Enonc´e noD624 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Voici une construction qui demande seulement 6 cercles et une droite pour marquer les sommets d’une M-configuration (je suppose que les droites sup- port des cˆot´es du triangle sont donn´ees sur toute l’´etendue utile, et je ne compte pas le trac´e des segments formant le M quand leurs extr´emit´es sont d´etermin´ees).
Par exemple, pour la M-configuration s’appuyant sur le cˆot´e BC, on trace successivement
– le cercle (A, AB) (centreA, rayon ´egal `a AB) qui coupeAC en P; – le cercle (P, P B) qui coupe la droite BC (au-del`a de C) en Q;
– les cercles (A, QC) et (C, QA) qui se coupent en R, 4e sommet du pa- rall´elogramme AQCR;
– la droiteCR qui coupeAB en D;
– le cercle (D, DB) qui coupeBC en E, et le cercle (C, DB) qui coupeAC en F.
Justification
On a vectoriellement BP = BA+AP = (BD+F C)|BA|/|BD|. Comme BP et P Q ont mˆeme projection sur BC, on voit que BQ est |BA|/|BD|
fois la projection sur BC de la somme vectorielleBD+DE+EF+F C, car
´evidemment BDetDE ont mˆeme projection sur BC, et aussiEF etF C.
Ainsi |BQ|/|BC| = |BA|/|BD|, ce qui implique (Thal`es) que QA et CD sont parall`eles.
La M-configurationAGHIC se construit de la mˆeme fa¸con queBDEF C.
La construction de la derni`ere M-configuration AJ KLB s’obtient alors en tra¸cant 4 droites et 2 cercles :
– les droitesAE etBH qui se coupent en S; – la droiteCS qui coupe AB en K;
– le cercle (K, AB) qui coupe en U etV le cercle (A, AB) d´ej`a trac´e ; – la droiteU V (m´ediatrice de AK) qui coupeAC en J;
– le cercle (B, AJ) qui coupeBC en L.
Justification
On a (en valeur alg´ebrique)EB/EC =−cosB/cosC,HC/HA=−cosC/cosA, KA/KB=−cosA/cosB, donc
EB EC ·HC
HA · KA KB =−1.
Il en r´esulte (th´eor`eme de C´eva) que les droites AE, BH, CK sont concou- rantes (au pointS).
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Bilan
Avec l’hypoth`ese faite sur les constructions ´el´ementaires `a d´ecompter, il suffit de 20 constructions (14 cercles et 6 droites) pour d´eterminer les 9 points interm´ediaires des 3 M-configurations.
Sans le recours au th´eor`eme de C´eva, l’application au troisi`eme M de la mˆeme construction qu’aux deux premiers conduirait `a 18 cercles et 3 droites, soit 21 constructions.
Si l’on donne seulement les 3 points A, B, C dans le plan, l’ensemble de la construction (avec droites supports des cˆot´es et jambages des M) demande 9 droites de plus, soit 14 cercles et 15 droites.
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