A4930** - Des écarts-types en Diophante
Déterminer tous les entiers n (1 < n ≤ 2021), tels que la moyenne arithmétique m et l’écart-type σ de toute suite de n entiers consécutifs positifs sont des entiers.
Proposition de Marc Humery A/ Définitions générales
1/ moyenne arithmétique m d’une suite de n nombres ai (i = 1 à n) m = (1/n) ∑i=ni=1ai
2/ écart-type σ d’une suite de n nombres ai σ = [(1/n) ∑i=ni=1(ai-m)²]1/2
B/ Application à une suite de n nombres « entiers consécutifs » positifs ai (a1 ; 1er terme) m = a1+(n-1)/2
σ = [(n²-1)/12]1/2
C/ Caractérisation de n si m et σ sont des nombres entiers
Si m entier => n entier impair et si σ entier => n = (12σ²+1)1/2 entier avec 1 < n ≤ 2021
D/ Résolution numérique : 3 solutions pour n n = 7 => m = a1+3 ; σ = 2
n = 97 => m = a1+48 ; σ = 28 n = 1351 => m = a1+675 ; σ = 390
