

(39)

Probabilités conditionnelles Définition

Définition 7 (Probabilité conditionnelle)

Soient A et B deux événements d’un espace probabilisé muni d’une probabilité _P , avec _P (B ) ₆₌ 0. La probabilité de A sachant B est définie par

P

B

(A) ₌ ^P (A _∩ B)

P (B)

(40)

Arbre

Loi de probabilité

(41)

Probabilités conditionnelles Formules des probabilités totales : le retour

Théorème 8 (Probabilités totales (version 2))

Supposons donc qu’il existe une partition A

₁

, A

₂

, ... , A

_n

de _Ω , et soit B _∈ T

_Ω

.

P (B) ₌ _P (B _∩ A

1

) _+P (B _∩ A

2

) _{+ · · · +} _P (B _∩ A

n

)

(42)

Arbre

Loi de probabilité

(43)

Probabilités conditionnelles Arbre

Arbre

(44)

Arbre

Loi de probabilité

(45)

Probabilités conditionnelles Formule de BAYES

(46)

(47)

Théorème 9 (Formule de Bayes)

Soit ( _Ω , T , P ) un espace probabilisé et (A

_i

)

i∈I⊆N

un système complet d’évènements.

∀ B _∈ T , P

B

(A

_k

) ₌ ^P

^A^k

(B) _× _P (A

_k

) X

i∈I

P

Ai

(B) _× _P (A

_i

)

(48)

Ev (p) ₌ log

₂

p (1 ₋ p) Exprimé en bits

Ev (p) ₌ 10 log

₁₀

p (1 ₋ p) Exprimé en dB

(49)

(50)

Arbre

Loi de probabilité

(51)

Probabilités conditionnelles Indépendance

Définition 10 (Évènements indépendants)

Les évènements A et B sont dits indépendants si _P (A _∩ B) ₌ _P (A) _× _P (B)

(52)

Théorème 11 (Indépendance et probabilités conditionnelles)

Soient A et B deux évènements tels que _P (B) ₆₌ 0. Les évènements A et B sont indépendants si et seulement si _P

_B

(A) ₌ _P (A)

(53)

Théorème 12 (Indépendance mutuelle) Soit (A

_i

)

_i_∈_I_⊆N

une suite d’événements de T .

1

On dit que ces événements sont indépendants deux à deux si, et seulement si :

∀ (i , j ) _∈ I

²

, i ₆₌ j , P (A

i

∩ A

j

) ₌ _P (A

i

) _× _P (A

j

)

2

On dit que ces événements sont mutuellement indépendants si, et seulement si, pour toute partie J de I on a :

P Ã

\

j∈J

A

_j

!

= Y

j∈J

P (A

_j

)

(54)

Soit (A

_i

)

_i_∈_I_⊆N

une suite d’événements de T .

1

On dit que ces événements sont indépendants deux à deux si, et seulement si :

∀ (i , j ) _∈ I

²

, i ₆₌ j , P (A

i

∩ A

j

) ₌ _P (A

i

) _× _P (A

j

)

2

On dit que ces événements sont mutuellement indépendants si, et seulement si, pour toute partie J de I on a :

P Ã

\

j∈J

A

_j

!

= Y

j∈J

P (A

_j

)

(55)

Théorème 12 (Indépendance mutuelle) Soit (A

_i

)

_i_∈_I_⊆N

une suite d’événements de T .

1

On dit que ces événements sont indépendants deux à deux si, et seulement si :

∀ (i , j ) _∈ I

²

, i ₆₌ j , P (A

i

∩ A

j

) ₌ _P (A

i

) _× _P (A

j

)

2

On dit que ces événements sont mutuellement indépendants si, et seulement si, pour toute partie J de I on a :

P Ã

\

j∈J

A

_j

!

= Y

j∈J

P (A

_j

)

(56)

Exercice 1

L’expérience aléatoire est le lancer de deux dés parfaits. Soit A

₁

l’évènement « le premier dé donne un résultat pair », A

₂

l’évènement « le deuxième dé donne un résultat pair » et A

₃

l’évènement « la somme des numéros tirés est paire ».

Les évènements sont-ils mutuellement indépendants ? Deux à deux indépendants ?

(57)

Variables aléatoires réelles finies

Sommaire

Arbre

Loi de probabilité

(58)

Arbre

Loi de probabilité

(59)

Variables aléatoires réelles finies Définition

Définition 13 (Variable aléatoire réelle finie)

On appelle variable aléatoire réelle finie toute application de _Ω dans _R vérifiant :

∀ I _⊆ _R , X

⁻¹

(I ) _∈ T

(60)

A ₌ X

⁻¹

(A

⁰

)

(V

_X

, P (V

_X

) , P

X

) ( _Ω, T _,P )

A

⁰

_∈ P (V

_X

) X

(61)

Variables aléatoires réelles finies Loi de probabilité

Sommaire

Arbre

Loi de probabilité

(62)

Définition 14 (Loi de probabilité d’une v.a.r.)

Soit X une variable aléatoire réelle sur _Ω . On appelle loi de probabilité de X la fonction _P

_X

de _R dans [0 , 1] définie par

P

X

: x _7→ _P ( { X ₌ x } ) P

X

mesure de probabilité ?

(63)

Définition 14 (Loi de probabilité d’une v.a.r.)

Soit X une variable aléatoire réelle sur _Ω . On appelle loi de probabilité de X la fonction _P

_X

de _R dans [0 , 1] définie par

P

X

: x _7→ _P ( { X ₌ x } )

P

X

mesure de probabilité ?

(64)

Définition 14 (Loi de probabilité d’une v.a.r.)

Soit X une variable aléatoire réelle sur _Ω . On appelle loi de probabilité de X la fonction _P

_X

de _R dans [0 , 1] définie par

P

X

: x _7→ _P ( { X ₌ x } ) P

X

mesure de probabilité ?

(65)

Ω R R R

X

Pinconnue PX connue

(66)

A

1

A

₂

A

₃

A

₄

A

₅

x

1

x

₂

x

₃

x

₄

x

₅

(VX,P(VX),PX) connu mais plus grossier

R

(Ω,T,P) inconnu

(67)

Attention !

Deux v.a.r. peuvent avoir la même loi sans être égales ! On lance n fois une

pièce non truquée. Considérez X le nombre de pile tombés et n ₋ X le

nombre de face.

(68)

Arbre

Loi de probabilité

(69)

Variables aléatoires réelles finies Variables aléatoires indépendantes

Définition 15 (Couple de variables indépendantes)

Les v.a.r. X et Y sont dites indépendantes si, et seulement si, pour toute partie (A , B) _∈ V

_X

_× V

_Y

,

P (X _∈ A , Y _∈ B) ₌ _P (X _∈ A) _· _P (Y _∈ B)

(70)

P (X ₌ x

_i

, Y ₌ y

_j

)

P ( { X ₌ x

_i

} ∩ { Y ₌ y

_j

} ) ₌ _P (X ₌ x

_i

et Y ₌ y

_j

).

vecteur aléatoire Z ₌ (X , Y )

P (Z ₌ (x

_i

, y

_j

)) ₌ _P (X ₌ x

_i

, Y ₌ y

_j

)

(71)

P (X ₌ x

_i

, Y ₌ y

_j

)

P ( { X ₌ x

_i

} ∩ { Y ₌ y

_j

} ) ₌ _P (X ₌ x

_i

et Y ₌ y

_j

).

vecteur aléatoire Z ₌ (X , Y )

P (Z ₌ (x

_i

, y

_j

)) ₌ _P (X ₌ x

_i

, Y ₌ y

_j

)

(72)

P (X ₌ x

_i

, Y ₌ y

_j

)

P ( { X ₌ x

_i

} ∩ { Y ₌ y

_j

} ) ₌ _P (X ₌ x

_i

et Y ₌ y

_j

).

vecteur aléatoire Z ₌ (X , Y )

P (Z ₌ (x

_i

, y

_j

)) ₌ _P (X ₌ x

_i

, Y ₌ y

_j

)

(73)

P (X ₌ x

_i

, Y ₌ y

_j

)

P ( { X ₌ x

_i

} ∩ { Y ₌ y

_j

} ) ₌ _P (X ₌ x

_i

et Y ₌ y

_j

).

vecteur aléatoire Z ₌ (X , Y )

P (Z ₌ (x

_i

, y

_j

)) ₌ _P (X ₌ x

_i

, Y ₌ y

_j

)

(74)

Définition 16 (Variables aléatoires mutuellement indépendantes) Si X

₁

, X

₂

, X

₃

, · · · , X

_k

sont k v.a. définies sur _Ω , on dit qu’elles sont mutuellement indépendantes si, et seulement si, quels que soient les intervalles I

₁

, I

₂

, I

₃

, · · · , I

_k

on a :

P Ã

_k

\

i=1

¡ X

_i⁻¹

(I

_i

) ^¢

!

=

k

Y

i=1

P ¡

X

_i⁻¹

(I

_i

) ^¢

(75)

Variables aléatoires réelles finies Fonctions de répartition

Sommaire

Arbre

Loi de probabilité

(76)

Définition 17 (Fonction de répartition)

Soit X une v.a.r. On appelle fonction de répartition de X la fonction F de _R dans _R définie par :

F (x) ₌ _P ( { X _É x } ) On note souvent cette fonction F

_X

.

(77)

Théorème 18 (Propriétés de F

X

)

1

∀ x _∈ _R, F

_X

(x ) _∈ [0 , 1]

2

F

_X

est croissante (sens large).

3

F

_X

est continue à droite en tout point.

4

lim

x→−∞

F

_X

(x ) ₌ 0

5

lim

x→+∞

F

_X

(x ) = 1

6

P ( ^© a _< X _≤ b ^ª ) ₌ F

_X

(b) ₋ F

_X

(a)

7

F

_X

(a) ₌ _P ( { X _≤ a } ) ₌ 1 ₋ _P ( { X _> a } )

8

P ( { X ₌ a } ) ₌ lim

x→a⁺

F

_X

(x ) ₋ lim

x→a⁻

F

_X

(x) ₌ F

_X

(a) ₋ lim

x→a⁻

F

_X

(x ) . Par

conséquent en tout point a où F

_X

est continue on a _P ( { X ₌ a } ) ₌ 0 .

(78)

1

∀ x _∈ _R, F

_X

(x ) _∈ [0 , 1]

2

F

_X

est croissante (sens large).

3

F

_X

est continue à droite en tout point.

4

lim

x→−∞

F

_X

(x ) ₌ 0

5

lim

x→+∞

F

_X

(x ) = 1

6

P ( ^© a _< X _≤ b ^ª ) ₌ F

_X

(b) ₋ F

_X

(a)

7

F

_X

(a) ₌ _P ( { X _≤ a } ) ₌ 1 ₋ _P ( { X _> a } )

8

P ( { X ₌ a } ) ₌ lim

x→a⁺

F

_X

(x ) ₋ lim

x→a⁻

F

_X

(x) ₌ F

_X

(a) ₋ lim

x→a⁻

F

_X

(x ) . Par conséquent en tout point a où F

_X

est continue on a _P ( { X ₌ a } ) ₌ 0 .

(79)

Théorème 18 (Propriétés de F

X

)

1

∀ x _∈ _R, F

_X

(x ) _∈ [0 , 1]

2

F

_X

est croissante (sens large).

3

F

_X

est continue à droite en tout point.

4

lim

x→−∞

F

_X

(x ) ₌ 0

5

lim

x→+∞

F

_X

(x ) = 1

6

P ( ^© a _< X _≤ b ^ª ) ₌ F

_X

(b) ₋ F

_X

(a)

7

F

_X

(a) ₌ _P ( { X _≤ a } ) ₌ 1 ₋ _P ( { X _> a } )

8

P ( { X ₌ a } ) ₌ lim

x→a⁺

F

_X

(x ) ₋ lim

x→a⁻

F

_X

(x) ₌ F

_X

(a) ₋ lim

x→a⁻

F

_X

(x ) . Par

conséquent en tout point a où F

_X

est continue on a _P ( { X ₌ a } ) ₌ 0 .

(80)

1

∀ x _∈ _R, F

_X

(x ) _∈ [0 , 1]

2

F

_X

est croissante (sens large).

3

F

_X

est continue à droite en tout point.

4

lim

x→−∞

F

_X

(x ) ₌ 0

5

lim

x→+∞

F

_X

(x ) = 1

6

P ( ^© a _< X _≤ b ^ª ) ₌ F

_X

(b) ₋ F

_X

(a)

7

F

_X

(a) ₌ _P ( { X _≤ a } ) ₌ 1 ₋ _P ( { X _> a } )

8

P ( { X ₌ a } ) ₌ lim

x→a⁺

F

_X

(x ) ₋ lim

x→a⁻

F

_X

(x) ₌ F

_X

(a) ₋ lim

x→a⁻

F

_X

(x ) . Par conséquent en tout point a où F

_X

est continue on a _P ( { X ₌ a } ) ₌ 0 .

(81)

Théorème 18 (Propriétés de F

X

)

1

∀ x _∈ _R, F

_X

(x ) _∈ [0 , 1]

2

F

_X

est croissante (sens large).

3

F

_X

est continue à droite en tout point.

4

lim

x→−∞

F

_X

(x ) ₌ 0

5

lim

x→+∞

F

_X

(x ) = 1

6

_X

(b) ₋ F

_X

(a)

7

F

_X

(a) ₌ _P ( { X _≤ a } ) ₌ 1 ₋ _P ( { X _> a } )

8

P ( { X ₌ a } ) ₌ lim

x→a⁺

F

_X

(x ) ₋ lim

x→a⁻

F

_X

(x) ₌ F

_X

(a) ₋ lim

x→a⁻

F

_X

(x ) . Par

conséquent en tout point a où F

_X

est continue on a _P ( { X ₌ a } ) ₌ 0 .

(82)

1

∀ x _∈ _R, F

_X

(x ) _∈ [0 , 1]

2

F

_X

est croissante (sens large).

3

F

_X

est continue à droite en tout point.

4

lim

x→−∞

F

_X

(x ) ₌ 0

5

lim

x→+∞

F

_X

(x ) = 1

6

_X

(b) ₋ F

_X

(a)

7

F

_X

(a) ₌ _P ( { X _≤ a } ) ₌ 1 ₋ _P ( { X _> a } )

8

P ( { X ₌ a } ) ₌ lim

x→a⁺

F

_X

(x ) ₋ lim

x→a⁻

F

_X

(x) ₌ F

_X

(a) ₋ lim

x→a⁻

F

_X

(x ) . Par conséquent en tout point a où F

_X

est continue on a _P ( { X ₌ a } ) ₌ 0 .

(83)

Théorème 18 (Propriétés de F

X

)

1

∀ x _∈ _R, F

_X

(x ) _∈ [0 , 1]

2

F

_X

est croissante (sens large).

3

F

_X

est continue à droite en tout point.

4

lim

x→−∞

F

_X

(x ) ₌ 0

5

lim

x→+∞

F

_X

(x ) = 1

6

_X

(b) ₋ F

_X

(a)

7

F

_X

(a) ₌ _P ( { X _≤ a } ) ₌ 1 ₋ _P ( { X _> a } )

8

P ( { X ₌ a } ) ₌ lim

x→a⁺

F

_X

(x ) ₋ lim

x→a⁻

F

_X

(x) ₌ F

_X

(a) ₋ lim

x→a⁻

F

_X

(x ) . Par

conséquent en tout point a où F

_X

est continue on a _P ( { X ₌ a } ) ₌ 0 .

(84)

1

∀ x _∈ _R, F

_X

(x ) _∈ [0 , 1]

2

F

_X

est croissante (sens large).

3

F

_X

est continue à droite en tout point.

4

lim

x→−∞

F

_X

(x ) ₌ 0

5

lim

x→+∞

F

_X

(x ) = 1

6

_X

(b) ₋ F

_X

(a)

7

F

_X

(a) ₌ _P ( { X _≤ a } ) ₌ 1 ₋ _P ( { X _> a } )

8

P ( { X ₌ a } ) ₌ lim

x→a⁺

F

_X

(x ) ₋ lim

x→a⁻

F

_X

(x) ₌ F

_X

(a) ₋ lim

x→a⁻

F

_X

(x ) . Par conséquent en tout point a où F

_X

est continue on a _P ( { X ₌ a } ) ₌ 0 .

(85)

Théorème 18 (Propriétés de F

X

)

1

∀ x _∈ _R, F

_X

(x ) _∈ [0 , 1]

2

F

_X

est croissante (sens large).

3

F

_X

est continue à droite en tout point.

4

lim

x→−∞

F

_X

(x ) ₌ 0

5

lim

x→+∞

F

_X

(x ) = 1

6

_X

(b) ₋ F

_X

(a)

7

F

_X

(a) ₌ _P ( { X _≤ a } ) ₌ 1 ₋ _P ( { X _> a } )

8

P ( { X ₌ a } ) ₌ lim

x→a⁺

F

_X

(x ) ₋ lim

x→a⁻

F

_X

(x) ₌ F

_X

(a) ₋ lim

x→a⁻

F

_X

(x ) . Par

conséquent en tout point a où F

_X

est continue on a _P ( { X ₌ a } ) ₌ 0 .

(86)

Arbre

Loi de probabilité

(87)

Variables aléatoires réelles finies Espérance mathématique

Définition 19 (Espérance mathématique)

On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire X le nombre noté _E (X ) défini par

E (X ) ₌ x

₁

_× _P (X ₌ x

₁

) ₊ x

₂

_× _P (X ₌ x

₂

) _{+· · ·+} x

_n

_×P (X ₌ x

_n

) ₌

n

X

i=1

x

_i

_· _P (X ₌ x

_i

)

(88)

Théorème 20 (Espérance de foX)

Soit X une v.a.r. Soit f : _R _→ _R telle que f _◦ X soit une v.a.r. Alors E (f _◦ X ) = X

n∈N

f (x

_n

) _P ( { X ₌ x

_n

} ) Cette propriété sera admise dans un premier temps.

(89)

Variables aléatoires réelles finies Variance

Sommaire

Arbre

Loi de probabilité

(90)

Définition 21 (Variance) V (X ) ₌

n

X

i=1

¡ x

i

− E (X ) ^¢

²

_· _P (X ₌ x

i

)

(91)

Variables aléatoires réelles finies Variance

Définition 22 (Écart-type) σ (X ) = p

V (X )

(92)

Arbre

Loi de probabilité

(93)

Variables aléatoires réelles finies Linéarité de l’espérance

Théorème 23 (Linéarité de l’espérance) E (aX ₊ b) ₌

X

n i=1

(ax

_i

₊ b) _× _P (X ₌ x

_i

) ₌ a _E (X ) ₊ b

E (X ₊ Y ) ₌ _E (X ) ₊ _E (Y )

(94)

Théorème 23 (Linéarité de l’espérance) E (aX ₊ b) ₌

X

n i=1

(ax

_i

₊ b) _× _P (X ₌ x

_i

) ₌ a _E (X ) ₊ b E (X ₊ Y ) ₌ _E (X ) ₊ _E (Y )

(95)

Variables aléatoires réelles finies Linéarité de l’espérance

Théorème 23 (Linéarité de l’espérance) E (aX ₊ b) ₌

X

n i=1

(ax

_i

₊ b) _× _P (X ₌ x

_i

) ₌ a _E (X ) ₊ b

E (X ₊ Y ) ₌ _E (X ) ₊ _E (Y )

(96)

Arbre

Loi de probabilité

(97)

Variables aléatoires réelles finies Théorème de König-Huygens

Théorème 24 (Théorème de König-Huygens)

V (X ) ₌ _E ^¡ (X ₋ _E (X ))

²

^¢ ₌ _E ^¡ X

²

^¢ ₋ ^¡ _E (X ) ^¢

²

(98)

Arbre

Loi de probabilité

(99)

Variables aléatoires réelles finies V.a.r. centrée réduite

Définition 25 (V.a.r.c.r.)

Soit X une v.a.r. qui admet une variance non nulle. On appelle v.a.r.

centrée réduite associée à X la v.a.r. :

X

^?

₌ X ₋ _E (X ) σ (X )

Cette définition en est-elle une ? Que valent _E (X

^?

) et _V (X

^?

) ?

(100)

Arbre

Loi de probabilité

(101)

Quelques lois discrètes classiques Loi uniforme (discrète)

Sommaire

Arbre

Loi de probabilité

(102)

Définition 26 (Loi uniforme)

On dit que X : _Ω _−→ 1 , n suit une loi uniforme sur 1 , n si : X ( _Ω ) ₌ 1 , n et _∀ k _∈ 1 , n , P (X ₌ k ) ₌ 1

n On note X U ( 1 , n ).

(103)

Quelques lois discrètes classiques Loi de Bernoulli

Sommaire

Arbre

Loi de probabilité

(104)

(105)

Définition 27 (Loi de Bernoulli)

0 , 1 ^ª ; P (X ₌ 1) ₌ p.

On note alors X B(1 _, p)

(106)

Définition 27 (Loi de Bernoulli)

0 , 1 ^ª ; P (X ₌ 1) ₌ p.

On note alors X B(1 _, p)

(107)

Définition 27 (Loi de Bernoulli)

0 , 1 ^ª ; P (X ₌ 1) ₌ p.

On note alors X B(1 _, p)

(108)

Arbre

Loi de probabilité

Probabilités INFO1 - Semaines 15 à 24 Guillaume CONNAN

Probabilités

INFO1 - Semaines 15 à 24

Guillaume CONNAN

Dernière mise à jour : 16 avril 2013

Sommaire

expérience aléatoire univers

évènement élémentaire évènement certain évènement impossible tribu

mesurer a priori isomorphisme

expérience aléatoire univers

évènement élémentaire évènement certain évènement impossible tribu

mesurer a priori

isomorphisme

expérience aléatoire univers

évènement élémentaire évènement certain évènement impossible tribu

mesurer a priori isomorphisme

expérience aléatoire univers

évènement élémentaire évènement certain évènement impossible tribu

mesurer a priori

isomorphisme

expérience aléatoire univers

évènement élémentaire évènement certain évènement impossible tribu

mesurer a priori isomorphisme

expérience aléatoire univers

évènement élémentaire évènement certain évènement impossible tribu

mesurer a priori

isomorphisme

expérience aléatoire univers

évènement élémentaire évènement certain évènement impossible tribu

mesurer a priori isomorphisme

expérience aléatoire univers

évènement élémentaire évènement certain évènement impossible tribu

mesurer a priori

isomorphisme

Définition 1 (Tribu)

Une tribu T

définie sur un univers Ω est une partie de P ( Ω ) qui vérifie :

Ω ∈ T

;

A ∈ T

=⇒ Ù

A ∈ T

;

∀ I ⊆ N , (A

)

∈ T

=⇒ [

A

∈ T

.

Définition 1 (Tribu)

Une tribu T

définie sur un univers Ω est une partie de P ( Ω ) qui vérifie :

Ω ∈ T

;

A ∈ T

=⇒ Ù

A ∈ T

;

∀ I ⊆ N , (A

)

∈ T

=⇒ [

A

∈ T

.

Définition 1 (Tribu)

Une tribu T

définie sur un univers Ω est une partie de P ( Ω ) qui vérifie :

Ω ∈ T

;

A ∈ T

=⇒ Ù

A ∈ T

;

∀ I ⊆ N , (A

)

∈ T

=⇒ [

A

définie sur un univers _Ω est une partie de P ( _Ω ) qui vérifie :

A _∈ T

_{=⇒ Ù}

A _∈ T

∀ I _⊆ _N , (A

_∈ T

_=⇒ ^[

_∈ T

définie sur un univers _Ω est une partie de P ( _Ω ) qui vérifie :

A _∈ T

_{=⇒ Ù}

A _∈ T

∀ I _⊆ _N , (A

_∈ T

_=⇒ ^[

_∈ T

définie sur un univers _Ω est une partie de P ( _Ω ) qui vérifie :

A _∈ T

_{=⇒ Ù}

A _∈ T

∀ I _⊆ _N , (A

_∈ T

_=⇒ ^[

_∈ T

définie sur un univers _Ω est une partie de P ( _Ω ) qui vérifie :

A _∈ T

_{=⇒ Ù}

A _∈ T

∀ I _⊆ _N , (A

_∈ T

_=⇒ ^[

_∈ T

une tribu définie sur l’univers _Ω . On dit que ^¡ _Ω , T

^¢ est un espace

Soit ( _Ω , T ) un espace probabilisable. On appelle mesure de probabilité (ou probabilité tout court) une application Pr définie sur T vérifiant :

∀ A _∈ T , P (A) _∈ [0 , 1] ;

P ( _Ω ) ₌ 1 ;

∀ (A , B) _∈ T _× T , A _∩ B _{= ; =⇒} _P (A _∪ B ) = P (A) ₊ _P (B)

On dit alors que ( _Ω, T , P ) est un espace probabilisé.

Soit ( _Ω , T ) un espace probabilisable. On appelle mesure de probabilité (ou probabilité tout court) une application Pr définie sur T vérifiant :

∀ A _∈ T , P (A) _∈ [0 , 1] ;

P ( _Ω ) ₌ 1 ;

∀ (A , B) _∈ T _× T , A _∩ B _{= ; =⇒} _P (A _∪ B ) = P (A) ₊ _P (B) On dit alors que ( _Ω, T , P ) est un espace probabilisé.

Soit ( _Ω , T ) un espace probabilisable. On appelle mesure de probabilité (ou probabilité tout court) une application Pr définie sur T vérifiant :

∀ A _∈ T , P (A) _∈ [0 , 1] ;

P ( _Ω ) ₌ 1 ;

∀ (A , B) _∈ T _× T , A _∩ B _{= ; =⇒} _P (A _∪ B ) = P (A) ₊ _P (B)

On dit alors que ( _Ω, T , P ) est un espace probabilisé.

Soit ( _Ω , T ) un espace probabilisable. On appelle mesure de probabilité (ou probabilité tout court) une application Pr définie sur T vérifiant :

∀ A _∈ T , P (A) _∈ [0 , 1] ;

P ( _Ω ) ₌ 1 ;

∀ (A , B) _∈ T _× T , A _∩ B _{= ; =⇒} _P (A _∪ B ) = P (A) ₊ _P (B) On dit alors que ( _Ω, T , P ) est un espace probabilisé.

Soit ( _Ω , T , P ) un espace probabilisé. La probabilité _P vérifie :

P ( _Ù

A) ₌ 1 ₋ _P (A) ;

∀ (A , B) _∈ T _× T , A _⊂ B _=⇒ _P (A) _É _P (B) ;

∀ (A , B) _∈ T _× T , P (A _∪ B) ₌ _P (A) ₊ _P (B) ₋ _P (A _∩ B) (cas particulier de la formule du crible de Poincaré).

Soit ( _Ω , T , P ) un espace probabilisé. La probabilité _P vérifie :

P ( _Ù

A) ₌ 1 ₋ _P (A) ;

∀ (A , B) _∈ T _× T , A _⊂ B _=⇒ _P (A) _É _P (B) ;

∀ (A , B) _∈ T _× T , P (A _∪ B) ₌ _P (A) ₊ _P (B) ₋ _P (A _∩ B) (cas particulier de

Soit ( _Ω , T , P ) un espace probabilisé. La probabilité _P vérifie :

P ( _Ù

A) ₌ 1 ₋ _P (A) ;

∀ (A , B) _∈ T _× T , A _⊂ B _=⇒ _P (A) _É _P (B) ;