EXERCICES SUR LES FONCTIONS LOGARITHMES Terminales D&C )

EXERCICES SUR LES FONCTIONS LOGARITHMES Terminales D&C )

Exercice 1

Déterminer les primitives des fonctions f suivantes sur l’intervalle I :

1) f(x) =_(3x2^3x−1−2x−1)² I = ]−¹₃, 1[ 2) f(x) =_(1+x)² 4 I = ]−1, +∞[ 3) f(x) =_x¹2sin¹_x I = ]0, +∞[

4) f(x) =_{√x(√x +1)}¹ 2 I = ]0, +∞[ 5) f(x) =_2(x^3x3²+2x)^{+2 3} I = ]−∞, 0[ 6) f(x) =_√cosx^sinx I = ]−^π₂, ^π₂ [ 7) f(x) = cos⁴x I = IR 8) f(x) = sin⁵x I = IR 9) f(x) = cos³x − sin³x I = IR

10) f(x) = sinx cosx (cos²x + 1)⁴ I = IR 11) f(x) = (1 + tan²x)tan²x I = ]−^π₄, ^π₂ [ Exercice 2

Déterminer les primitives des fonctions f suivantes sur un intervalle I que l’on précisera : 1) f(x) =_√x^2x₂₊₁ 2) f(x) =_√2x^x−1_2−4x−6 3) f(x) = x√1 −x² 4) f(x) = ^2x+3

√(x²+3x+1)³ 5) f(x) =_cos^sinx3x 6) f(x) =^{cos (lnx)}_x 7) f(x) =^lnx_x 8) f(x) =_(x2^2(x+1)_+2x+1)4

Exercice 3

Déterminer, quand elles existent, les primitives des fonctions f suivantes :

1) f(x) =_x2+2x+5^x+1 2) f(x) =_{1+sin x}^{cos x} 3) f(x) =_sinx−consx^{sinx+cos x} 4) f(x) =_1+x^x 2 5) f(x) =^1+tan_{tan x}^2x 6) f(x) = x − 1 −_x+1¹ +_x2^x₊₁ 7) f(x) =_xlnx¹ 8) f(x) =_1+cos^3sinx_2x

2

Exercice 4

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions f suivantes :

1) f(x) = ln|lnx| 2) f(x) = ln(x²− x − 2) 3) f(x) = ln(2 − √x − 1) 4) f(x) = ln(2 − lnx) 5) f(x) = lnx² 6) f(x) = lnx + ln (x + 1) 7) f(x) = ln^x−1_2−x 8) f(x) = ln (x + 3 − √x²− 1) 9) f(x) = ln⌈ln (1 + ln2x)⌉

Exercice 5

Résoudre dans IR (ou dans IR²)

1) ln|2x + 3| + ln|x − 5| = ln7 2) ln(−x − 2) = ln^−x−11_x+3 3) ln³x + 2ln²x + lnx + 2 = 0 4) log(2𝑥 − 5) + log (3𝑥 + 7) = 4log2 5)2ln³(x + 1) − 9ln²(x + 1) − 2ln (x + 1) + 9 = 0 6) log3x =¹₂+ log9(4x + 15) 7) x²− 2x + ln (m + 1) = 0, où m est un paramètre réel.

7) { 3x + 2y = 23lnx − lny = ln7 8) {logxe + logye = ⁷₃ lnxy = ⁷₂

Exercice 6

Résoudre dans IR les inéquations suivantes : 1) (1 − lnx)(2 + lnx) ≥ 0 2) ^lnx−2

lnx+1 ≥ 0 3) ln²x − 2lnx − 3 ≥ 0 4) log9(𝑥 + 3) − log3𝑥 < 0 5) 1 + ln (x + 3) > 𝑙𝑛 (x²+ 2x − 3)

Exercice 7

Calculer les limites suivantes :

1) _x→+∞lim ^ln_√x^3x 2) _x→+∞lim ^ln_x^pq^x 3) lim_x→+∞⌊ln3x − ln (x + 1)⌋ 4)_x→+∞lim _2lnx−1^lnx−2

5) _x→+∞lim ^{ln (1+x)}_1+x2 6) _x→−∞lim ^{ln |x−2|}_{ln |x|} 7) _x→+∞lim (2x − lnx) 8) _x→+∞lim xln(1 +¹_x)

9) _x→+∞lim ^xlnx_x+1 10) lim_x→0+x³ln²x 11) _x→0lim₊⁵√xln²x 12) lim_x→0+xⁿln^px 13) _x→0lim₊^1+lnx_x2 14) _x→0lim₊^lnx−2_lnx+1 15) _x→0lim₊⌈lnx + ln²x⌉ 16) lim_x→0+^{ln (1+3x)}_2x

17) lim_x→e2^2−lnx_x−e2 18) _x→0lim₊^{log (1+x)}_x 19) _x→0lim₊^ln(1+x_x ²⁾ Exercice 8

Déterminer l’ensemble de dérivabilité des fonctions f suivantes :

1) f(x) = ln (x + √x²+ 1) 2) f(x) = cos(lnx) 3) f(x) = ln^x+1_2−x 4) f(x) = ln |^x−2_x+4|

5) f(x) = {(x − 1)² si 𝑥 < 1

lnx si 𝑥 ≥ 1 6) f(x) = { 3x²+ 2x + 1 si 𝑥 < 0 x + 1 + ln (x + 1) si 𝑥 ≥ 0 Exercice 9

Etudier les fonctions f suivantes :

1) f(x) =¹_x− 1 + 2lnx 2) f(x) = x³− x + 1 − 2lnx 3) f(x) = ln|lnx| 4) f(x) =^3−lnx_2−lnx 5) f(x) =_xlnx¹ 6) f(x) =_x−1^x + ln|x − 1| 7) f(x) = ln (x + √x²+ 1)

8) f(x) = {^1+lnx1−lnx si 𝑥 ≠ e

−1 si 𝑥 = e 9) f(x) = {3x²+ 2x + 1 si 𝑥 < 0 x + 1 + ln(x + 1) si 𝑥 ≥ 0

Exercice 10 (BAC CE – Rouen 1976)

On considère, pour tout n de IN*, la fonction f n, à valeurs dans IR, définie sur l’intervalle ]0, +∞[

par : fn(x) =^lnx_xn

1) Déterminer les limites de fn aux bornes de l’intervalle ]0, +∞[. Etudier les variations de fn. 2) Construire la courbe (

𝒞

₁) de la fonction f1 dans le plan rapporté à un repère orthonormal.

Préciser ses asymptotes.

Exercice 11 (BAC C – Grenoble 1978)

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par f(x) = x²√|lnx|

(

ln désigne logarithme népérien).

1) a) Quel est l’ensemble de définition, D, de f ?

b) Etudier si f admet une limite pour x positif et tendant vers 0.

2) Soit g la fonction numérique telle que pour x ∈ D, f(x) = g(x) et g(0) = 0.

a) Montrer que g est dérivable, à droite, en 0 et préciser le nombre dérivé.

b) Déterminer lim_x→1x−1^lnx ; étudier, ensuite, la dérivabilité de g en 1.

3) Etudier le sens de variations de g. Tracer la courbe (

𝒞

), représentative de g, dans un repère orthonormé (O, i⃗;, j⃗;). Préciser les tangentes à (

𝒞

) aux points d’abscisses 0 et 1.

Exercice 12

Soit f la fonction définie par f(x) = _ln2x−4lnx−3^x−5 . 1) Déterminer l’ensemble de définition de f.

2) Etudier l’ensemble de dérivabilité de f et calculer f ’(x).

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par f(x) = x +¹₂+ ln_x+1^x . On appelle

𝒞

^la

courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O, i⃗;, j⃗;). On prendra 2cm comme unité.

1) Préciser l’ensemble de définition de f. Démontrer que le point I de coordonnées (−¹₂, 0) est centre de symétrie pour

𝒞.

2) Etudier les variations de f et tracer la courbe

𝒞

^.

Exercice 14 (BAC C – Nice 1978)

On désigne par « a » un nombre réel de l’intervalle ⌈0, π ⌉ et l’on considère la fonction numérique f_adéfinie par fa(x) = ln (x²− 2xcosa + 1). On appelle (

𝒞

_a) la représentation graphique de f_a ^dans un plan muni d’un repère orthonormé (O, i⃗;, j⃗;).

1) Déterminer l’ensemble de définition de f_a suivant les valeurs de « a ».

2) Trouver les limites, quand x tend vers +∞, de fa(x) et de la fonction x ⟼^fa(x)_x . 3) a) Montrer que (

𝒞

_a) admet pour axe de symétrie, la droite d’équation x = cos a.

b) Montrer que les (

𝒞

_a^{) et (}

𝒞

_π−a) sont symétriques par rapport à la droite (O, j⃗;).

c) a et a’ étant deux réels distincts de l’intervalle ⌈0, π ⌉, déterminer l’intersection de (

𝒞

_a^{) et}

de (

𝒞

_a′^).

4) a) Etudier les variations de f₀ et tracer (

𝒞

₀^).

b) En déduire (

𝒞

π).

5) a) Quand a est différent de 0 et de

π

, étudier les variations de fa. b) Tracer ensuite (

𝒞

a) pour a =^π₃

Exercice 15 (BAC C – Montpellier 1984)

f est la fonction numérique définie sur IR⁺ par {∀x ∈ IR^∗+ f(x) = xln (x +¹_x)

f(0) = 0 .

On désigne par

𝒞

la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i⃗;, j⃗;). 1) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.

2) Déterminer f ’ et f ’’, puis étudier le sens de variation de f ’ et montrer que f’ est positive.

Achever l’étude de la fonction de f.

3) Tracer la courbe

𝒞.

Exercice 16

Soit (un) la suite définie par u0 = 4 et ∀n ∈ IN, un+1 = ln (1 + un).

1) Tracer la courbe représentative de la fonction x ⟼ ln (1 + x).. En déduire une représentation graphique des 4 premiers termes de la suite (un).

2) Démontrer que la suite (un) est décroissante et minorée.

3) En déduire que cette suite est convergente et démontrer qu’elle converge vers 0.

Exercice 17

Le repère (O, I, J) est orthonormé. Soit f la fonction définie par f(x) =¹₂(x + 1 + 3ln |^x+1_x−3|). On désigne par (

𝒞)

la courbe représentative de f.

1) Etudier les variations de la fonction f.

2) a) Démontrer que la courbe (

𝒞)

admet un point d’inflexion Ω et que Ω est un centre de symétrie de (

𝒞)

^.

b) Déterminer l’asymptote oblique (

D)

^{de (}

𝒞)

et vérifier que Ω appartient à (

D ) .

c) Tracer la courbe (

𝒞)

^.

Exercice 18

1) Démontrer que ∀x ∈ ]0, +∞[, x −^x₂²< ln(1 + x) < 𝑥

2) En déduire la limite de la suite (un)n∈IN ∗ de terme général un = (1 +_n¹2) (1 +_n²₂) … .(1 +_n^k₂) … .(1 +ⁿ⁻¹_n2 )

Exercice 19

A) 1) Variations et représentation graphique (

𝒞)

de la fonction f ∶ x ⟼ ln |_x−2^x | dans un repère orthonormé (O, i⃗;, j⃗;).

2) Montrer que (

𝒞)

admet un centre de symétrie.

B) Soit g la restriction de f à l’intervalle ]0, 2[

1) Etablir que g admet une fonction réciproque g ^-1. Calculer g ^-1(x).

2) Déterminer g ^-1of et construire sa courbe représentative.

C) A tout réel a > 0, on associe ga ∶ x ⟼ ln _a(x+1−a)^a+1−x sur l’intervalle ]a − 1, a + 1[

1) Etudier les variations de ga.

2) On considère le point Ia(a − 1, −lna). Ecrire une équation de la courbe (

Γ

_a

)

représentant ga

en prenant pour repère (Ia, i⃗;, j⃗;).

3) Etablir que (

Γ

_a

)

est l’image de la représentation graphique de g par une application tos où s est une symétrie axiale et t une translation.

4) En déduire la construction de la courbe (

Γ

_e

)

, e étant la base des logarithmes népériens.

Exercice 20

Le repère (O, I, J) est orthonormé. Soit la fonction f définie par f(x) = { x − 1 +¹_x si 𝑥 ≤ 1 1 − (lnx)² si 𝑥 > 1. 1) a) Démontrer que f est continue et dérivable en 1.

b) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et préciser les branches infinies de la courbe (

𝒞)

représentative de f.

c) Etudier les variations de la fonction f. Démontrer que le point d’abscisse e est un point d’inflexion de (

𝒞)

^.

d) Tracer la courbe (

𝒞)

^.

2) Soit h la restriction de f à l’intervalle ]1, +∞[^.

a) Démontrer que h réalise une bijection de ]1, +∞[vers un intervalle que l’on précisera.

b) En déduire que h admet une fonction réciproque h ^-1 dont on précisera le sens de variations. Tracer la courbe représentative de h^-1.

Exercice 21

Le repère (O, I, J) est orthonormé. Soit m un nombre réel strictement positif et fm la fonction définie par f_m(x) =ln(_mx)_+lnx^m. On désigne par (

𝒞

_m

)

la courbe représentative de fm.

1) a) Déterminer, suivant les valeurs de m, l’ensemble de définition de fm, et étudier les branches infinies de la courbe (

𝒞

m

) .

b) Déterminer la dérivée de fm et démontrer que l’ensemble des extremums de (

𝒞

_m

)

lorsque m décrit ]0, +∞[. est la courbe (

Γ)

d’équation y = 2ln (x|lnx|) c) Etudier la fonction 𝑥 ⟼ 2ln (x|lnx|) et tracer (

Γ)

^.

Dans la suite, on suppose que m = 1.

2) a) Etudier la fonction f1 et tracer la courbe

(𝒞

₁

)

^.

b) On désigne par g, la restriction de f 1 à l’intervalle [e, +∞[. Démontrer que g admet une fonction réciproque g ^-1 dont on précisera l’ensemble de définition. Tracer la courbe représentative de g ^-1.

3) a) Démontrer que la courbe (

𝒞

₁

)

admet un point d’inflexion dont l’abscisse α est solution de l’équation (lnx)³− lnx − 2 = 0.

b) Déterminer une valeur approchée de α ^{à 10 -2 près.}

Soit (

𝒞)

la courbe représentative dans le repère (O, i⃗;, j⃗;) de la fonction numérique g définie sur IR*+

par g(x) = ¹₂x + 2 +^lnx_x .

1) On considère la fonction h définie par h(x) =x²− 2lnx + 2 . Etudier les variations de h et préciser le signe de h(x). (On ne demande pas de tracer la courbe représentative de h).

2) Etudier les variations de la fonction g. Montrer que la courbe (

𝒞)

a deux asymptotes que l’on déterminera. Montrer que (

𝒞)

coupe l’une de ces asymptotes en un point que l’on précisera. Tracer la courbe (

𝒞)

^.

Exercice 23 (BAC C – Toulouse 1979)

Soit la fonction numérique f de la variable réelle x, définie par f(x) = ¹₂ln^1+x_1−x.

1) Démontrer que l’ensemble de définition de f est l’intervalle D = ]−1, 1[ . Démontrer que f est une fonction continue sur D. Démontrer que f est une fonction impaire.

2) Etudier les variations de f. Démontrer que f est une bijection de D sur IR. On désigne par f ^-1, la réciproque de f. Exprimer f ^-1(x) pour tout x de IR.

3) Soit respectivement (

𝒞)

^et (

𝒞′)

, les courbes représentatives de f et f ^-1 par rapport à un même repère orthonormé (O, i⃗;, j⃗;). Ecrire une équation de la tangente à la courbe (

𝒞)

^{, au}

point d’abscisse x = 0. Etudier la position de (

𝒞)

par rapport à cette tangente : on pourra étudier les variations de la fonction φ: x ⟼ f(x) − x (x ∈ D). Tracer les courbes (

𝒞)

^et

(

𝒞′)

dans le plan rapporté à un repère orthonormé. (On pourra utiliser comme unité de longueur : 4cm).

Exercice 24 (BAC C – Limoges 1982)

1) Montrer que, pour tout nombre réel x, on a : cos3x = (2cos2x – 1) cosx.

2) Pour tout entier naturel non nul n, on pose :

Sn(θ) = ln (2cos^θ₃− 1) + ln (2cos₃^θ₂− 1) + ⋯ . + ln(2cos₃^θ_n− 1), où ln désigne le logarithme népérien, et θ un nombre réel donné de l’intervalle 𝐼 = ]−^π₃, ^π₃[

a) Justifier l’existence de Sn(θ).

b) En utilisant la 1^ère question, montrer que Sn(θ) = ln (cos^θ₂) − ln(cos_2.3^θn) c) Calculer S(θ) =_n→+∞lim Sn(θ)

3) Calculer S′(θ), pour tout θ de l’intervalle I, S’ désigne la dérivée de S. En déduire la valeur de J = ¹₂∫ tan₀^{π3 θ}₂dθ.

Exercice 25

Soit h, la fonction numérique définie par h(x) = {^{−2+lnx−1+lnx} si x ≠ 0 1 si 𝑥 = 0^.

1) Etudier la dérivabilité et la continuité de h sur son ensemble de définition D.

2) Etudier les variations de h, et tracer la courbe (

𝒞)

de h dans un repère orthonormé (O, i⃗;, j⃗;). 3) Montrer que la restriction h1 de h à l’intervalle [0, e[ est une bijection de [0, e[ sur un

intervalle J que l’on précisera. Enumérer les propriétés de h1-1. Expliciter h1-1(x) pour tout x de J. Construire la représentation graphique (

𝒞′)

^{de h1-1} dans le repère (O, i⃗;, j⃗;).

Exercice 26 (BAC – Polynésie 1988)

Soit la fonction f définie par : pour tout x ∈ ]0, +∞[, f(x) = ^x₂²(lnx −³₂) et f(0) = 0.

1) f est-elle dérivable en 0 ?

2) Préciser la dérivée de f pour tout x∈ ]0, +∞[ ; dresser le tableau de variation de f.

3) On désigne par

𝒞

, la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i⃗;, j⃗;).

a) Préciser la tangente

𝑇

à la courbe représentative

𝒞

au point A d’abscisse 1. Etudier la positon relative de

𝒞

^{et de}

𝑇 .

A cet effet, on précisera le signe de la fonction h définie sur ]0, +∞[ par h(x) = f(x) + x −¹₄ en étudiant sa dérivée h’ et sa dérivée h ’’.

b) Construire la courbe

𝒞

, la tangente

𝑇

, ainsi que les tangentes aux points où

𝒞

rencontre (Ox).

Exercice 27 (National 1995)

Soit f la fonction de IR dans IR définie par f(x) = (x + 1)ln|x − 3|.On désigne par (

𝒞)

, la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i⃗;, j⃗;) (unité = 1cm).

1) Préciser l’ensemble de définition D de f.

2) a) Vérifier que, si x appartient à D, alors f ′(x) =^x+1_x−3+ ln|x − 3|.

b) Pour x appartenant à D, calculer f ’’(x) où f ’’ désigne la dérivée seconde de f. En déduire les variations de f ’.

c) Calculer les limites de f ’ en -00 et en 3 à gauche.

d) Montrer que f ’ s’annule sur ]−∞, 3[ pour une seule valeur α . Donner un encadrement de α d’amplitude 0,1. Etudier le signe de f ’(x) sur ]−∞, 3[.

e) Etudier le signe de f ’(x) sur ]3, +∞[. f) Dresser le tableau de variations de f.

3) Etudier les limites de f aux bornes de D. Préciser les asymptotes éventuelles à (

𝒞)

^.

4) Calculer les coordonnées des points d’intersection de (

𝒞)

et de l’axe des abscisses.

5) Tracer la courbe (

𝒞)

^.

Exercice 28 (BAC - Liban 1998)

Soit h, la fonction définie sur ]0, +∞[ par h(x) = ln (3 +¹_x).

1) Montrer que l’équation h(x) = x admet une solution unique, notée β. Vérifier que β est compris entre 1 et ³

2.

2) a) Montrer que l’image par h de l’intervalle ⌊1; ³₂⌋ est incluse dans l’intervalle ⌊1; ³₂⌋.

b) Démontrer que, pour tout x de l’intervalle ⌊1; ³₂⌋ : |h^′(x)| ≤¹₄. En déduire que, pour tout x de l’intervalle ⌊1; ³₂⌋ : |h(x) − β| ≤¹₄|x − β|.

3) Soit (un), la suite définie pour tout entier naturel n par : un+1 = h(un) et u0 = 1.

a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier n de IN : un ∈ ⌊1; ³₂⌋

b) Démontrer que, pour tout entier n de IN : |un+1 − β| ≤¹₄|un− β|. En déduire que, pour tout entier n de IN : |un− β| ≤₂2𝑛+1¹ .

c) Déterminer un entier p tel que u p soit une valeur approchée à 10 ^-6 près de β. A l’aide de la calculatrice, proposer une approximation décimale de up à 10 ^-6 près. Que peut-on en déduire pour β.

Exercice 29 (BAC – Paris 1995)

A] Soit f, la fonction définie sur ]0, +∞[ par f(x) = ^xlnx_x+1.

1) Soit φ la fonction définie sur ]0, +∞[ par φ(x) = lnx + x + 1. Etudier les variations de φ. Etablir que l’équation φ(x) = 0 admet une solution β et une seule et que 0,27 ≤ β ≤ 0,28. 2) Pour x > 0, exprimer f ’(x) en fonction de φ(x). En déduire les variations de f. Déterminer

les limites de f en 0 et +∞.

B] On se propose d’étudier l’équation f(x) = n, où n est un entier naturel non nul.

1) Montrer que, pour tout n, cette équation admet une solution αn et une seule (en particulier, α1= α).

2) Comparaison de 𝛼𝑛 à 𝑒^𝑛.

a) Etablir que f(αn) ≤ n. En déduire que αn ≥eⁿ.

b) Prouver que la relation f(eⁿ) = n peut s’écrire sous la forme ln (^α_eⁿn) = _αⁿ

n (1).

c) En déduire, à l’aide de a), la limite de ^αn

eⁿ lorsque n tend vers l’infini.

3) Comparaison de 𝛼𝑛 à 𝑒^𝑛+ 𝑛.

On écrit αn sous la forme αn = eⁿ(1 + εn), où εn ≥ 0. (2).

a) A l’aide de (1), exprimer (1 + εn)ln(1 + εn) en fonction de n.

b) Etablir que, pour tout t ≥ 0, 0 ≤ (1 + t)ln(1 + t) − t ≤ ^t₂².

c) Déduire de a) et b) que, pour tout n ≥ 1, εn ≤ ne⁻ⁿ ≤ εn + ⁿ₂ , puis que 0 ≤ ne⁻ⁿ − εn ≤ⁿ₂²e⁻²ⁿ (3)

d) A l’aide de (2) et (3), déterminer la limite de eⁿ+ n − αn, lorsque n tend vers+∞.