Logique des propositions INFO1 - Semaines 38 & 39 Guillaume CONNAN

(1)

Logique des propositions

INFO1 - Semaines 38 & 39

Guillaume CONNAN

IUT de Nantes - Dpt d'informatique

Dernière mise à jour : 30 septembre 2012

(IUT de Nantes - Dpt d'informatique ) 1 / 50

(2)

Sommaire

1 Syntaxe 2 Sémantique

3 Portes logiques

4 Approche formelle de la logique propositionnelle

(3)

(4)

Dr. McCoy : Mr. Spock, remind me to tell you that I'm sick and tired of your logic.

Spock : That is a most illogical attitude.

(5)

Syntaxe

Sommaire

1 Syntaxe 2 Sémantique

3 Portes logiques

4 Approche formelle de la logique propositionnelle

(6)

Syntaxe Les symboles

propositions atomiques.

⊥

>

¬

∧

∨

→

↔

( et ) .

(7)

propositions atomiques.

⊥

>

¬

∧

∨

→

↔

( et ) .

(8)

propositions atomiques.

⊥

>

¬

∧

∨

→

↔

( et ) .

(9)

propositions atomiques.

⊥

>

¬

∧

∨

→

↔

( et ) .

(10)

propositions atomiques.

⊥

>

¬

∧

∨

→

↔

( et ) .

(11)

propositions atomiques.

⊥

>

¬

∧

∨

→

↔

( et ) .

(12)

propositions atomiques.

⊥

>

¬

∧

∨

→

↔

( et ) .

(13)

propositions atomiques.

⊥

>

¬

∧

∨

→

↔

( et ) .

(14)

propositions atomiques.

⊥

>

¬

∧

∨

→

↔

( et ) .

(15)

L'ensemble des formules de la logique propositionnelle est le plus petit en- semble F tel que :

⊥ est un élément de F ;

toute proposition atomique est un élément de F ;

si p ∈ F, alors ( ¬ p) ∈ F ; si p et q sont dans F, alors (p ∧ q),(p ∨ q),(p → q),et (p ↔ q)sont des éléments de F ; il n'y a pas d'autres expressions bien formées que celles décrites par les règles précédentes.

type ^{atom =} int;;

type ^{formule =}

|Faux

|Atomic of ^atom

|Non of ^formule

|Et of (formule * formule)

|Ou of (formule * formule)

|Implique of (formule * formule)

|Equiv of (formule * formule) ;;

(16)

L'ensemble des formules de la logique propositionnelle est le plus petit en- semble F tel que :

⊥ est un élément de F ;

toute proposition atomique est un élément de F ;

si p ∈ F, alors ( ¬ p) ∈ F ; si p et q sont dans F, alors (p ∧ q),(p ∨ q),(p → q),et (p ↔ q)sont des éléments de F ; il n'y a pas d'autres expressions bien formées que celles décrites par les règles précédentes.

type ^{atom =} int;;

type ^{formule =}

|Faux

|Atomic of ^atom

|Non of ^formule

|Et of (formule * formule)

|Ou of (formule * formule)

|Implique of (formule * formule)

|Equiv of (formule * formule) ;;

(17)

L'ensemble des formules de la logique propositionnelle est le plus petit en- semble F tel que :

⊥ est un élément de F ;

toute proposition atomique est un élément de F ;

si p ∈ F, alors ( ¬ p) ∈ F ; si p et q sont dans F, alors (p ∧ q),(p ∨ q),(p → q),et (p ↔ q)sont des éléments de F ; il n'y a pas d'autres expressions bien formées que celles décrites par les règles précédentes.

type ^{atom =} int;;

type ^{formule =}

|Faux

|Atomic of ^atom

|Non of ^formule

|Et of (formule * formule)

|Ou of (formule * formule)

|Implique of (formule * formule)

|Equiv of (formule * formule) ;;

(18)

L'ensemble des formules de la logique propositionnelle est le plus petit en- semble F tel que :

⊥ est un élément de F ;

toute proposition atomique est un élément de F ;

si p ∈ F, alors ( ¬ p) ∈ F ; si p et q sont dans F, alors (p ∧ q),(p ∨ q),(p → q),et (p ↔ q)sont des éléments de F ; il n'y a pas d'autres expressions bien formées que celles décrites par les règles précédentes.

type ^{atom =} int;;

type ^{formule =}

|Faux

|Atomic of ^atom

|Non of ^formule

|Et of (formule * formule)

|Ou of (formule * formule)

|Implique of (formule * formule)

|Equiv of (formule * formule) ;;

(19)

L'ensemble des formules de la logique propositionnelle est le plus petit en- semble F tel que :

⊥ est un élément de F ;

toute proposition atomique est un élément de F ;

si p ∈ F, alors ( ¬ p) ∈ F ; si p et q sont dans F, alors (p ∧ q),(p ∨ q),(p → q),et (p ↔ q)sont des éléments de F ; il n'y a pas d'autres expressions bien formées que celles décrites par les règles précédentes.

type ^{atom =} int;;

type ^{formule =}

|Faux

|Atomic of ^atom

|Non of ^formule

|Et of (formule * formule)

|Ou of (formule * formule)

|Implique of (formule * formule)

|Equiv of (formule * formule) ;;

(20)

L'ensemble des formules de la logique propositionnelle est le plus petit en- semble F tel que :

⊥ est un élément de F ;

toute proposition atomique est un élément de F ;

si p ∈ F, alors ( ¬ p) ∈ F ; si p et q sont dans F, alors (p ∧ q),(p ∨ q),(p → q),et (p ↔ q)sont des éléments de F ; il n'y a pas d'autres expressions bien formées que celles décrites par les règles précédentes.

type ^{atom =} int;;

type ^{formule =}

|Faux

|Atomic of ^atom

|Non of ^formule

|Et of (formule * formule)

|Ou of (formule * formule)

|Implique of (formule * formule)

|Equiv of (formule * formule) ;;

(21)

L'ensemble des formules de la logique propositionnelle est le plus petit en- semble F tel que :

⊥ est un élément de F ;

toute proposition atomique est un élément de F ;

si p ∈ F, alors ( ¬ p) ∈ F ; si p et q sont dans F, alors (p ∧ q),(p ∨ q),(p → q),et (p ↔ q)sont des éléments de F ; il n'y a pas d'autres expressions bien formées que celles décrites par les règles précédentes.

type

^{atom =}

int;;

type

^{formule =}

|Faux

|Atomic

of

^atom

|Non

of

^formule

|Et

of

(formule * formule)

|Ou

of

(formule * formule)

|Implique

of

(formule * formule)

|Equiv

of

(formule * formule)

;;

(22)

L'ensemble des formules de la logique propositionnelle est le plus petit en- semble F tel que :

⊥ est un élément de F ;

toute proposition atomique est un élément de F ;

si p ∈ F, alors ( ¬ p) ∈ F ; si p et q sont dans F, alors (p ∧ q),(p ∨ q),(p → q),et (p ↔ q)sont des éléments de F ; il n'y a pas d'autres expressions bien formées que celles décrites par les règles précédentes.

type

^{atom =}

int;;

type

^{formule =}

|Faux

|Atomic

of

^atom

|Non

of

^formule

|Et

of

(formule * formule)

|Ou

of

(formule * formule)

|Implique

of

(formule * formule)

|Equiv

of

(formule * formule)

;;

(23)

L'ensemble des formules de la logique propositionnelle est le plus petit en- semble F tel que :

⊥ est un élément de F ;

toute proposition atomique est un élément de F ;

si p ∈ F, alors ( ¬ p) ∈ F ; si p et q sont dans F, alors (p ∧ q),(p ∨ q),(p → q),et (p ↔ q)sont des éléments de F ; il n'y a pas d'autres expressions bien formées que celles décrites par les règles précédentes.

type

^{atom =}

int;;

type

^{formule =}

|Faux

|Atomic

of

^atom

|Non

of

^formule

|Et

of

(formule * formule)

|Ou

of

(formule * formule)

|Implique

of

(formule * formule)

|Equiv

of

(formule * formule)

;;

(24)

L'ensemble des formules de la logique propositionnelle est le plus petit en- semble F tel que :

⊥ est un élément de F ;

toute proposition atomique est un élément de F ;

si p ∈ F, alors ( ¬ p) ∈ F ; si p et q sont dans F, alors (p ∧ q),(p ∨ q),(p → q),et (p ↔ q)sont des éléments de F ; il n'y a pas d'autres expressions bien formées que celles décrites par les règles précédentes.

type

^{atom =}

int;;

type

^{formule =}

|Faux

|Atomic

of

^atom

|Non

of

^formule

|Et

of

(formule * formule)

|Ou

of

(formule * formule)

|Implique

of

(formule * formule)

|Equiv

of

(formule * formule)

;;

(25)

priorités

¬ est prioritaire sur les autres opérateurs ;

∨ et ∧ sont prioritaires sur → et ↔ . Mais attention ! p ∨ q ∧ r est ambigu.

(26)

priorités

¬ est prioritaire sur les autres opérateurs ;

∨ et ∧ sont prioritaires sur → et ↔ . Mais attention ! p ∨ q ∧ r est ambigu.

(27)

connecteurs

Remarque

Il y a bien plus de connecteurs logiques que ceux évoqués ici. En fait, un connecteur logique est une fonction totale de B ₂ ⁿ dans B ₂ . On dit que n est son arité. Par exemple, ¬ est un connecteur d'arité 1 et ∧ est un

connecteur d'arité 2.

(28)

arbres

s → ((p ∧ ( ¬ q)) ∨ (p ↔ ( ¬ r)))

→

s ∨

∧

p ¬

q

↔

p ¬

r

(29)

arbres

s → ((p ∧ ( ¬ q)) ∨ (p ↔ ( ¬ r)))

→

s ∨

∧

p ¬

q

↔

p ¬

r

(30)

Démonstration par induction

Théorème 1

Si une propriété P portant sur les formules de F est telle que : toute variable propositionnelle vérie P ;

⊥ vérie P ;

si la formule p vérie P, alors ( ¬ p) vérie P ;

si p et q vérient P, alors (p ∨ q), (p ∧ q), (p → q) et (p ↔ q) vérient P ;

alors toutes les formules de F vérient P.

Exercice 1

Toute formule de F a autant de parenthèses ouvrantes que de parenthèses fermantes.

(31)

Démonstration par induction

Théorème 1

Si une propriété P portant sur les formules de F est telle que : toute variable propositionnelle vérie P ;

⊥ vérie P ;

si la formule p vérie P, alors ( ¬ p) vérie P ;

si p et q vérient P, alors (p ∨ q), (p ∧ q), (p → q) et (p ↔ q) vérient P ;

alors toutes les formules de F vérient P.

Exercice 1

Toute formule de F a autant de parenthèses ouvrantes que de parenthèses fermantes.

(32)

Démonstration par induction

Théorème 1

Si une propriété P portant sur les formules de F est telle que : toute variable propositionnelle vérie P ;

⊥ vérie P ;

si la formule p vérie P, alors ( ¬ p) vérie P ;

si p et q vérient P, alors (p ∨ q), (p ∧ q), (p → q) et (p ↔ q) vérient P ;

alors toutes les formules de F vérient P.

Exercice 1

Toute formule de F a autant de parenthèses ouvrantes que de parenthèses fermantes.

(33)

Démonstration par induction

Théorème 1

Si une propriété P portant sur les formules de F est telle que : toute variable propositionnelle vérie P ;

⊥ vérie P ;

si la formule p vérie P, alors ( ¬ p) vérie P ;

si p et q vérient P, alors (p ∨ q), (p ∧ q), (p → q) et (p ↔ q) vérient P ;

alors toutes les formules de F vérient P.

Exercice 1

Toute formule de F a autant de parenthèses ouvrantes que de parenthèses fermantes.

(34)

Démonstration par induction

Théorème 1

Si une propriété P portant sur les formules de F est telle que : toute variable propositionnelle vérie P ;

⊥ vérie P ;

si la formule p vérie P, alors ( ¬ p) vérie P ;

si p et q vérient P, alors (p ∨ q), (p ∧ q), (p → q) et (p ↔ q) vérient P ;

alors toutes les formules de F vérient P.

Exercice 1

Toute formule de F a autant de parenthèses ouvrantes que de parenthèses fermantes.

(35)

Démonstration par induction

Théorème 1

Si une propriété P portant sur les formules de F est telle que : toute variable propositionnelle vérie P ;

⊥ vérie P ;

si la formule p vérie P, alors ( ¬ p) vérie P ;

si p et q vérient P, alors (p ∨ q), (p ∧ q), (p → q) et (p ↔ q) vérient P ;

alors toutes les formules de F vérient P.

Exercice 1

Toute formule de F a autant de parenthèses ouvrantes que de parenthèses fermantes.

(36)

Démonstration par induction

Théorème 1

Si une propriété P portant sur les formules de F est telle que : toute variable propositionnelle vérie P ;

⊥ vérie P ;

si la formule p vérie P, alors ( ¬ p) vérie P ;

si p et q vérient P, alors (p ∨ q), (p ∧ q), (p → q) et (p ↔ q) vérient P ;

alors toutes les formules de F vérient P.

Exercice 1

Toute formule de F a autant de parenthèses ouvrantes que de parenthèses fermantes.

(37)

Sous-formules

Exercice 2

s → ((p ∧ ( ¬ q)) ∨ (p ↔ ( ¬ r)))

(38)

fonction booléenne

Exemple 2

f : B ₂ ³ → B 2

(p ^, q ^, r) 7→ s → ((p ∧ ( ¬ q)) ∨ (p ↔ ( ¬ r)))

(39)

Sémantique

Sommaire

1 Syntaxe 2 Sémantique

3 Portes logiques

4 Approche formelle de la logique propositionnelle

(40)

Sémantique

Valeurs sous un environnement

Dénition 3

Une distribution de vérité (ou environnement ou interprétation

propositionnelle) est une fonction totale v des variables atomiques de F dans B 2 .

(41)

Sémantique

Valeur sous un environnement

Val( ⊥, v) = 0 ;

si p est une variable atomique alors Val(p ^, v) = v(p) ; Val( ¬ p ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = 0 (NÉGATION) ;

Val(p ∧ q ^, v) = 1 ssi Val(p ^, v) = Val(q ^, v) = 1 (CONJONCTION) ; Val(p ∨ q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = Val(q , v) = 0 (DISJONCTION) ; Val(p → q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = 1 et Val(q , v) = 0 (IMPLICATION) ; Val(p ↔ q ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = Val(q ^, v) (ÉQUIVALENCE),

f = (p ∧ (q ∨ r)) et 〈 v(p) = 1 , v(q) = 0 , v(r) = 1 〉 : Val(f , v) ?

(42)

Sémantique

Valeur sous un environnement

Val( ⊥, v) = 0 ;

si p est une variable atomique alors Val(p ^, v) = v(p) ; Val( ¬ p ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = 0 (NÉGATION) ;

Val(p ∧ q ^, v) = 1 ssi Val(p ^, v) = Val(q ^, v) = 1 (CONJONCTION) ; Val(p ∨ q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = Val(q , v) = 0 (DISJONCTION) ; Val(p → q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = 1 et Val(q , v) = 0 (IMPLICATION) ; Val(p ↔ q ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = Val(q ^, v) (ÉQUIVALENCE),

f = (p ∧ (q ∨ r)) et 〈 v(p) = 1 , v(q) = 0 , v(r) = 1 〉 : Val(f , v) ?

(43)

Sémantique

Valeur sous un environnement

Val( ⊥, v) = 0 ;

si p est une variable atomique alors Val(p ^, v) = v(p) ; Val( ¬ p ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = 0 (NÉGATION) ;

Val(p ∧ q ^, v) = 1 ssi Val(p ^, v) = Val(q ^, v) = 1 (CONJONCTION) ; Val(p ∨ q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = Val(q , v) = 0 (DISJONCTION) ; Val(p → q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = 1 et Val(q , v) = 0 (IMPLICATION) ; Val(p ↔ q ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = Val(q ^, v) (ÉQUIVALENCE),

f = (p ∧ (q ∨ r)) et 〈 v(p) = 1 , v(q) = 0 , v(r) = 1 〉 : Val(f , v) ?

(44)

Sémantique

Valeur sous un environnement

Val( ⊥, v) = 0 ;

si p est une variable atomique alors Val(p ^, v) = v(p) ; Val( ¬ p ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = 0 (NÉGATION) ;

Val(p ∧ q ^, v) = 1 ssi Val(p ^, v) = Val(q ^, v) = 1 (CONJONCTION) ; Val(p ∨ q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = Val(q , v) = 0 (DISJONCTION) ; Val(p → q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = 1 et Val(q , v) = 0 (IMPLICATION) ; Val(p ↔ q ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = Val(q ^, v) (ÉQUIVALENCE),

f = (p ∧ (q ∨ r)) et 〈 v(p) = 1 , v(q) = 0 , v(r) = 1 〉 : Val(f , v) ?

(45)

Sémantique

Valeur sous un environnement

Val( ⊥, v) = 0 ;

si p est une variable atomique alors Val(p ^, v) = v(p) ; Val( ¬ p ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = 0 (NÉGATION) ;

Val(p ∧ q ^, v) = 1 ssi Val(p ^, v) = Val(q ^, v) = 1 (CONJONCTION) ; Val(p ∨ q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = Val(q , v) = 0 (DISJONCTION) ; Val(p → q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = 1 et Val(q , v) = 0 (IMPLICATION) ; Val(p ↔ q ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = Val(q ^, v) (ÉQUIVALENCE),

f = (p ∧ (q ∨ r)) et 〈 v(p) = 1 , v(q) = 0 , v(r) = 1 〉 : Val(f , v) ?

(46)

Sémantique

Valeur sous un environnement

Val( ⊥, v) = 0 ;

si p est une variable atomique alors Val(p ^, v) = v(p) ; Val( ¬ p ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = 0 (NÉGATION) ;

Val(p ∧ q ^, v) = 1 ssi Val(p ^, v) = Val(q ^, v) = 1 (CONJONCTION) ; Val(p ∨ q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = Val(q , v) = 0 (DISJONCTION) ; Val(p → q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = 1 et Val(q , v) = 0 (IMPLICATION) ; Val(p ↔ q ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = Val(q ^, v) (ÉQUIVALENCE),

f = (p ∧ (q ∨ r)) et 〈 v(p) = 1 , v(q) = 0 , v(r) = 1 〉 : Val(f , v) ?

(47)

Sémantique

Valeur sous un environnement

Val( ⊥, v) = 0 ;

si p est une variable atomique alors Val(p ^, v) = v(p) ; Val( ¬ p ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = 0 (NÉGATION) ;

Val(p ∧ q ^, v) = 1 ssi Val(p ^, v) = Val(q ^, v) = 1 (CONJONCTION) ; Val(p ∨ q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = Val(q , v) = 0 (DISJONCTION) ; Val(p → q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = 1 et Val(q , v) = 0 (IMPLICATION) ; Val(p ↔ q ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = Val(q ^, v) (ÉQUIVALENCE),

f = (p ∧ (q ∨ r)) et 〈 v(p) = 1 , v(q) = 0 , v(r) = 1 〉 : Val(f , v) ?

(48)

Sémantique

Valeur sous un environnement

Val( ⊥, v) = 0 ;

si p est une variable atomique alors Val(p ^, v) = v(p) ; Val( ¬ p ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = 0 (NÉGATION) ;

Val(p ∧ q ^, v) = 1 ssi Val(p ^, v) = Val(q ^, v) = 1 (CONJONCTION) ; Val(p ∨ q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = Val(q , v) = 0 (DISJONCTION) ; Val(p → q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = 1 et Val(q , v) = 0 (IMPLICATION) ; Val(p ↔ q ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = Val(q ^, v) (ÉQUIVALENCE),

f = (p ∧ (q ∨ r)) et 〈 v(p) = 1 , v(q) = 0 , v(r) = 1 〉 : Val(f , v) ?

(49)

Sémantique

Valeur sous un environnement

Val( ⊥, v) = 0 ;

si p est une variable atomique alors Val(p ^, v) = v(p) ; Val( ¬ p ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = 0 (NÉGATION) ;

Val(p ∧ q ^, v) = 1 ssi Val(p ^, v) = Val(q ^, v) = 1 (CONJONCTION) ; Val(p ∨ q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = Val(q , v) = 0 (DISJONCTION) ; Val(p → q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = 1 et Val(q , v) = 0 (IMPLICATION) ; Val(p ↔ q ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = Val(q ^, v) (ÉQUIVALENCE),

f = (p ∧ (q ∨ r)) et 〈 v(p) = 1 , v(q) = 0 , v(r) = 1 〉 : Val(f , v) ?

(50)

Sémantique

Valeur sous un environnement

Val( ⊥, v) = 0 ;

si p est une variable atomique alors Val(p ^, v) = v(p) ; Val( ¬ p ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = 0 (NÉGATION) ;

Val(p ∧ q ^, v) = 1 ssi Val(p ^, v) = Val(q ^, v) = 1 (CONJONCTION) ; Val(p ∨ q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = Val(q , v) = 0 (DISJONCTION) ; Val(p → q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = 1 et Val(q , v) = 0 (IMPLICATION) ; Val(p ↔ q ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = Val(q ^, v) (ÉQUIVALENCE),

f = (p ∧ (q ∨ r)) et 〈 v(p) = 1 , v(q) = 0 , v(r) = 1 〉 : Val(f , v) ?

(51)

Sémantique

Valeur sous un environnement

Val( ⊥, v) = 0 ;

si p est une variable atomique alors Val(p ^, v) = v(p) ; Val( ¬ p ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = 0 (NÉGATION) ;

Val(p ∧ q ^, v) = 1 ssi Val(p ^, v) = Val(q ^, v) = 1 (CONJONCTION) ; Val(p ∨ q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = Val(q , v) = 0 (DISJONCTION) ; Val(p → q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = 1 et Val(q , v) = 0 (IMPLICATION) ; Val(p ↔ q ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = Val(q ^, v) (ÉQUIVALENCE),

f = (p ∧ (q ∨ r)) et 〈 v(p) = 1 , v(q) = 0 , v(r) = 1 〉 : Val(f , v) ?

(52)

Sémantique

Valeur sous un environnement

Val( ⊥, v) = 0 ;

si p est une variable atomique alors Val(p ^, v) = v(p) ; Val( ¬ p ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = 0 (NÉGATION) ;

Val(p ∧ q ^, v) = 1 ssi Val(p ^, v) = Val(q ^, v) = 1 (CONJONCTION) ; Val(p ∨ q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = Val(q , v) = 0 (DISJONCTION) ; Val(p → q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = 1 et Val(q , v) = 0 (IMPLICATION) ; Val(p ↔ q ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = Val(q ^, v) (ÉQUIVALENCE),

f = (p ∧ (q ∨ r)) et 〈 v(p) = 1 , v(q) = 0 , v(r) = 1 〉 : Val(f , v) ?

(53)

Sémantique

Valeur sous un environnement

Val( ⊥, v) = 0 ;

si p est une variable atomique alors Val(p ^, v) = v(p) ; Val( ¬ p ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = 0 (NÉGATION) ;

Val(p ∧ q ^, v) = 1 ssi Val(p ^, v) = Val(q ^, v) = 1 (CONJONCTION) ; Val(p ∨ q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = Val(q , v) = 0 (DISJONCTION) ; Val(p → q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = 1 et Val(q , v) = 0 (IMPLICATION) ; Val(p ↔ q ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = Val(q ^, v) (ÉQUIVALENCE),

f = (p ∧ (q ∨ r)) et 〈 v(p) = 1 , v(q) = 0 , v(r) = 1 〉 : Val(f , v) ?

(54)

Sémantique

Valeur sous un environnement

Val( ⊥, v) = 0 ;

si p est une variable atomique alors Val(p ^, v) = v(p) ; Val( ¬ p ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = 0 (NÉGATION) ;

Val(p ∧ q ^, v) = 1 ssi Val(p ^, v) = Val(q ^, v) = 1 (CONJONCTION) ; Val(p ∨ q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = Val(q , v) = 0 (DISJONCTION) ; Val(p → q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = 1 et Val(q , v) = 0 (IMPLICATION) ; Val(p ↔ q ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = Val(q ^, v) (ÉQUIVALENCE),

f = (p ∧ (q ∨ r)) et 〈 v(p) = 1 , v(q) = 0 , v(r) = 1 〉 : Val(f , v) ?

(55)

Sémantique

Valeur sous un environnement

Val( ⊥, v) = 0 ;

si p est une variable atomique alors Val(p ^, v) = v(p) ; Val( ¬ p ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = 0 (NÉGATION) ;

Val(p ∧ q ^, v) = 1 ssi Val(p ^, v) = Val(q ^, v) = 1 (CONJONCTION) ; Val(p ∨ q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = Val(q , v) = 0 (DISJONCTION) ; Val(p → q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = 1 et Val(q , v) = 0 (IMPLICATION) ; Val(p ↔ q ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = Val(q ^, v) (ÉQUIVALENCE),

f = (p ∧ (q ∨ r)) et 〈 v(p) = 1 , v(q) = 0 , v(r) = 1 〉 : Val(f , v) ?

(56)

Sémantique

Valeur sous un environnement

Val( ⊥, v) = 0 ;

si p est une variable atomique alors Val(p ^, v) = v(p) ; Val( ¬ p ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = 0 (NÉGATION) ;

Val(p ∧ q ^, v) = 1 ssi Val(p ^, v) = Val(q ^, v) = 1 (CONJONCTION) ; Val(p ∨ q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = Val(q , v) = 0 (DISJONCTION) ; Val(p → q , v) = 0 ssi, Val(p , v) = 1 et Val(q , v) = 0 (IMPLICATION) ; Val(p ↔ q ^, v) = 1 ssi, Val(p ^, v) = Val(q ^, v) (ÉQUIVALENCE),

f = (p ∧ (q ∨ r)) et 〈 v(p) = 1 , v(q) = 0 , v(r) = 1 〉 : Val(f , v) ?

(57)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(58)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(59)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(60)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(61)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(62)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(63)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(64)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(65)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(66)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(67)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(68)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(69)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(70)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(71)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(72)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(73)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(74)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(75)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(76)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(77)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(78)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(79)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(80)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(81)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(82)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(83)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(84)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(85)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(86)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(87)

Sémantique

Tables de vérité

p ∨ ( ¬ q → p)

p q ¬ q ¬ q → p p ∨ ( ¬ q → p)

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0

modèle - satisable - tautologie - insatisable

(88)

Sémantique Conséquences et équivalences logiques

Conséquence logique

Dénition 4

Soit F une formule ou un ensemble de formules et G une formule. On dit que G est une conséquence logique de F si, et seulement si, tout modèle de F est aussi un modèle de G. On note alors F |= G.

(89)

Conséquence logique

Dénition 4

Soit F une formule ou un ensemble de formules et G une formule. On dit que G est une conséquence logique de F si, et seulement si, tout modèle de F est aussi un modèle de G. On note alors F |= G.

(90)

Conséquence logique

Dénition 4

Soit F une formule ou un ensemble de formules et G une formule. On dit que G est une conséquence logique de F si, et seulement si, tout modèle de F est aussi un modèle de G. On note alors F |= G.

(91)

Exemple

Je vous paierez seulement si votre programme marche. Or votre programme ne marche pas donc je ne vous paierai pas.

Notons p la variable atomique : Le client paye et m la variable : le programme marche .

Si le client paye, cela implique que le programme marche donc on a p → m.

De plus on sait que ¬ m.

La conséquence logique en est ¬ p.

Le raisonnement du client peut donc être modélisé par : p → m , ¬ m |= ¬ p

Est-il correct ?

(92)

Exemple

Je vous paierez seulement si votre programme marche. Or votre programme ne marche pas donc je ne vous paierai pas.

Notons p la variable atomique : Le client paye et m la variable : le programme marche .

Si le client paye, cela implique que le programme marche donc on a p → m.

De plus on sait que ¬ m.

La conséquence logique en est ¬ p.

Le raisonnement du client peut donc être modélisé par : p → m , ¬ m |= ¬ p

Est-il correct ?

(93)

Exemple

Je vous paierez seulement si votre programme marche. Or votre programme ne marche pas donc je ne vous paierai pas.

Notons p la variable atomique : Le client paye et m la variable : le programme marche .

Si le client paye, cela implique que le programme marche donc on a p → m.

De plus on sait que ¬ m.

La conséquence logique en est ¬ p.

Le raisonnement du client peut donc être modélisé par : p → m , ¬ m |= ¬ p

Est-il correct ?

(94)

Exemple

Je vous paierez seulement si votre programme marche. Or votre programme ne marche pas donc je ne vous paierai pas.

Notons p la variable atomique : Le client paye et m la variable : le programme marche .

Si le client paye, cela implique que le programme marche donc on a p → m.

De plus on sait que ¬ m.

La conséquence logique en est ¬ p.

Le raisonnement du client peut donc être modélisé par : p → m , ¬ m |= ¬ p

Est-il correct ?

(95)

Exemple

Je vous paierez seulement si votre programme marche. Or votre programme ne marche pas donc je ne vous paierai pas.

Notons p la variable atomique : Le client paye et m la variable : le programme marche .

Si le client paye, cela implique que le programme marche donc on a p → m.

De plus on sait que ¬ m.

La conséquence logique en est ¬ p.

Le raisonnement du client peut donc être modélisé par : p → m , ¬ m |= ¬ p

Est-il correct ?

(96)

Exemple

Je vous paierez seulement si votre programme marche. Or votre programme ne marche pas donc je ne vous paierai pas.

Notons p la variable atomique : Le client paye et m la variable : le programme marche .

Si le client paye, cela implique que le programme marche donc on a p → m.

De plus on sait que ¬ m.

La conséquence logique en est ¬ p.

Le raisonnement du client peut donc être modélisé par : p → m , ¬ m |= ¬ p

Est-il correct ?

(97)

Je vous paierez seulement si votre programme marche. Or je ne vous paierai pas donc votre programme ne marche pas

(98)

Attention !

Notez la diérence entre → et |= !...

F |= G signie que F → G est une tautologie ou encore |= (F → G) .

(99)

Attention !

Notez la diérence entre → et |= !...

F |= G signie que F → G est une tautologie ou encore |= (F → G) .

(100)

Attention !

Notez la diérence entre → et |= !...

F |= G signie que F → G est une tautologie ou encore |= (F → G) .

(101)

Exercice 3

Remplissez la table suivante :

p m p → m ¬ m (p → m) ∧ ¬ m ¬ p ((p → m) ∧ ¬ m) → ¬ p

1 1

1 0

0 1

0 0

(102)

équivalence logique

Dénition 5

Soient F et G deux formules. On dit que E et F sont logiquement équivalentes si, et seulement si, F |= G et G |= F . On note alors F ≡ G.

(103)

Équivalence entre connecteurs p → q ≡ ¬ p ∨ q

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ (p ∧ q) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q)

Double négation ¬¬ p ≡ p

Lois de De Morgan ¬ (p ∧ q) ≡ ¬ p ∨ ¬ q , ¬ (p ∨ q) ≡ ¬ p ∧ ¬ q

Idempotence p ∨ p ≡ p ∧ p ≡ p

Commutativité p ∧ q ≡ q ∧ p , p ∨ q ≡ q ∨ p Associativité p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r

p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r

Contradiction p ∧ ¬ p ≡ ⊥

Tiers exclus p ∨ ¬ p ≡ >

Lois de domination p ∨ > ≡ >, p ∧ ⊥ ≡ ⊥ Lois d'identité p ∨ ⊥ ≡ p ^, p ∧ > ≡ p Distributivité p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Absorption p ∨ (p ∧ q) ≡ p ^, p ∧ (p ∨ q) ≡ p

(104)

Équivalence entre connecteurs p → q ≡ ¬ p ∨ q

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ (p ∧ q) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q)

Double négation ¬¬ p ≡ p

Lois de De Morgan ¬ (p ∧ q) ≡ ¬ p ∨ ¬ q , ¬ (p ∨ q) ≡ ¬ p ∧ ¬ q

Idempotence p ∨ p ≡ p ∧ p ≡ p

Commutativité p ∧ q ≡ q ∧ p , p ∨ q ≡ q ∨ p Associativité p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r

p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r

Contradiction p ∧ ¬ p ≡ ⊥

Tiers exclus p ∨ ¬ p ≡ >

Lois de domination p ∨ > ≡ >, p ∧ ⊥ ≡ ⊥ Lois d'identité p ∨ ⊥ ≡ p ^, p ∧ > ≡ p Distributivité p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Absorption p ∨ (p ∧ q) ≡ p ^, p ∧ (p ∨ q) ≡ p

(105)

Équivalence entre connecteurs p → q ≡ ¬ p ∨ q

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ (p ∧ q) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q)

Double négation ¬¬ p ≡ p

Lois de De Morgan ¬ (p ∧ q) ≡ ¬ p ∨ ¬ q , ¬ (p ∨ q) ≡ ¬ p ∧ ¬ q

Idempotence p ∨ p ≡ p ∧ p ≡ p

Commutativité p ∧ q ≡ q ∧ p , p ∨ q ≡ q ∨ p Associativité p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r

p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r

Contradiction p ∧ ¬ p ≡ ⊥

Tiers exclus p ∨ ¬ p ≡ >

Lois de domination p ∨ > ≡ >, p ∧ ⊥ ≡ ⊥ Lois d'identité p ∨ ⊥ ≡ p ^, p ∧ > ≡ p Distributivité p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Absorption p ∨ (p ∧ q) ≡ p ^, p ∧ (p ∨ q) ≡ p

(106)

Équivalence entre connecteurs p → q ≡ ¬ p ∨ q

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ (p ∧ q) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q)

Double négation ¬¬ p ≡ p

Lois de De Morgan ¬ (p ∧ q) ≡ ¬ p ∨ ¬ q , ¬ (p ∨ q) ≡ ¬ p ∧ ¬ q

Idempotence p ∨ p ≡ p ∧ p ≡ p

Commutativité p ∧ q ≡ q ∧ p , p ∨ q ≡ q ∨ p Associativité p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r

p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r

Contradiction p ∧ ¬ p ≡ ⊥

Tiers exclus p ∨ ¬ p ≡ >

Lois de domination p ∨ > ≡ >, p ∧ ⊥ ≡ ⊥ Lois d'identité p ∨ ⊥ ≡ p ^, p ∧ > ≡ p Distributivité p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Absorption p ∨ (p ∧ q) ≡ p ^, p ∧ (p ∨ q) ≡ p

(107)

Équivalence entre connecteurs p → q ≡ ¬ p ∨ q

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ (p ∧ q) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q)

Double négation ¬¬ p ≡ p

Lois de De Morgan ¬ (p ∧ q) ≡ ¬ p ∨ ¬ q , ¬ (p ∨ q) ≡ ¬ p ∧ ¬ q

Idempotence p ∨ p ≡ p ∧ p ≡ p

Commutativité p ∧ q ≡ q ∧ p , p ∨ q ≡ q ∨ p Associativité p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r

p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r

Contradiction p ∧ ¬ p ≡ ⊥

Tiers exclus p ∨ ¬ p ≡ >

Lois de domination p ∨ > ≡ >, p ∧ ⊥ ≡ ⊥ Lois d'identité p ∨ ⊥ ≡ p ^, p ∧ > ≡ p Distributivité p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Absorption p ∨ (p ∧ q) ≡ p ^, p ∧ (p ∨ q) ≡ p

(108)

Équivalence entre connecteurs p → q ≡ ¬ p ∨ q

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ (p ∧ q) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q)

Double négation ¬¬ p ≡ p

Lois de De Morgan ¬ (p ∧ q) ≡ ¬ p ∨ ¬ q , ¬ (p ∨ q) ≡ ¬ p ∧ ¬ q

Idempotence p ∨ p ≡ p ∧ p ≡ p

Commutativité p ∧ q ≡ q ∧ p , p ∨ q ≡ q ∨ p Associativité p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r

p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r

Contradiction p ∧ ¬ p ≡ ⊥

Tiers exclus p ∨ ¬ p ≡ >

Lois de domination p ∨ > ≡ >, p ∧ ⊥ ≡ ⊥ Lois d'identité p ∨ ⊥ ≡ p ^, p ∧ > ≡ p Distributivité p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Absorption p ∨ (p ∧ q) ≡ p ^, p ∧ (p ∨ q) ≡ p

(109)

Équivalence entre connecteurs p → q ≡ ¬ p ∨ q

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ (p ∧ q) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q)

Double négation ¬¬ p ≡ p

Lois de De Morgan ¬ (p ∧ q) ≡ ¬ p ∨ ¬ q , ¬ (p ∨ q) ≡ ¬ p ∧ ¬ q

Idempotence p ∨ p ≡ p ∧ p ≡ p

Commutativité p ∧ q ≡ q ∧ p , p ∨ q ≡ q ∨ p Associativité p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r

p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r

Contradiction p ∧ ¬ p ≡ ⊥

Tiers exclus p ∨ ¬ p ≡ >

Lois de domination p ∨ > ≡ >, p ∧ ⊥ ≡ ⊥ Lois d'identité p ∨ ⊥ ≡ p ^, p ∧ > ≡ p Distributivité p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Absorption p ∨ (p ∧ q) ≡ p ^, p ∧ (p ∨ q) ≡ p

(110)

Équivalence entre connecteurs p → q ≡ ¬ p ∨ q

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ (p ∧ q) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q)

Double négation ¬¬ p ≡ p

Lois de De Morgan ¬ (p ∧ q) ≡ ¬ p ∨ ¬ q , ¬ (p ∨ q) ≡ ¬ p ∧ ¬ q

Idempotence p ∨ p ≡ p ∧ p ≡ p

Commutativité p ∧ q ≡ q ∧ p , p ∨ q ≡ q ∨ p Associativité p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r

p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r

Contradiction p ∧ ¬ p ≡ ⊥

Tiers exclus p ∨ ¬ p ≡ >

Lois de domination p ∨ > ≡ >, p ∧ ⊥ ≡ ⊥ Lois d'identité p ∨ ⊥ ≡ p ^, p ∧ > ≡ p Distributivité p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Absorption p ∨ (p ∧ q) ≡ p ^, p ∧ (p ∨ q) ≡ p

(111)

Équivalence entre connecteurs p → q ≡ ¬ p ∨ q

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ (p ∧ q) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q)

Double négation ¬¬ p ≡ p

Lois de De Morgan ¬ (p ∧ q) ≡ ¬ p ∨ ¬ q , ¬ (p ∨ q) ≡ ¬ p ∧ ¬ q

Idempotence p ∨ p ≡ p ∧ p ≡ p

Commutativité p ∧ q ≡ q ∧ p , p ∨ q ≡ q ∨ p Associativité p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r

p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r

Contradiction p ∧ ¬ p ≡ ⊥

Tiers exclus p ∨ ¬ p ≡ >

Lois de domination p ∨ > ≡ >, p ∧ ⊥ ≡ ⊥ Lois d'identité p ∨ ⊥ ≡ p ^, p ∧ > ≡ p Distributivité p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Absorption p ∨ (p ∧ q) ≡ p ^, p ∧ (p ∨ q) ≡ p

(112)

Équivalence entre connecteurs p → q ≡ ¬ p ∨ q

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ (p ∧ q) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q)

Double négation ¬¬ p ≡ p

Lois de De Morgan ¬ (p ∧ q) ≡ ¬ p ∨ ¬ q , ¬ (p ∨ q) ≡ ¬ p ∧ ¬ q

Idempotence p ∨ p ≡ p ∧ p ≡ p

Commutativité p ∧ q ≡ q ∧ p , p ∨ q ≡ q ∨ p Associativité p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r

p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r

Contradiction p ∧ ¬ p ≡ ⊥

Tiers exclus p ∨ ¬ p ≡ >

Lois de domination p ∨ > ≡ >, p ∧ ⊥ ≡ ⊥ Lois d'identité p ∨ ⊥ ≡ p ^, p ∧ > ≡ p Distributivité p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Absorption p ∨ (p ∧ q) ≡ p ^, p ∧ (p ∨ q) ≡ p

(113)

Équivalence entre connecteurs p → q ≡ ¬ p ∨ q

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ (p ∧ q) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q)

Double négation ¬¬ p ≡ p

Lois de De Morgan ¬ (p ∧ q) ≡ ¬ p ∨ ¬ q , ¬ (p ∨ q) ≡ ¬ p ∧ ¬ q

Idempotence p ∨ p ≡ p ∧ p ≡ p

Commutativité p ∧ q ≡ q ∧ p , p ∨ q ≡ q ∨ p Associativité p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r

p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r

Contradiction p ∧ ¬ p ≡ ⊥

Tiers exclus p ∨ ¬ p ≡ >

Lois de domination p ∨ > ≡ >, p ∧ ⊥ ≡ ⊥ Lois d'identité p ∨ ⊥ ≡ p ^, p ∧ > ≡ p Distributivité p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Absorption p ∨ (p ∧ q) ≡ p ^, p ∧ (p ∨ q) ≡ p

(114)

Équivalence entre connecteurs p → q ≡ ¬ p ∨ q

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ (p ∧ q) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q)

Double négation ¬¬ p ≡ p

Lois de De Morgan ¬ (p ∧ q) ≡ ¬ p ∨ ¬ q , ¬ (p ∨ q) ≡ ¬ p ∧ ¬ q

Idempotence p ∨ p ≡ p ∧ p ≡ p

Commutativité p ∧ q ≡ q ∧ p , p ∨ q ≡ q ∨ p Associativité p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r

p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r

Contradiction p ∧ ¬ p ≡ ⊥

Tiers exclus p ∨ ¬ p ≡ >

Lois de domination p ∨ > ≡ >, p ∧ ⊥ ≡ ⊥ Lois d'identité p ∨ ⊥ ≡ p ^, p ∧ > ≡ p Distributivité p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Absorption p ∨ (p ∧ q) ≡ p ^, p ∧ (p ∨ q) ≡ p

(115)

Équivalence entre connecteurs p → q ≡ ¬ p ∨ q

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ (p ∧ q) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q)

Double négation ¬¬ p ≡ p

Lois de De Morgan ¬ (p ∧ q) ≡ ¬ p ∨ ¬ q , ¬ (p ∨ q) ≡ ¬ p ∧ ¬ q

Idempotence p ∨ p ≡ p ∧ p ≡ p

Commutativité p ∧ q ≡ q ∧ p , p ∨ q ≡ q ∨ p Associativité p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r

p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r

Contradiction p ∧ ¬ p ≡ ⊥

Tiers exclus p ∨ ¬ p ≡ >

Lois de domination p ∨ > ≡ >, p ∧ ⊥ ≡ ⊥ Lois d'identité p ∨ ⊥ ≡ p ^, p ∧ > ≡ p Distributivité p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Absorption p ∨ (p ∧ q) ≡ p ^, p ∧ (p ∨ q) ≡ p

(116)

Équivalence entre connecteurs p → q ≡ ¬ p ∨ q

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ (p ∧ q) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q)

Double négation ¬¬ p ≡ p

Lois de De Morgan ¬ (p ∧ q) ≡ ¬ p ∨ ¬ q , ¬ (p ∨ q) ≡ ¬ p ∧ ¬ q

Idempotence p ∨ p ≡ p ∧ p ≡ p

Commutativité p ∧ q ≡ q ∧ p , p ∨ q ≡ q ∨ p Associativité p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r

p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r

Contradiction p ∧ ¬ p ≡ ⊥

Tiers exclus p ∨ ¬ p ≡ >

Lois de domination p ∨ > ≡ >, p ∧ ⊥ ≡ ⊥ Lois d'identité p ∨ ⊥ ≡ p ^, p ∧ > ≡ p Distributivité p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Absorption p ∨ (p ∧ q) ≡ p ^, p ∧ (p ∨ q) ≡ p

(117)