1. (a) On sait que lim

TS

Corretion DS 4

_2011-2012

1. (a) On sait que lim

x→−∞

xe

^x

= 0. Donc comme lim

x→−∞

e

^x

− 1 = −1, on a finalement lim

x→−∞

f (x) = 0.

(b) ∀x 6= 0, x

1 + 1 e

^x

− 1

= x

e

^x

− 1 + 1 e

^x

− 1

= xe

^x

e

^x

− 1 = f (x).

(c) lim

x→+∞

1

e

^x

− 1 = 0 puis lim

x→+∞

1 + 1 e

^x

− 1 = 1

x→+∞

lim x = +∞







(produit)

x→+∞

lim x

1 + 1 e

^x

− 1

= lim

x→+∞

f (x) = +∞

2. (a) lim

x→0

e

^x

− 1

x = 1. En effet, lim

x→0

e

^x

− 1 x = lim

x→0

exp(x) − exp(0)

x − 0 = (exp)

^′

(0) = e

⁰

= 1 car la fonction exp est dérivable en 0.

(b) lim

x→0

e

^x

− 1 x = 1

X→1

lim 1 X = 1



 

 

(composition)

x

lim

→0

x

e

^x

− 1 = 1 et lim

x→0

x e

^x

− 1 = 1

x→0

lim e

^x

= 1







(produit)

x→0

lim f (x) = 1 et f (0) = 1 donc la fonc- tion f est continue en 0.

3. (a) Soit g la fonction définie sur R par g(x) = e

^x

− x − 1. Cette fonction est dérivable et g

^′

(x) = e

^x

− 1.

• g

^′

(x) = 0 ⇔ e

^x

− 1 = 0 ⇔ e

^x

= 1 ⇔ x = 0 ;

• g

^′

(x) < 0 ⇔ e

^x

− 1 < 0 ⇔ e

^x

< 1 ⇔ x < 0 donc g est décroissante sur R

⁻

• g

^′

(x) > 0 ⇔ x > 0 donc g est croissante sur R

⁺

x

Signe de g

^′

(x) Variations

de g

−∞ 0 +∞

− 0 +

0 0

La fonction g admet un minimum 0 atteint en 0 : en effet la dérivée de g s’annule en changeant de signe et la fonction est décroissante puis croissante. ∀x ∈ R , g(x) > g(0) ⇔ g(x) > 0.

(b) x 6= 0, f

^′

(x) = (e

^x

+ xe

^x

) (e

^x

− 1) − xe

^x

× e

^x

(e

^x

− 1)

²

= e

^2x

− xe

^x

− e

^x

(e

^x

− 1)

²

= e

^x

(e

^x

− x − 1)

(e

^x

− 1)

²

= e

^x

g(x) (e

^x

− 1)

²

. (c) Pour x 6= 0,

• e

^x

> 0

• g(x) > 0

• (e

^x

− 1)

²

> 0







donc pour x 6= 0, f

^′

(x) > 0 et donc f est strictement croissante sur les intervalles ] − ∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[. Or f est continue en 0 donc elle est strictement croissante sur R.

Tableau de variations :

x Signe de f

^′

(x)

Variations de f

−∞ +∞

+

0 0

+∞ +∞

0

1

4. (a) ∀x 6= 0, f (x) − x = x

e

^x

− 1 (utiliser l’expression du 1.b) et x

e

^x

− 1 = x

e

^x

× 1

1 − e

^−x

, on en déduit que

x→+∞

lim f (x) − x = 0 et que la droite ∆ d’équation y = x est asymptote à C

f

en +∞.

(b) Position relative de C

f

et de ∆.

x Signe de x Signe de e

^x

− 1 Signe de f (x) − x

−∞ 0 +∞

− 0 +

− 0 +

+ 1 +

∀x ∈ R, C

f

est au-dessus de ∆.

2 1

1

2

3

3

2

1+1

2

2

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