N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
M AURICE D’ OCAGNE
Remarque sur un problème d’analyse combinatoire
Nouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 19 (1880), p. 44-46
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RENARQliE SUR U\ PROBLÈME D'ANALYSE COÏlBINATOIRE 5
PAR M. MAURICE D'OCAGNE, lilève en Mathématiques spéciales au L^cee Fontanes.
Lorsqu'on se propose de trouver le nombre ÎSm des points d'intersection des diagonales d'un polygone con-
\exe de m côtés, intérïeuis l\ ce polygone, on cherche à lier ce nombre à celui qui lui correspond Nw_j pour un polygone de m — 1 côtes.
( 45 )
Si 1 on c h e r c h e le r a p p o r t - j - ^ - ? on sait q u e Ton t r o u v e .—— = 75 d ' o ù l'on d é d u i t f a c i l e m e n t la f o r m u l e ]%,„_, m — 4
c o n n u e Nm — C ^ .
Mais i l e s t p l u s facile de t r o u v e r la différence Nm — ^Sm~i N.„ . . ,
q u e le q u o t i e n t — ; on o b t i e n t a l o r s N/n — N«_. — i ( m — 3 j H- 2 ( m — 4 N
-4- 3 ( //* — 5 , -f-. . . -f- ( w — 3 ) i .
Je me propose de faire voir comment, à l'aide de ce résultat, on peut très facilement arriver à la formule obtenue par la première méthode.
La différence peut s'écrire
Nw— N , _ , = i - j - a 4 - 3 — . . . - < - ( / » — 4 ) r - > - 3 ) -4- 1 -\- 1 -4- 3 — . . . -{- ( w —• 4
• 4 - 1 - 4 - 2 - 1 - 3
-4- I OU
'm — o ^ w — 3 ' m — 3 ! i m — 4
"~~l 1 . 2 1 . 2 4 . 3 3 . - 2 . 1 - f - 1 , •
1 . 2 I . ? 1.2
Cette différence est donc égale à la somme des m —3 premiers nombres figurés du deuxième ordre du triangle arithmétique de Pascal, elle est, par suite, égale au [m — 3)ieme nombre figuré du troisième ordre de ce triangle. Ainsi,
]**, —N». (lw""IJ(/^_Z"_^^//iZ"
1 . 2 . 3
( 4 6 )
OU
Or, pour m = 4> nous avons le quadrilatère, dans lequel les diagonales ne donnent qu'un point d'intersection , donc
Il me suffit maintenant de faire voir que, si la formule est vraie pour un polygone de m — i côtés, elle est encore vraie pour un polygone de m côtés, c'est-à-dire qu'en supposant NTO-1 = CJ,«, j'ai Nm= C^, ce qui a lieu en effet, car, d'après la formule (i), j'ai
Je retrouve donc bien ainsi la formule qu'avait donnée l'autre méthode.
